关于两个向量共线的充要条件之我见

人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书(必修)(即实验教材或叫新教材)关于两个向量平行(也称共线)给出了两个充要条件.本文针对这两个充要条件的教学谈点看法.1关于在实数与向量的积的意义下的充要条件在定义了实数与向量的积的意义后,课本给出了两个向量共线的充要条件,即以下定理1.定理1向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa在教学实践中,笔者发现:这个定理的关键词,即非零向量a,是解题出错之所在.事实上,如果缺少了这个条件,那么当向量a=0时,与向量a共线的非零向量b不可能满足b=λa.即定理1成为定理2向…     

用共线向量定理的推论解求值问题

<正>在人教版高中数学新教材第二册(下B)中介绍了空间向量的共线定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得a=λb.由这个共线定理,我们可以推导出它的一个推论:设OA,OB是平面内不共线的两个向量,则点A,B,P三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使得OP=xOA+yOB(x+y=1).在近几年的高考备考中,发现有不少的题目,如果能够充分用好这个共线定理的推     

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.举例说明如下：     

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa,由于零向量与任一向量共线,故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是:存在不全为0的实数λ_(1),λ_(2),使得     

三点共线的一个结论的应用

在人教版高中数学新教材第二册（下B）中介绍了空间向量的共线定理：对空间任意两个向量a,b（b≠0）,则a与b共线的充要条件是存在惟一实数A,     

向量共线定理的唯一性证明

共线向量定理a（a≠0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa．     

共线向量定理的一个推论的应用

在人教版高中数学新教材第二册(下B)中介绍了空间向量的共线定理: 对空间任意两个向量(a),(b)((b)≠0),则(a)与(b)共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得(a)=λ(b).     

例谈向量在立体几何中的巧用

一、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p=xa yb．     

用空间向量解立体几何题

通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,…     

平面向量共线定理及其应用

新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1　　 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA …     

学习共面向量定理的四个层面

共面向量定理:如果同一平面内两个向量a、b不共线,那么该平面内任意向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x·a+y·b.(新教材一册(下)P123)     

易锚的“数列”问题

高中数学第2册下（B）第33页给出了共面向量定理：如果2个向量a,b不共线．则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y,使得P=xa＋yb．     

共面向量定理在立体几何中的应用

共面向量定理：如果两个向量^→a,^→b不共线,则向量^→p与向量^→a,^→b共面的充要条件是存在实数对x,y,使^→p=^→xa＋^→yb．     

例说平面向量与解析几何的结合

高考命题注重知识的整体性、综合性 ,常在知识的交汇处设计试题 .高中新教材增加了平面向量这一新内容 ,由于平面向量既具有几何形式 ,又具有代数形式 ,因而它成为中学数学知识的一个交汇点 ,备受命题者的青睐 .平面向量与解析几何的结合将是高考命题的趋势 .本文通过例题说明用平面向量解决解析几何问题 ,使二者达到完美结合 .一、基本知识( 1)向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得 b =λa.推论 :OA ,OB是平面内两不共线向量 ,对于向量OP总存在 a,b满足 :OP =a OA + b OB( a,b∈ R) ,则A、P、B…     

向量垂直、共线在解析几何中的应用

高中数学(人教版·新课程)把平面向量作为处理平面问题的工具(如两点距离公式,向量共线定理,向量垂直,定比分点坐标公式,平移,夹角等).尤其是垂直与共线问题,使用向量垂直与向量共线比传统方法简单许多.     

空间向量在立体几何中的应用

一、复习策略1.用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题,关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量。对于垂直问题,一般是利用a⊥b(?)a·b=0进行证明;对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理     

三点共线向量推论式的应用

我们已经知道:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.由此我们可以得到从一个始端出发的三个向量的终端共线的充要条件(我们简称三点共线向量的推论式)即推论:向量a,b,c有公共起点,则三个向量终点在同一条直线上的充要条件是存在实数λ,μ,使得c=λa μb.且λ μ=1.     

平面向最问题的破解之道 ·

策略1巧选基底,化繁为简 根据平面向量基本定理：平面内的任一向量p都可以用两个不共线的向量a、b唯一地线性表示为p=xa＋yb（x,y∈R）.     

平面向量

基础篇诊断练习一、选择题1.下列说法正确的是 (　　 )( A)方向相同或相反的向量是平行向量 .( B)零向量的长度是 0 .( C)长度相等的向量叫相等向量 .( D)共线向量是在一条直线上的向量 .2 .已知非零向量 a,b满足关系式 :|a+b|=|a -b|,那么向量 a,b应满足的条件是 (　　 )( A)方向相同 .　　　 ( B)方向相反 .( C)模相同 .　　　　 ( D)相互垂直 .3.给出下列命题 :( 1) k为实数 ,若 k . a =0 ,则 k =0或 a =0 .( 2 )若 a与 b共线 ,b与 c共线 ,则 a与 c共线 .( 3)若 a0 为单位向量 ,a与 a0 平行 ,则 a =|a|a0 .( 4) a≠ 0 ,若 na =mb( m …     

平面向量基本定理的应用例举

平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.这是一个重要的定理,它反映了平面向量分解的唯一性,利用此唯一性可解决求相交线交成线段比的问题.这类题的关键是:首先选择恰当的基底,再将同一向量用两种不同方法表示,由平面向量基本定理得出方程组解出.例1求证:平行四边形ABCD的对角线互相平分.图1证明:如图1,设AB=a,AD=b,AC与BD相交于O,AO=λAC=λ(a+b),BO=μBD=μ(a-b),则b=AB=AO-BO=λ(a+b)-μ(a-b)=(λ-μ)a+(λ+μ)b由平面向量基本定理知…