归纳法———开启思维大门的钥匙

引例观察下列等式1=1=1~2 1 3=4=2~2 1 3 5=9=3~2 1 3 5 7=16=4~2……     

等幂和问题的推广

华罗庚著数论导引第十八章Waring问题及Prouhet—Tarry问题中关于等幂和问题曾提出下面的一个递推公式。 若正整数x_1,x_2,…x_s,y_1,y_2,…y_s适合 x_1 x_2… x_s=y_1 y_2 …y_s x_1~2 x_2~2 …x_s~2=y_1~2 y_2~2 …y_s~2 x_1~k x_2~k … x_s~k=y_1~k y_2~k … y_s~k则 1≤h≤k 1如由 1 4=2 3 令d=4得 1 4 6 7=2 3 5 8 1~2 4~2 6~2 7~2=2~2 3~2 5~2 8~2 再令d=8得1 4 6 7 10 11 13 16=2 3 5 8 9 12 14 151~2 4~2 6~2 7~2 10~2 11~2 13~2 16~2=2~2 3~2 5~2 8~2 9~2 12~2 14~2 15~21~3 4~3 6~3 7~3 10~3 11~3 16~3=2~3 3~3 5~3 8~3 9~3 12~3 14~3 15~3 本文将对更加广泛的等幂和问题提出下面的引理和定理: 引理1:设存在一组整数x_11,x_12,x_1n。     

介绍几种速算法

速算既可以锻炼快速反应的能力,又能赢得时间。下面介绍几种常用的乘法速算法。 一、运用基础算理进行速算。如: 1.已知24×4=100 125×8=1000所以:25×7×4=25×4×7=700(乘法交换律) 26×8+99×8=8×(26+99)=1000(乘法结合律) 101×25=(100+1)×25=100×25+1×25=2525(乘法分配律) 2.利用平方差公式速算:如:28~2-22~2=(28+22)×(28-22)=50×6=300 二.记住一些常用数的平方,可加快运算速度。 如:(±11)~2=121,(±13)~2=169,(±14)~2=196,(±15)~2=225,(±16)~2=256,(±17)~2=289,(±18)~2=324,(±19)~2=361,(±20)~2=400,(±21)~2=441,等等。这里特别需要指出的是:12~2=144,而21~2=441,     

第二讲 式的恒等变形常用的技巧

进行式的恒等变形时,常用到下面的技巧。一、同加、同减例(1) 已知(a+b)~2=7,(a-b)~2=3,求a~4+b~4的值。解:将(a+b)~2=7,(a-b)~2=3两式分别相加、相减得: 2(a~2+b~2)=10,4ab=4。即 a~2+b~2=5,ab=1 ∴ a~4+b~4=(a~2+b~2)~2-2a~2b~2=5~2-2×1~2=23。例(2) 设a>0,b>0,a~2+b~2=7ab,求证: lg[1/3(a+b)]=1/2(lga+lgb)。解:a~2+b~2=7ab等式两边同加上2ab得: (a+b)~2=9ab。即((a+b)/3)~2=ab,     

高阶本原等幂和数组的构造方法

首先请看下面这组有趣的自然数等式 1 5 6 10 11 15=2 3 7 9 13 14 1~2 5~2 6~2 10~2 11~2 15~2=2~2 3~2 7~2 9~2 13~2 14~2 1~3 5~3 6~3 10~3 11~3 15~3=2~3 3~3 7~3 9~3 13~3 14~3 一般地,我们引进如下定义。     

一道国际竞赛题的解答及其推广

一九八七年美国第五届数学邀请赛(AIME)试题中有这样一道题:计算 [(10~4 324)(22~4 324)(34~4 324)(46~4 324)(58~4 324)]/[(4~4 324)(16~4 324)(28~4 324)(40~4 324)(52~4 324)] 解:考虑10~4 324=324(10~4/324 1)=324[4×(5/3)~4 1] 而4n~4 1=(2n~2-2n 1)(2n~2 2n 1) ∴10~4 324=324××=4×29×89同理,22~4 324=4×185×317,34~4 324=4×485×689 46~4 324=4×929×1205,58~4 324=4×1517×1865 4~4 324=4×5×29,16~4 324=4×89×185 28~4 324=4×317×485,40~4 324=4×689×929 52~4 324=4×1205×1517     

课本变式题库

初中部分 题目1.已知方程ax~2 bx c=0(a≠O)的两根和为S_1,两根平方和为S_2,两根立方和为S_3,则aS_3 bS_2 cS_1的值是____.(1993年四川省初中数学联合竞赛试题) 解:设x_1,x_2是已知方程ax~2 bx c=0(a≠0)的两根,则有ax_1~2 bx_1 c=0,ax_2~2 bx_2 c=0. 由题意知,x_1 x_2=S_1,x_1~2 x_2~2=S_2,x_1~3 x_2~3=S_3. ∴ax_1~3 bx_1~2 cx_1=0, ① ax_2~3 bx_2~2 cx_2=0. ② ① ②得 a(x_1~3 x_2~3) b(x_1~2 x_2~2) c(x_1 x_2)=0. 即 aS_3 bS_2 cS_1=0. 注:此题是根据初中《代数》第二册第84页第9题综合改编而成.经过深究还有类似结论,现列举两个.     

一道竞赛题的推广

例图1中的小方格是边长为1的正方形,则从图中一共可以数出__个正方形. 分析:边长为1的小正方形的个数是4×4=4~2,边长为2的小正方形的个数是3×3=3~2,边长为3的小正方形的个数是2×2=2~2,边长为4的小正方形的个数是1×1=1~2,从而正方形的总个数为4~2+3~2+2~2+1~2=30.     

错解分析4例

例1 把两盏标有“6V 6W”,“6V 2W”的电灯泡串联接在12V的电源上。求两灯泡的实际功率。 错解∵R_1=U_(1额)~2/P_(1额)=(6V)~2/6W=6Ω, R_2=U_(2额)~2/P_(2额)=(6V)~2/2W=18Ω, ∴I=U/R_1 R_2=12v/6Ω 18Ω=0.5A. 故 P_1=I~2R_1=(0.5A)~2×6Ω=1.5W, P_2=I~2R_2=(0.5A)~2×18Ω=4.5W.     

用公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1)巧求sum from k=1 to n(k~2)和sum from k=1 to n(k~3)

由公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1),可得:C_2~2 C_3~2 … C_n~2=C_(n 1)~3,sum from k=2 to nC_k~2=C_(n 1)~3,     

直角三角形若干判定条件的统一

定理在△ABC 中,D 在 AB 上 ,AD=λ·AB,BC=a,CA=b,CD=m,则∠C=90°的充要条件是 m~2=λ~2a~2+(1-λ)~2b~2(0<λ<1).证明:设(?)=b,(?)=a,则(?)=a-b.(?)=λ(?)=λ(a-b),(?)=(?)+(?)=λa+(1-λ)b,((?))~2=[λa+(1-λ)b]~2.∴m~2=λ~2a~2+(1-λ)~2b~2+2λ(1-λ)a·b.∠C=90°的充要条件为 a·b=0,即 m~2=λ~2a~2+(1-λ)~2b~2.当λ=1/2,a~2/b~2,a/(a+b)时,CD 分别为 AB 边中线、高     

涉及两个三角形面积和边的一个等式

定理 设△A_1B_1C_1和△A_2B_2C_2边长和面积分别为a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2和△_1,△_2,记s_i=a_i~2 b_i~2 c_i~2,i=1,2,H=a_1~2(-a_2~2 b_2~2 c_2~2) b_1~2(a_2~2-b_2~2 c_2~2) c_1~2(a_2~2 b_2~2-c_2~2),则有恒等式:     

巧求sum from k=1 to n(K~3)又一法

本刊1995年第1期第37页,蔡金忠先生给出了一种求1~3 2~3 … n~3的新方法,读后很受启发.下面再介绍一种构思独特、颇具新意的方法.∵k~3=k~2,设k~2=s t,k=s-t,则s=k~2 k/2,t=k~2-k/2,∴k~3=s~2-t~2=[k(k 1)/2]~2-[k(k-1)/2]~2=(1 2 … k)~2-(1 2 … (k-1)]~2,     

欢庆1998年

1.请将下式中的汉字换成恰当的正整数,使等式成立.(陕西永寿县教研室 王晋远 邮编:713400)新~2十年~2十好~2=1998.解 不妨设代表“新年好”的三个数依大小顺序排列.因1998<45~2,可从44起检试:1998—44~2=62,不能分成两数平方之和.试43,1998—43~2=149=10~2 7~2,故得一组数 43,10,7,即 43~2 10~2 7~=1998.同样可得另外七组数:42,15,3;41,14,11;39,21,6;38,23,5;37,23,10;35,22,17;34,29,1.     

恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ在解题中的应用

设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数,     

一道排列组合题的推广

问题一:甲乙丙丁四人,分坐四车,一车只能坐一人,其中甲不能坐A车,乙不能坐B车,丙不能坐C车,丁不能坐D车,问共有多少种不同的坐法? 我们先把这个问题简单化:如果有两个车和两个人的话,答案应是M_2=P_2~2-C_2~1P_1~1+C_2~2P_0~0=1,这里我们规定P_0~0=1,P_2~2是不考虑任何情况的全排列,然后减去甲在A车与乙在B车的情况,这便减去了“甲在A车且乙在B车”的情况,即C_2~2P_0~0;如果是三人三车的话,M_3=P_3~3-C_3~1·P_2~2 +C_3~2P_1~1-C_3~3P_0~0=2;同样道理,本文开头问题1关于四人四车的答案就是M_4=P_4~4-C_4~1·P_3~3+C_4~2P_2~2-C_4~3P_1~1+C_4~4P_0~0=9,共有9种     

一元二次方程错解分析

例1解方程:x~2+6x-19=0,错解移项,得x~2+6x=19.配方x~2+6x+3~2=19-3~2,(x+3)~2=10,两边开平方,得     

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

构造图形证明两例

一一个数值不等式的几何证法高中代数教材中有这样一道例题:求证:2~(1/2) 7~(1/2)<3~(1/2) 6~(1/2). 我们可以构造如下的几何图形来证明.证:在△ABC 中,∠B=Rt∠,延长 BC 至 D,连 AD,令 AB=2,BC=2~(1/2),BD=3~(1/2).则有     

使比等于6:1

“六一”是国际儿童节将1～6六个数字,填入图中两圆周的六个空圈子内。要使两圆周上各数平方之和的比等于6:1,你能填吗?答案:因1~2 4~2 5~2 6~2=78 2~2 3~2=1378:13=6:1从而有解: