射影几何在中学几何中的两点应用

按照克菜因群论的观点,一个变换群对应着一种几何学,每种几何学所研究的对象是在相应变换群下,图形的不变性、不变量以及那些不变图形。由变换群的包含关系知,射影几何包含了仿射几何,仿射几何包含了欧氏几何,所以射影几何和仿射几何巾图形的性质在欧氏几何中必然成立。平行的概念只需理解为相交于无穷远点。这样我们可以利用射影几何、仿射几何的知识去解决初等几何问题,居高临下,问题就显得简单易解。     

关于几何学之间辨证关系的探讨

1引言几何学按传统的定义来讲是研究图形及其性质的一门科学．由于研究问题的范畴不同，形成了欧氏几何、伤财几何、射影几何三门独立的几何学．从欧氏几何过渡到射影几何，既有公理体系上的本质差别，又有三种几何学之间的内在联系．从辨证的意义上讲，揭示这种几何学之间的内在联系，对认识几何学的统一具有重要意义．2理想元素的引入将欧氏几何过渡到射影几何通常，大众所接触到的几何学是欧氏几何．在欧氏几间个，所研究的基本元素（点和直线）都是有限元素，如果建立西直线点之间的中心投影，则每条直线上都有一点在另一直线上没有对应…     

射影几何学的对偶原则

<正>由于绘图学和建筑学的需要,人们对投影性质产生了兴趣,射影几何就是在实际的应用科学和艺术的推动下诞生并发展起来的。区别于具有度量特点的欧式几何,射影几何隶属于非欧几何范畴,是研究图形在射影变换下不变的性质。在射影几何学中,对偶原则占据特殊而重要的地位。一、对偶原则对偶原则通常是描述两个体系之间的某种对称性的。如果体系A与B互为对偶,则从其中任意一个体系的规律可推知另一个体系的规律。     

绝对形与数种没有度量的几何学

本文从射影几何出发、利用点、直线或它们的组合图形为绝对形，推出了仿射几何、中心射影几何、中心仿射几何及旗帜几何等数种没有度量的几何，拓展了人们对几何学的认识。     

中学数学文摘(二)

平面几何部分一、几何学的基础知识和基本理论1.《几何学中的研究对象》作者:张素诚。《数学通报》1958年第9期第4—5页。内容提要:作者指出几何学者对抽象空间的研究,最早注意到的是欧氏空间,研究该空间中的距离、重合、运动等性质,并由仿射群、射影群、拓扑群等相应地产生了仿射几何、射影几何和拓扑几何,等等。此外,作者还对非欧几何、微分几何等作了简略说明。2.《关于欧几里得的几何学》作者:梅荣照。《数学通报》1962年第1期等36—38页。     

高观点下的初等几何之共点问题

在克莱因变换群理论下,欧氏几何是射影几何的子几何.因此,可以说射影几何学的思想理论对欧氏几何具有一定的指导意义.本文仅从几个射影理论就初等几何中的直线共点问题的证明方法进行研究.     

初等几何变换与中学几何教学

初等几何变换是欧氏几何学的主要概念之一。1872年德国数学家教育家克莱因建议几何学应按变换群分类,把几何学定义为在某种变换群下,研究图形的不变性质与不变量的一门学科。按照克莱因的观点,初等几何内容就是在移动、相似变换群下研究图形的不变性质与不变量的几何学。众所周知,初等几何学是一门古老的经典几何学,而平面几何是中学数学的重要组成部     

仿射几何的几点应用

作为数学中的一个重要组成部分的几何学．其研究的对象是图形的性质．对于我们熟知的欧氏几何学，要判定某个命题的结论是否正确。往往要反复应用各类图形的性质和其它命题的结论以及添加辅助线等，这样证明起来很困难。本文主要是应用仿射几何学的仿射不变性．由简单的几何命题成立．通过仿射变换后得到复杂的几何命题成立。     

走出欧氏几何——论射影几何中理想元素、复元素和对偶元素作用

本文论述了射影几何中理想元素、复元素和对偶元素的引入对几何学从欧氏几何发展到射影几何的重要作用，分析了由此导出的两种特殊的证明方法和作图方法     

走出欧氏几何

本文论述了射影几何中理想元素、复元素和对偶元素的引入对几何学从欧氏几何发展到射影几何的重要作用，分析了由此导出的两种特殊的证明方法和作图方法。     

浅谈几何教学中交错图形的思维问题

几何学是研究几何图形性质的一门科学,对几何图形的感知和分析能力是解几何题的关键。而几何图形往往是由基本几何图形交错而成,由于图形交错使几何概念的本质特征更为隐蔽,所以学生遇到这样的图形时往往产生错觉,特别是初学几何的初二     

向量法在中学数学中的应用举例

所谓向量法,就是利用向量的运算来研究图形性质的方法.几何学的主要内容是研究空间或平面图形的性质,而空间或平面图形可以看成是点的集合.由于向量的几何性质,又由于向量、点、序偶之间的对应关系,可以把图形的基本结构转为向量的关系,这实质就是几何问题的代数化处理.这样,几何中的添线、补图等技巧让位于代数中的解法.运用向量方法处理中学数学中有关问题能开阔解题思路,化难为易,使之更简捷地得到解决.     

运用圆知识解决物理问题

几何学是研究空间和图形性质的一门学科。几乎所有物理习题都涉及到空间和图形的问题,因此它们都或多或少地与几何知识发生联系。利用几何知识解决物理问题的时会使问题更加直观、具体,并且运用一些几何图形的性质来解决物理题目能达到意想不到的效果。在本文中笔者以几何圆形为例,运用圆的性质来解决物理题目。     

仿射观点下的Menelaus定理与Ceva定理

1.引言 按Felix Klein所给的定义,几何学可以用几何变换群来分类。几何图形,如曲线,曲面等等在一已知几何变换群G下不变性质的研究称为属于群G的几何学。如果G是射影,仿射或欧氏群,我们有相应的射影,仿射或欧氏几何学。 由有限次的平行射影即透视仿射的乘积便构成一个仿射。在仿射平面内所有仿射变换的集合构成群。这个群称为仿射群。在仿射群下几何图形有许多不变的性质和不变量,其中最重要的不变性是同素性和结合性,最重要的不变量是单比。     

激活思维背景语言提高识图能力

一个几何命题,它由文字语言、数学符号语言、几何图形语言组成.一般地,学生求解几何命题要依赖于几何图形的直觉判断,直接选取或设法选取相应的几何性质定理进行推理.几何学中的每一个定理相应地存在图形语言的表达形式,人们称它为基本图形.然而,许多几何习题,不全都是以简单的基本图形给出,而是基本图形呈现于其他图形的背景之中.学生就是因为视图能力制约思维进程,不能排除解题思维的干扰线段(或曲线),从背景图形中显露基本图形,使问题顺利解决.     

几何学发展概述

英文Geometry一词,是从希腊语演变而来的,其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光翻译成"几何学"。依据大量实证研究,创造几何学的是埃及人,几何学因土地测量而产生。几何是研究形的科学,以人的视觉思维为主导,培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。几何的发展首先是欧几里得的欧氏几何,其次是19世纪上半叶,非欧几何的诞生,再次是射影几何的繁荣,最后是几何学的统一。     

用复数研究初等几何变换

德国数学家克莱因(Klein)用运动变化的观点,把“几何学”看作是研究在变换群下图形的不变性质,在不同的变换群下,便得到不同的几何学。现在我们用复数的运算,来研究初等几何中的几种变换群,这是几何代数化的一种途径。     

运用基本图形发展思维能力

研究图形的性质是几何学的重要内容,教学中应将学生的注意力集中在掌握基本图形的性质及其应用上,通过理解几何基础知识和掌握一般论证方法,培养和发展学生的逻辑思维能力。     

空间曲线的基本不变量

我们知道,用公理法可以建立各种几何学,这可以说是用静的观点来研究几何学.我们还可以用动的观点来研究几何学,这就是研究变换群所对应的几何学的问题。有一个变换群就相应地有一种关于在这个群作用下不变性质理论的几何学。把几何学与变换群联系起来而给予几何学一种新的定义,是德国数学家克莱因(F·kLein)于一八七二年在”爱尔兰根纲领”中提出来的,近百年来数学发展的历史说明了克莱因观点在近代几何领域起了很大作用。按照克莱因的观点,几何学就是研究图形在变换群下的不变性质与不变量的一门科学.     

Desargues定理——几何学中美的鉴赏

Desargues定理是射影几何中点线结合的重要定理,也是平面射影几何的基础之一.本文根据定理的构形,利用对偶原理,揭示了该定理所体现的图形之美以及应用之美.