一道立几题的推广和应用

有这样一道立体几何题:平面a过△ABC的一边BC,△ABC是△ABC在a内的射影,二面角A-BC-A′=(如图1).求证:S_(△ABC)=S_(△ABC)·cos证明:过A在△ABC中作AD⊥BC交BC于D∵AA′⊥平面a,由三垂线定理逆定理有A′D⊥BC,∴∠ADA′为二面角A-BC-A′的平面角,即∠ADA′=∴A′D=     

“三线合一”性质的逆命题及其应用

等腰三角形“三线合一”性质 :等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。它包含以下三个真命题 :在△ ABC中 (如图 1) ,(1)若 AB=AC,AD⊥ BC,那么 BD=CD,∠ 1=∠ 2 ;(2 )若 AB=AC,BD=DC,那么 AD⊥ BC,∠ 1=∠ 2 ;(3)若 AB=AC,∠ 1=∠ 2 ,那么 AD⊥ BC,BD=DC。可以证明 ,上述三个命题的逆命题都是真命题。综合上述六个命题 ,可知 :在△ ABC中 ,如果 1AB=AC;2 AD⊥ BC;3BD=DC;4∠ 1=∠ 2四项中任意两项成立 ,那么其余两项一定成立。下面举例说明等腰三角形“三线合一”在解题中的应用。例 1.已知 :…     

漫谈等腰三角形的“三线合一”

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称"三线合一".它包括三个方面的内容:如图1,△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点.(1)若∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)若AD⊥BC,那么BD=CD,∠1=∠2;(3)若BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC.一、"三线合一"反映了等腰三角形的重要性质一轴对称性     

等腰三角形“三线合一”性质的运用

同学们知道,等腰三角形底边上中线、高线及顶角的角平分线是互相重合的,我们把等腰三角形的这一性质简称为“三线合一”。一、利用“三线合一”的性质寻找证题途径例1已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高。求证:∠CBD=21∠A图1分析:当题目中有等腰三角形的已知条件时,常常作出底边上的中线、高线或者顶角的角平分线中的一条,利用等腰三角形“三线合一”的性质寻找证题途径。证明:作AE⊥BC于E,则∠1 ∠C=90°∵BD是AC边上的高图2∴∠CBD ∠C=90°∴∠1=∠CBD又∵AB=ACAE⊥BC∴∠1=12∠BAC∴∠CBD=21∠BAC变式练习…     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

数理化园地(9)

数学在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于D,AD=BC,H为△ABC的垂心,P为线段BC的中点,求证:PH HD=(1/2)BC(王定邦供稿)     

活用知识多角度解题

中学数学教材知识的编排是按章节分类的 ,知识点之间缺乏相互联系 .活用所学知识 ,把章节之间的知识相互渗透 ,多角度解答数学问题 ,是学好初中数学的关键 .1　利用三角形面积证明几何题例 :求证等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高 .已知 :如图 1△ABC中 ,AB =AC ,DE⊥AB ,DF⊥BC ,CG⊥AB .求证 :DE +DF =CG图 1分析 :连结AD ,易知S△ABD =12 AB·DE ,S△ADC =12 AC·DF ,S△ABC=12 AB·CG ,AB·DE +AC·DF =AB·CG ,而AB =AC ,故DE +DF =CG .2　利用辅助圆解答几何题例 :如图 2等腰△ABC…     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

等腰三角形一个判定方法的证明及应用

<正>等腰三角形具有"三线合一"的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.(1)如果∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)如果BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC;(3)如果AD⊥BC,那么∠1=∠2,BD=CD.上述性质中,共存在4个关系式:AB=AC,∠1=∠2,AD⊥BC,BD=CD.而改写后的每条性质都有两个条件,且都有一个条件是"AB=AC".反过来,在关系式∠1=∠2,AD⊥BC,     

在再思考中创新思维

题：如图1，△ABC中．BH⊥AC于H；DB⊥AB、EB⊥BC，且BD=AB、BE=BC，延长HB交DE于M，求证：M为DE的中点．     

一个频频"上镜"的图(初二、初三)

在全国众多的竞赛中,往往会遇到一些相似的题,但在同样的背景中,由于待求的问题不同,用到和得到的知识也不同. 例1 如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF. (97年安徽竞赛) 证明 作AH⊥BC于H,交BD于G. 在△BGA和△AFC中     

等腰三角形中的一个“定值”

定理:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和,等于其腰上的高.定理的证明可转化为下列问题:如图1,已知在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的任意一点,DE⊥AB于E点,DF⊥DC于F点,BG是腰AC的高.求证:BG=DE+DF.     

一个等腰三角形命题中渗透的面积法

在学习等腰三角形时,我们曾经遇到过这样一个几何命题:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:CF=PD+PE.对于该题,一般学生会想到截长法与补短法.     

构造等腰三角形解题

等腰三角形是三角形中内容比较丰富的一个知识点,本文就构造等腰三角形解题举例说明. 如图1,△ABC中,AD⊥BC于D,∠ABC=2∠C,求证:AB+BD=CD. 简析与解延长DB到E,使BE=     

挖掘课本习题潜能例谈

例 1 .求证等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于腰上的高。已知 :△ ABC中 ,AB=AC,P为 BC上任意一点 ,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CD⊥ AB。如图 1。求证 :PE PF=CD。证明 :过 P点作 PM⊥ CD,∵ PE⊥ AB,CD⊥ AB,∴四边形 PMDE是矩形 ,∴PE=DM。∵PM⊥ CD,CD⊥AB,∴AB∥PM,∴∠ B=∠ MPC。∵AB=AC,∴∠ B=∠ ACB,∴∠ MPC=∠ ACB。在△ MPC和△ FCP中 ,　∠ PMC=∠ CFP,　∠ MPC=∠ ACB,　 PC=CP,∴△ MPC≌△ FCP,∴PF=CM,∴CD=DM CM=PE PF。反思 1 .此题条件等腰三角形可变为等边三角形。…     

充分发挥学生的解题能力

在教完“相似形”一章后,布置如下一道习题,要求学生用几种不同的方法证明.现将学生的证明归纳如下六种,供参考. 题目已知:△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,BD为AC上的中线,AE⊥BD交BC于点E.求证:BE=2EC.     

浅说中位线的应用

中位线定理是三角形一个重要定理·有一个特点,在同一个题设下有两个结论:一个结论是表明两条线段的位置关系(平行),另一个结论是表明两条线段的数量关系(一半)·在应用这个定理时,不一定同时需要两个结论,有时需要平行,有时需要倍分关系·可以根据具体情况,按需选用·现举例说明中位线定理的运用·一例、1用于在证△明A平BC行中,BD平分∠ABC,AD⊥BD,垂足为D,AE=EC·求证:DE∥BC·证明:延长AD交BC于F,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD·因为AD⊥BD,所以∠BDA=∠BDF=90°又BD=BD,所以△BDA≌△BDF(ASA),所以AD=DF…     

一题多变 触类旁通

对课本中的一些习题多角度全方位进行一题多解、一题多变,不仅可以拓宽学生知识视野,而且可以培养学生的创新意识和创新能力.因此,充分挖掘课本习题隐含的数学思想方法,并深化改造,可有效地提高学习效率,同时,可改变一味追求练习数量,忽视练习质量的学习方式.下面以初中《几何》第二册P193B组第二题为例,浅谈几点具体做法.求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于腰上的高.已知:P是等腰△ABC底边BC上一点,PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC,D、E、F是垂足.求证:PD+PE=BF.一、寻求一题多解,加强基本技能训练方法一、构造三角形全等…     

妙用中点证题

中点是几何图形中的特殊点,与中点有关的线段有三角形的中线、中位线、梯形的中位线等.利用中点很容易构造全等三角形、等腰三角形.在解题中,若能灵活运用它的相关性质,可使许多问题得到迅速解决.一、由中点联想三角形的中线例1如图1,△ABC中BD和CE是高,M为BC中点,P为DE的中点.求证:PM⊥DE.分析:由∠BDC=∠BEC=90°,M为BC中点,可得MD=ME=12BC,故△MDE为等腰三角形.又P为DE中点,根据等腰三角形底边上的中线也是底边上的高即可得证.二、由中点联想中位线例2如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AD相似文献   

一道数学竞赛题的多种解题思路(之2)

题在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A =90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且EF⊥BE.求△CEF的面积.