高中数学中的极值问题

<正>在高中数学中,有一类题目是关于函数的,而在函数中,求解函数的极值和根据函数的极值来求解问题又占了很大的比例,因此有必要谈谈函数的极值的解法和类型。一、求简单函数的极值例1求下列函数的极值:(1)f(x)=x²e2e^(-x);(2)f(x)=2x/x(-x);(2)f(x)=2x/x²-2。解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=2xe2-2。解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=2xe^(-x)-x(-x)-x²e2e^(-x)=x(2-x)e(-x)=x(2-x)e^(-x),令f′(x)=0,     

为何遗漏极值点?(高三)

用导数法求函数的极值,是求极值基本方法,在解决这类问题时,如果对法则、定理一知半解或理解不透,很容易造成极值点的遗漏.可导函数y=f(x)在某一点x_0处取得极值的必要条件是这一点x_0的导数f′(x_0)=0.因此求可导函数y=f(x)的极值可以按照下列步骤进行: ①先求函数y=f(x)的导数f′(x); ②令f′(x)=0求得根x_0; ③在x_0附近左右两侧判断f′(x_0)的符号,左正右负为极大值点,左负右正为极小值点.     

导数在函数中显神通

一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-…     

巧用导数 机智解题

导数是新教材第三册(选修Ⅱ)中的新添内容之一,教材主要介绍了导数在解题中判断函数单调及求函数极值与最值的应用,本文结合具体实例,就导数在解题中其它方面的几点应用作一下归纳,仅供读者参考.1判断函数图象例1设函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如右图所示,则其导函数y=f′(x)的图象为()分析由y=f(x)的图象可以看出,当x<0时,y=f(x)是单调递增函数,由此可得:对任意x<0,f′(x)>0恒成立;所以可以排除(A)、(C);又因为x>0时,y=f(x)有两个极值点,所以x>0时,f′(x)=0有两个不等实根,且在两根左右两侧,f′(x)符号相反,因此答案应选(D).2化简例2…     

能取等号吗?

函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实     

导数应用 高瞻远瞩

导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi…     

导数的活用

一、活用导数求极限【例1】求(1)li mx→0ex-1x(2)lix→m0sixnx解:(1)令f(x)=ex,则f′(x)=ex,f(0)=1∴li mx→0ex-1x=lix→m0f(x)x--0f(1)=f′(0)=1(2)li mx→0sinxx=lix→m0sinxx--0sin0=(sinx)′|x=0=1二、活用导数解决函数的单调性问题【例2】已知:函数f(x)=x2cosθ 2xsinθ     

数形结合思想在解题中的应用举例

一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2…     

“函数”错解例析

一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系…     

运用导数解析函数的各类问题

运用导数研究函数的单调性、极值、最值以及证明不等式,是一种可行性强、操作性简单的方法.一、求函数的解析式【例1】　设y = f(x)为三次函数,且图像关于原点对称,当 x =12时的极小值为-1,求函数f(x)的解析式.解析:设f(x)= ax3 bx2 cx d(a≠0),因为其图像关于原点对称.即f(- x) =- f(x)得ax3 bx2 cx d= ax3 - bx2 cx - d(x∈R),∴b =0,d =0,即f(x) = ax3 cx,由f′(x) =3ax2 c,依题意f′(12) =34a c =0,f(12) =18a c2=-1解之,得a =4,c =-3.故所求函数的解析式为 f(x) = 4x3 -3x.二、求函数的单调区间【例2】　求函数f(x…     

封面数学家简介：

(2007年高考全国卷Ⅰ第20题)设函数f(x)=e~x-e~(-x)。(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。命题者提供的参考答案:     

分类讨论思想在求二次函数最值中的应用

<正>一、讨论二次项的系数例1已知x²-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x2-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x²-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)2-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)²+a2+a²。1(1)02,当x=1时,f(x)_(min)=2a-1。     

导数的十大综合应用

一、导数与函数单调性相关问题例1已知a!R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析函数f(x)的导函数f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax.(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0;若x>0,则f′(x)>0.故当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0, ∞)内为增函数.(2)当a>0时,由2x ax2>0,解得     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

几类特殊函数的反函数

一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2…     

多次求导——破解导数零点问题

<正>例设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.参考答案如下:(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)上单调减少,在(0,+∞)上单调增加.     

导数在解数学题中的应用

一、利用导数求单调区间例1已知函数f(x)=x3 bx2 cx d,它的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y 7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)由函数f(x)的图像过点P(0,2),可知d=2,所以f(x)=x3 bx2 cx 2,则有f′(x)=3x2 2bx c.由函数f(x)在     

函数单增(或单减)的充要条件是什么?

20 0 4年全国高考新课程安徽、河北卷(文科 )中第 19题是 :已知f(x) =ax3 3x2 -x 1在R上是减函数 ,求实数a的取值范围 不少同学在解这道高考题时 ,出现以下错误解法 :f′(x) =3ax2 6x-1.因为 f(x)在R上是减函数 ,所以 f′(x) <0 ,所以 3ax2 6x -1<0在x∈R上恒成立 ,即a <0且Δ =3 6 12a<0 ,因此a <-3 .错误的原因是 :将 f′(x) <0视为 f(x)在R上是减函数的充要条件 .其实当a =-3时 ,f(x) =-3x3 3x2 -x 1=-3 (x -13 ) 3 89,与函数f(x) =-x3(此函数在R上单减 )的单调性作比较 ,可知当a =-3时 ,f(x) =-3x3 3x2 -x 1=-3 (x -13 ) 3 89在R上…     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)=x³-6bx3-6bx²+b在区间(0,1)内存在平行于x轴的切线,则实数b的取值范围为_____.解因为切线平行于x轴,所以切线的斜率为0.因为f(x)=x2+b在区间(0,1)内存在平行于x轴的切线,则实数b的取值范围为_____.解因为切线平行于x轴,所以切线的斜率为0.因为f(x)=x³-6bx3-6bx²+b,所以f′(x)=3x2+b,所以f′(x)=3x²-12bx.由题意知f′(x)=0在(0,1)内有解,所以f′(x)=3x2-12bx.由题意知f′(x)=0在(0,1)内有解,所以f′(x)=3x²-12bx=0,得x=0或x=4b,所