用完全平方公式进行根式运算

完全平方公式（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２是数学中一个重要公式，应用非常广泛．现举几例说明这个公式在根式运算中的应用．例１已知则（１９９５年宁夏中考试题）解　逆用完全平方公式，得例２　如果ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋５＝０，求的值．（１９９４年宁夏中考试题）解　把已知等式左边配方，得（ｘ２－４ｘ＋４）＋（ｙ２－２ｙ＋１）＝０．即（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝０．由非负数的性质，得ｘ＝２，ｙ＝１．原式例３已知，那么的值等于（）ｖｘｖｙｚｘｙ（Ａ）子；（Ｂ）斗；（Ｃ）士；（Ｄ）手．（１９９４年济南市中考…     

公式的简易变形及其应用

公式的作用不言面喻,一般地是正向或逆向应用．本文通过几个常见公式的简易变形,举例说明其应用．１　完全平方公式完全平方公式（ａ±１）２＝ａ２±２ａ＋１可变形为：（ａ±１）２＝ａ（ａ±２）＋１．利用此式可判定完全平方数,即一个完全平方数当且仅当它可表成相差为２的两数之积与１的和．例１　求自然数ｎ,使２８＋２１１＋２ｎ为完全平方数．（第六届全俄中学生奥林匹克试题）解　２８＋２１１＋２ｎ＝２８（１＋２３＋２ｎ－８）＝２８〔１＋２２（２＋２ｎ－１０）〕．令２ｎ－１０＝２２,则ｎ＝１２时,有２８＋２１１＋２…     

如何选用因式分解的方法

因式分解的方法多,技巧性强,这就要求我们在解题时要根据不同的题目,进行具体分析,灵活选用因式分解的方法．例谈如下：一、多项式为二项式,如果有公因式,要先提公因式,再试用平方差公式或立方和、立方差公式。例１分解因式：（３）１６（ａ－ｂ）２－９（ａ＋ｂ）２．分析（１）可把８１ａ４看作一个整体,连续应用平方差公式;（２）提公因式后用立方差公式;（３）把１６（ａ－ｂ）２和９（ａ＋ｂ）２看成两个整体,原多项式则可看成二项式,利用平方差公式分解因式．解（１）原式＝（９ａ２＋ｂ２）（９ａ２－ｂ２）＝（９ａ２＋…     

你会用乘法公式解题吗

你会用乘法公式解题吗？这里举例说明乘法公式应用的五个层次，供你学习时参考．第一层次：直接应用———根据所给题目，对照公式特征，直接套用有关公式解答．例１计算：（１）（３x２＋２y２）（３x２－２y２）；（２）（－２x＋y）（２x＋y）．分析：这两小题均符合平方差公式的结构特征，故可直接应用平方公式来解．解：（１）原式＝（３x２）２－（２y２）２＝９x４－４y４；（２）原式＝y２－（２x）２＝y２－４x２．第二层次：连续应用———对一道题连续几次应用乘法公式解答．例２计算：（１－m）（m＋１）（m２＋１）（m４＋１）…     

看项数 选方法

从所给多项式的项数来选择因式分解的方法是一个行之有效的好办法．举例如下．１．二项式待分解的多项式是二项式，可以选择的方法有：直接应用平方差公式或立方和立方差公式．如果有公因式，先提取公因式．例１分解因式：（１）１６ｘ４－ｙ４；（２）３ｍａ４＋２４ａｍ；（３）４（ａ－２ｂ）２－９ｃ２．简析（１）可连续应用平方差公式；（２）先提取公因式后用立方和公式；（３）把４（ａ—２ｂ）２看成一个整体，原多项式仍可看成二项式，切不可盲目把括号展开．解（１）原式＝（４Ｘ２＋ｙ２）（４Ｘ２－ｙ２）＝（４Ｘ２＋ｙ２）（…     

变形公式分解因式

当某些代数式不易分解时，如果能将我们非常熟悉的完全平方公式、立方和（差）公式适当变形后加以利用，则往往能出奇制胜。简化解题过程．例１分解因式：9ｘ２－（Ｘ十Ｙ－Ｚ）２－（２Ｘ－Ｙ＋Ｚ）２．分析本题如果直接利用完全平方公式，先展开后分解，也可获解，但过程较繁．如注意到（ｘ＋ｙ－ｚ）＋（２ｘ－ｙ＋ｚ）＝３ｘ，把公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂ变形为（ａ＋ｂ）２－ａ２－ｂ２＝２ａｂ，便可得到如下巧解．解原式＝〔（x＋ｙ－ｚ）＋（２ｘ－ｙ＋ｚ）〕２－（ｘ＋ｙ－ｚ）２一（２ｘ－ｙ＋z）２＝２（ｘ＋ｙ－ｚ…     

活用能量变换公式巧解高考试题

利用动量和能量公式解答有关问题是中学物理教学的重点和难点。本文介绍一个能量变换公式及其应用。一、能量变换公式如图１所示，光滑水平面上的质量分别为m１和m２的两物体原来的运动速度分别为v１和v２，相互作用后的速度分别为v'１和v'２，则相互作用前后系统的动能Ek和E'k分别为：Ek＝１２m１v２１＋１２m２v２２（１）E'k＝１２m１v'２１＋１２m２v'２２（２）将以上两式变形得：Ek＝１２m１v２１＋１２m２v２２＝m１（m１＋m２）v２１＋m２（m１＋m２）v２２２（m１＋m２）＝（m１v１＋m２v２）２＋m１m２（v２１－２v１v２＋v２２…     

变形巧用完全平方公式

准确、熟练地运用乘法公式，常常能给解题带来方便．而将某些公式巧妙变形之后再用，就不仅能使解题过程简捷，而且令人有赏心悦目之美感，下面以完全平方公式为例，谈谈公式变形的应用．变形１由（a＋b）２＝a２＋２ab＋b２移项有a２＋b２＝（a＋b）２－２ab．例１已知a＋b＝１，a２＋b２＝２．求下列各式的值：（１）ab；（２）a４＋b４．解（１）由a２＋b２＝（a＋b）２－２ab，得２＝１２－２ab，∴ab＝－１２．（２）a４＋b４＝（a２＋b２）２－２a２b２＝（a２＋b２）２－２（ab）２＝２２－２×（－１２）２＝７２．变形２由（a－b）…     

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性□李玉钊（河南信阳地区教育学院４６４０００）众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），欲求其解，可通过著名的求根公式ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ｎ，ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ（...     

计算n!的另一个近似公式

本文首先证明引理：对一切自然数都有［１＋（１／ｎ）］~ｎ［（５ｎ＋６）／（５ｎ＋１）］～（１／２）＜ｅ＜［１＋（１／ｎ）］~ｎ［（６ｎ＋７）／（６ｎ＋１）］～（１／２）, 进而推出计算ｎ！的另一个近似公式,它比斯特林（Ｉ． ｓｔｒｉｒｌｉｎｇ）公式有更好的精确度。     

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌（甘肃省金昌市一中７３７１００）题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．（１）这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原...     

谈谈等差数列的前n项和公式

在等差数列中,有两个前ｎ项和公式：Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２和Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）２ｄ．下面就这两个公式谈谈与公式相关的知识及应用．１公式Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２的推导方法及应用在高中代数课本中,公式Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）２的推导用的是“倒序相加...     

韦达定理与乘法公式

韦达定理与乘法公式□陈大业（安徽省蚌埠八中２３３０２０）由韦达定理导出乘法公式，对横向沟通相关知识间的联系，不无小补．平方差公式以ａ与ｂ为根构造二次方程ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０，则有ａ２－（ａ＋ｂ）ａ＋ａｂ＝０，ｂ２－（ａ＋ｂ）ｂ＋ａｂ＝０．ａ...     

活用两点的距离公式解题例谈

两点的距离公式主要用于求两点的距离．若能灵活应用,则可使有些数学问题的解决更直观、明了．现将在高中数学中的几种常见用法归纳如下．一、解方程例１　解方程｜３ｘ－２｜＋｜３ｘ＋７｜＝９．解：原方程化为｜ｘ－２３｜＋｜ｘ－（－７３）｜＝３．①根据两点的距离公式的特殊情形,即数轴上两点的距离公式,可知①式即求点Ｍ（２３）和另一点Ｎ（－７３）的距离之和等于３的ｘ的值,显然－７３≤ｘ≤２３是原方程的解．例２　解方程ｘ２＋ｙ２＋（ｘ－２）２＋ｙ２＋（ｘ－２）２＋（ｙ－４）２＋ｘ２＋（ｙ－４）２＝４５．图１解：…     

用求根公式分解因式

用求根公式分解因式秦玉峰，邬翠兰有些多项式的因式分解，若用求根公式，则既简便又顺利。例１、把６Ｘ２－７ｘｙ－３ｙ２－Ｘ＋７ｙ－２分解因式。解：原式＝６Ｘ２－（７ｙ＋１）ｘ－（３ｙ２－７ｙ＋２）把６Ｘ２－（７ｙ＋１）ｘ－（３ｙ２－７ｙ＋２）＝０看作关于...     

对课本上一道习题的修正

对课本上一道习题的修正甘肃省商业学校唐文玲高中《代数》（必修）下册复习参考题六第７题为：已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ成等比数列，求证：（１）ａ＋ｂ，ｂ＋ｃ，ｃ＋ｄ成等比数列；（２）（ａ－ｂ）２＝（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２＋（ｄ－ｂ）２．结论（１）是不对的，因为...     

用配方法分解二次三项式

熟练掌握二次三项式的因式分解,有助于将来解决一元二次方程问题以及分式化简问题．对于二次三项式,十字相乘法是一种经常用到的分解方法．但对于系数较复杂的二次三项式,不容易用十字相乘法分解,一味地凑数分解往往费时费力．我们可以采用配方法来分解．配方法是以完全平方公式和平方差公式为基础进行恒等变形的分解方法：先将二次三项式配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式分解,例如：（１）ｘ２－２ｘ－３＝（ｘ２－２ｘ＋１）－４＝（ｘ－１）２－４＝（ｘ－１＋２）（ｘ－１－２）＝（ｘ＋１）（ｘ－３）;（２）ｘ２（３）…     

一道不等式题的多种证法

一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－...     

用两点距离公式求函数的最值

用两点距离公式求函数的最值□兰州市二中马瑞华例１求函数ｙ＝ｘ２＋４＋ｘ２－４ｘ＋５的最小值解：ｙ＝ｘ２＋４＋（ｘ－２）２＋１＝（ｘ－０）２＋（０－２）２＋（ｘ－２）２＋（０－１）２．设点Ａ坐标为（０,２）,Ｂ坐标为（２,１）,则问题转化为在ｘ轴上...     

一类数列通项公式的求解

一类数列通项公式的求解李世文（甘肃省文县第一中学７４６４００）董志刚（广东省英德师范学校５１３０００）求解数列的通项公式，是高考的一个热点问题，由于与此有关的的题，形式多变，灵活性强，很不容易为考生所把握．本文介绍由递归式ａｎ＋１＝ｂａｎ＋ｃｎ（｛ｃ...