1995年中国数学奥林匹克(第10届全国中学生数学冬令营,合肥)

第一天 (1995—01—10上午8:00—12:30)一、设2n个实数a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n(n≥3)满足条件: (1)a_1 a_2 … a_n=b_1 b_2 … b_n; (2)0相似文献   

从2008年广东文科数学试题中数列压轴题的解法看递推关系求通项的常见类型

今年广东文科数学的最后一题是设数列{a_n}满足a_1=1,a_2=2,a_n=1/3·(a_(n-1) 2a_(n-2))(n=3,4,…).数列{b_n}满足b_1=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤b_m b_(m 1) … b_(m k)≤1.     

柯西不等式在中学不等式证明中的应用

设a_1,a_2,…,a_n和b_1,b_2,…,b_n为两组实数,则有((sum from i=1 to n(a_ib_i))~2≤(sum from i=1 to n(a_i~2))(sum from i=1 to n(b_i~2)))。式中等号当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时成立。特别地,当b_1=b_2=…=b_n=1时,有 a_1~2 a_2~2 … a_n~2≥1/n(a_1 a_2 … a_n)~2。 以上第一个不等式称为柯西不等式,其证明方法很多,在此不再赘述。     

应用柯西不等式的几个推广

<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k²·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k²≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)²。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n²,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。     

利用排序不等式法证分式不等式

众所周知,排序不等式 a_nb_n a_(n-1)b_(n-1) …… a_2b_2 a_1b_1≥a_nb_(in)) a_(n-1)b_(in-1) …… a_2b_(i2) a_1b_(i1)≥a_nb_1 a_(n-1)b_2 …… n_2b_(n-1) a_1b_n(其中,a_i,b_i∈R,i=1,2,…n,a_n≥a_(n-1)≥…≥a_1,b_n≥b_(n-1)≥…≥b_1,i_1,i_2,…i_n 是数码1,2,…n 的任意一个排列,当且仅当,a_n=a_(n-1)=…=a_2=a_1或 b_n=b_(n-1)=…=b_2=b_1时等号成立)在不等式的证明中有着十分广泛的应用.当所证不等式具有对称性时,不等式中各个字母     

利用排序原理巧证不等式

排序原理:设a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n,则a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≥a_1b_1 a_2b_t_2 … a_nb_t_n≥a_1b_n a_2b_(n-1) … a_nb_1.(Ⅰ)并且(Ⅰ)式中等号成立的充要条件是a_1=a_2=…=a_n或b_1=b_2=…=b_n(其中b_t_1,b_t_2,…,b_t_n是b_1,b_2,…,b_n的一个排列). 限于篇幅,上述原理的证明留给读者完     

等比定理在解题中的应用

若a_1/b_1=a_2/b_2…=a_n/b_n,且b_1 b_1 … b_n≠0, 则(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(a_1)/(b_1)=…=(a_n)/(b_n). 这就是我们熟知的等比定理,关于该定理的应用在现行中学教材中涉及较少,然而它的应用还是很广泛的,兹举例予以说明。1 化简 例1 分母有理化:(3 2(2)~(1/2)-3~(1/2)-6~(1/2))/(1 2~(1/2)-3~(1/2))= __________.（1989年全国部分省、市初中数学通讯赛初赛试题）     

证明一类分式不等式的一个行之有效的方法

应用柯西不等式,容易得到如下不等式:设 a_i∈R,b_i∈R~ (i=1,2,3,…,n),则有a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n≥(a_1 a_2 … a_n)~2/b_1 b_2 … b_n(当且仅当 b_i=ka_i(k 为常数,i=1,2,…,n)时取“=”号).事实上,由柯西不等式得:(a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n)(b_1 b_2 … b_n)=     

不等式的证明（二）

设 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 是两组不成比例的实数,实数 x_1,x_2,…,x_n 满足sum from i=1 to n a_ix_i=0, (1)sum from i=1 to n b_ix_i=1, (2)证明 (3)题中的条件"a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 不成比例"可以省去,因为若 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 成比例,则由式(1)可得 sum from i=1 to n b_ix_i=0,与式(2)矛盾,所以条件(1)和条件(2)已隐含此意.熟悉 Lagmnge 恒等式的人立即可以看出式(3)的分母     

一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

如何求数列的通项

数列{a_n}中,a_1=1,a_(n+1)=1/(16)(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),求a_n.解:构建新数列{b_n},使b_n=(1+24a_n)~(1/2)>0,则b_1=5,b_n~2=1+24a_n(?)a_n=(b_n~2-1)/(24).由a_(n+1=1/16(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),得(b_(n+1)~2-1)/(24)=     

归纳法的发现作用与中学数学教学

1982年高考数学试卷(理科)第九题是: 已知数列a_1,a_2,…,a_n,…和数列b_1,b_2,…,b_n,…,其中a_1=p,b_1=q,a_n=pa_(n-1),b_n=qa_(n-1) rb_(n-1)(n≥2),(p,q,r是已知常数,且q≠0,p>r>0)。 (1)用p,q,r,n表示b_n,并用数学归纳法加以证明; (2)求limb_n/(a~2 b~2)~(1/2) 。该题(1)解题过程有以下几个步骤: 1.尝试:∵a_1=p,a_n=pa_(n-1),∴a_n=p~n,b_1=q,b_2=qa_1 rb_1=q(p r),b_3=qa_2 rb_2=q(p~2 pr r~2)…… 2.观察:b_1、b_2、b_3的表达式都是q和p、r齐次式的乘积。 3.猜想:b_n=q(p~(n-1) p~(n-1)1 …… r~(n-1))。 4.论证:(用数学归纳法)从略。这是一个完整的逻辑推理过程,前一半是用简     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

柯西不等式的两种形式及应用

<正>柯西不等式设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2,当向量(a_1,a_2,…,a_n)与向量(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立[1].对于柯西不等式在n=2和n=3时有下面常见的代数形式和几何形式.设A,B与x,y是两组实数,则有     

数学教学如何培养概括抽象能力

为了把问题说清楚,我们从一九八二年数学高考试卷第九题(附加题)谈起,原题是: 已知数列a_1,a_2,…,a_n,…和数列b_1,b_2,…b_n,…,其中a_1=p,b_1=q,a_n=pa_(n-1),b_n=qa_(n-1) rb_(n-1)(n≥2),(p、q、r是已知常数,且q≠0,p>r>0),(1)用p、q、     

谈Sn=a_1-a_nq/1-q的推导

公式S_0=(a_1-a_nq)/(1-q)教材上使用的是“错位相减法”。这种方法用途很广,比如说在求一个等比数列{a_n}与一个等差数列{b_n}对应项积的数列{a_n·b_n}的前n项和时,就可以如此求得: 设{a_n}的公比为q,{b_n}的的公差为d: S_n=a_1b_1+a_2b_+…+a_nb_n (1) 在(1)两边同时乘以{a_n}的公比q: qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+…+a_nb_nq     

等比性质的灵活应用

等比性质:“若a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3=…=a_n/b_n(b_+b_2+b_3+…+_n≠0),则有(a_1+a_2+a_3+…+a_n)/(b_1+b_2+b_3+…+b_n)=a_1/b_1”.它在数学解题中有着广泛的应用,若能灵活运用并注意它的条件:b_1+b_2+b_3+…+b_n≠0,可以避免繁复的计算或复杂的推理.     

对两个错答的纠正

贵刊1988年1—2期合刊“高中代数综合训练与检测”中有两道练习题的答案是错误的,现纠正如下: 练习一8.有一等差数列{a_n}和等比数列{b_n} 若a_1=b_1>0,a_(2n 1)=b_(2n 1),试比较a_(n 1)和b_(n 1)的大小。原答案:当q≠1时,a_(n 1)>b_(n 1);当q=1时,a_(n 1)=b_(n 1)是错误的,今举一特例说明: {a_n}:3,3,3,3,3.d=0。 {b_n}:3,-3,3,-3,3。q=-1。它们分别是符合题意的等差数列和等比数列,但当n=2时有a_(n 1)=3=b_(n 1),并非a_(n 1)>b_(n 1)。下面给出正确的解答: 设等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,     

“大衍求一术”探秘

<正> 一 德国数学家高斯(K·F·Gauss,1777—1855)在1801年出版了《算术探究》一书,内载他对一次同余式理论的研究成果。其中有一条重要定理:设a_1, a_2…,a_n两两互素, M=a_1a_2a_3…a_n=a_1m_1=a_2m_2…=a_nm_n则满足同余式组 x≡b_1(moda_1)≡b_2(moda_2)≡…≡b_n(mcda_n)的正整数解是x≡∑b_ju_jm_j(modM)。(1)其中u_j是满足同余式u_jm_j≡1 (moda_j)的正整数解,i=1,2…,n。 (定理的证明可参看一般的初等数论) 当时欧洲数学家对中国古代数学毫不了解。直到十九世纪七十年代,欧洲数学家才发现     

柯西不等式的应用

已知a_1,a_2,…a_n和b_1,b_2,…b_n是实数,则(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2),并且在a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n等时取等号。上面的不等式叫做柯西不等式,课本中“求