利用一个结论巧证一类赛题

在三角形中,根据“大边对大角,等边对等角”以及正弦定理,我们易得到 定理 △ABC中,∠A>∠B （?） sin A>sin B;∠A=∠B（?） sin A= sin B. 利用这个结论,可以通过构造三角形来巧证一类赛题。 例1 （1976年匈牙利IMO试题）设a,β,γ是任一锐角三角形的三个内角,证明:如果a<β<γ,那么Sin2a>sin2β>sin2γ     

利用一个结论 巧证一类赛题

定理在△ABC中,∠A>∠BsinA>sinB。证明:在△ABC中,∠A>∠Ba>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB。将上面结论直接用于证明一类三角不等式数赛试题,可谓独特奇妙,简捷明了,举例说明如下。     

利用等腰三角形的一个性质证明一类几何题

性质:如图1,△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,则AC2-AD2=BD·CD.证明过点A作AO⊥BC,垂足为O.因为AC2=AO2+OC2,AD2=AO2+OD2,所以AC2-AD2=(AO2+OC2)-(AO2+OD2)=OC2-OD2=(OC+OD)(OC-OD)=CD(OC-     

应用一个结论 巧证一类赛题

高中《数学》第二册(上)P.88B组第2题:已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直.即如图1,在四边形ABCD中,若AB2 CD2=BC2 AD2,则AC⊥BD.     

一类赛题的引申

题1 对每个k∈N,把2k表成互素的整数x与y之和,使得xy最大。 (1963,捷克赛题) 易证,如k=1,则x=y=1; 若k=2m,则x=2m±l,y=2m±1; 若k=2m 1,则x=2m 3或2m-1,y=2m-1或2m 3。     

一类赛题求解技巧

例1.已知(x-a-b)/c+(x-b-c)/a+(x-c-a)/b=3,且1/a+1/b+1/c≠0. 则x-a-b-c=____.(第8届缙云杯数学竞赛) 解由已知得(1/a+1/b+1/c)(x-a-b-c)=0,故应填“0”.这是“变换已知”到未知,另一是变换未知到已知.     

利用一个结论,巧解一道赛题

设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又D,E分别是△APB和△APC的内心,证明AP,BD,CE     

一道赛题引出的一个三点共线性质

题（第37届IMO中国选拔赛试题）：以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E．过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG与EF交于点M,则AM⊥BC．     

奇函数的一个性质与“希望杯”赛题

奇函数ｆ(ｘ)具有下列性质 :若ｆ(ｘ)为奇函数 ,且ｆ( 0 )存在 ,则ｆ( 0 )= 0 .下面略举它在“希望杯”全国数学邀请赛高一试题中的应用数例 .例 1　ｆ(ｘ)是定义域为在Ｒ的奇函数 ,下列结论中正确的是 (　　 )(Ａ)ｆ(ｘ) -ｆ( -ｘ) >0(Ｂ)ｆ(ｘ) -ｆ( -ｘ) <0(Ｃ)ｆ(ｘ) ·ｆ( -ｘ) ≤ 0(Ｄ)ｆ(ｘ)·ｆ( -ｘ) >0解　在 4个选择项中 ,均令ｘ=0 ,由ｆ( 0 )= 0 ,知选Ｃ .例 2　ｆ(ｘ)是定义域为Ｒ的奇函数 ,方程ｆ(ｘ) =0的解集为Ｍ ,且Ｍ中有有限个元素 ,则 (　　 )(Ａ)Ｍ可能是 (Ｂ)Ｍ元素个数是偶数(Ｃ)Ｍ中元素个数是奇数(Ｄ)Ｍ中元素个…     

等差数列的一个性质与一类三角题的新解

本文引进等差数列的一个性质定理,意在探讨类三角问题的新解法。     

学好一道例题 指导一类赛题

在讲解例题时,若能注重知识的融汇贯通,从思路和方法上多加分析,总结,学好一道例题,就能指导一类题目。下题为人教版初中《几何》第二册89页     

可用轴对称解的一类赛题

在初中数学竞赛中,曾出现过以下一类试题,解这类题目,学生比较困难。本文利用轴对称知识,给出这类试题的统一解法。 [试题1] P是等边△ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,则△ABC的边长等于____。(浙江第二届初中数学竞赛决赛试题) 解:分别以△ABC的三边为对称轴作P点的对称点P_1,P_2,P_3,并分别连结各相邻顶点(如图1)于是P_1B=P_2B=PB=5,∠P_1BA=∠PBA,∠P_2BC=∠PBC。又因△ABC为等边三角形,∠ABC=60°,则∠P_1BP_2=120°。连结P_1P_2,在等腰△P_1BP_2中,     

一类等差数列赛题的通用解法

例1设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1〉0,Sn为其前n项之和,则Sn（n∈N^n）中最大的是（ ）     

巧用一个命题解赛题

命题 设abc≠0,又a b c=0,则有:1/a~2 1/b~2 1/c~2=(1/a 1/b 1/c)~2 证 因abc≠0,故1/a、1/b、1/c均有意义,又a b c=0,     

巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题

在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题,解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算,二是通过建立坐标系,用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多,不知怎么转化,解题缺乏方向性;用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.     

利用卡尔松不等式证赛题

利用卡尔松不等式可以证明柯西不等式和均值不等式．     

利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…     

对一类初中平面几何赛题的探索

例 1　如图 1 ,梯形DEFK中 ,DE∥KF ,分别以两腰KD、EF为边作正方形KGBD和正方形ECHF ,联结BC ,设线段BC的中点为M .求证 :MD =ME .图 1( 2 0 0 4 ,全国初中数学联赛 (C卷 ) )图 2例 2　如图 2 ,在△PBC中 ,M是BC的中点 ,PE⊥CE ,PD⊥BD ,D、E为垂足 .若∠PBD =∠PCE ,求证 :MD