几道课本习题的推广及应用

新版高中数学教材第二册 (上 )有这样几道习题 .第 1 1页习题 6 .2第 1题 ,求证 :(a + b2 ) 2 ≤ a2 + b22 可以改写成 a2 + b2 ≥(a + b) 22 .第 1 6页习题 6 .3第 1 (2 )题 ,求证 :a2 + b2+ c2≥ ab+ bc+ ca可以变形为 :3 (a2 + b2 +c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2 (ab+ bc+ ca) ,所以 a2+ b2 + c2≥ (a + b+ c) 23 .第 3 1页第 5题 ,求证 :3 (1 + a2 + a4 )≥ (1+ a + a2 ) 2 ,则是上题的一个特例 .由此 ,我们可以推广之 ,得 :定理 :ai∈ R,i =1 ,2 ,… ,n,则当 n≥ 2时∑ni=1a2i ≥(∑ni=1ai) 2n (1 )证明 :用数学归纳法n =2时 ,a21+ a22 ≥ …     

课本中两道不等式的研讨

高中代数课本下册第16页习题第18题中第(1)题为:“求证:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)≥2”。此题证明方法较多,但常见的证明是运用基本不等式“a 1/a≥2,其中a>0,此式当且仅当a=1/a,亦即a=1时取等号”来证明,把不等式左边写成:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)=(x~2 1)~(1/2) 1/(x~2 1)~(1/2)≥2,当(x~2 1)~(1/2)=1/(x~2 1)~(1/2)时,即x=0时等式成立,此处用     

对一道考题解法的多角度探讨

<正>一、题目与参考答案题目(武汉市2015届高中月考题)设函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;(2)当b>0时,求证:b^b≥1(1/e)b≥1(1/e)^(1/e);(3)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln 2≥f(a+b)-f(b).本题第(1)问较为简单,第(2)问可借用第(1)问结论证明,第(3)问是二元不等式的证明,证法较多.下面对第(3)问的解法作一     

《数学通报》问题173的证明

《数学通报》1 997年第 7期的征解问题是 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n ,n≥ 3 ) ,证明或否定 (记S =x1 x2 … xn) (aij=xixj) :a2 1(S -x1-x2 ) a3 2 (S -x2 -x3 ) … a1n(S -xn-x1)≥ (n -2 )S .①该刊 1 999年第 1 2期刊出一个“证明” ,但陶兴模著文 (《中学数学教学参考》2 0 0 3年第 1 1期 )指出其错误 .现用归纳法给出一个证明 :①式可化为a1nx1 a2 1x2 … an ,n -1xn ≤ (a1n a2 1 … an ,n -1-n 1 )S .②易见 ,n =3时 ,②式成立 ,现设②式对n -1成立 .不妨设x1是xi(i=1 ,…n)中最大的 ,那么②式左边 =(a1nx1 a2 1x2 -a2nx2 ) …     

三个二元无理不等式的推广与统一简证

<正>安振平先生在《数学通报》2003年第5期上提出第1435号征解题,即^[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)^(1/2)+(b/3a+b)(1/2)+(b/3a+b)^(1/2)≥1.并在2003年第6期运用分拆法提供了一种巧妙的解法.安振平先生在《不等式探究》一书中又提出     

也谈对新教材两道习题的思考

高中数学新教材有这样两道习题 :题 1　已知 f(x) =lg1-x1+x,a、b∈ (- 1,1) ,求证 f(a) +f(b) =f(a +b1+ab) .(高一上册第 89页 )题 2　已知 ｜a｜<1,｜b｜<1,求证 :a+b1+ab <1.(高二上册第 2 2页 )文 [1]作者谈了题 1、题 2的 4点思考 :①题 1中 f(a) ,f(b) ,f(a+b1+ab)有意义是必须证明的 ;②题 1不属于“恒等式证明” ;③题 1在高一现有知识范围内可以有不同的证明方法 ;④题 2可以通过构造题 1的函数来证明 .笔者完全赞同这 4点 ,并愿意作 4点补充 :1　要积极挖掘函数值之间的关系 ,培养发现能力题 1中的函数值关系式 f(a) +f(b) =f(a+…     

Riemann-Stieltjes积分第一积分中值定理的改进

书〔1〕中证明了下面的R-S积分第一中值定理(参见书〔1〕,第191页命题27)。以后提到积分都是指Riemann-Stietjes积分。定理1 (第一积分中值定理)若在〔a,b〕上f连续,a单词增加,则存在点x,使 a≤X≤b, integral from n=a to b f(t)da(t)=f(x)〔a(b)-a(a)〕。本章(书〔1〕中的第三章)后面的练习题38指出,若定理1中a是严格单调增加函数,就有x∈(a,b),即定理1可改进为:     

要重视用方程思想解题

袁伟主编《创新设计·数学·A版必修5》(陕西人民出版社,2009)第73页第12题及其解答是:题1:在△ABC中,已知a+ba=sinB/sinB-sinA,cos(A-B)cosC=1-cos2C.(1)判断△ABC的形状;(2)求a+cb的取值范围.解:(1)由cos(A-B)+cosC=1-cos2C,得c     

对高中教材一个传统命题及证明的商榷

文 [1]第 4 6页总复习参考题第 7题和文 [2 ]第88页复习参考题七B组第 3题是 :把函数 y =f(x)在x =a及x =b之间的一段图象近似地看作直线 ,设a c b ,证明 f(c)的近似值是f(a) +c-ab -a[f(b) - f(a) ] .文 [3]第 14 8页和文 [4 ]第 55页给出的参考解答是 :证明　设函数 y =f(x)的图象上两点A、B的坐标分别为 (a ,f(a)、(b ,f(b) ) .由两点式得直线AB的方程为y-f(a)f(b) - f(a) =x -ab -a,即 y =f(a) +x-ab -a[f(b) - f(a) ] . ( 1)在 y =f(x)的图象上任取一点P(c ,f(c) ) (c∈ [a ,b] ) ,因为 y =f(x)的图象可以近似地看作直线 ,所以将…     

’96高考化学第36题第(3)问的多种解法

第36题:将a摩H_2S和1摩O_2置于一个容积可变的容器内进行反应。维持容器内气体压强不变(101千帕),在120℃下测得反应前后容器内气体的密度分别为d_1和d_2。若a的取值不同,则H_2S的氧化产物可能有如下三种情况: (1)全部是SO_2,此时a的取值范围是__。 (2)全部是S,此时a的取值范围是__,并且d_1d_2(填小于、大于、等于) (3)部分是SO_2,部分是S,此时a的取值范围是__。① 反应所生成的SO_2的物质的量是__摩。② 容器内气体的物质的量之和为__摩。③ 对该题的第(3)问(即第三种情况)提出七种解法,是本文的主要意图。但第(3)问与第(1)、(2)问题有某些牵连,因此先将第(1)、(2)问解析如下,以便展开本文的思路。     

用向量内积法证明一类分式不等式

现行高一数学(人教版)第一册(下)第五章平面向量第119页有关向量数量积有如下一个性质(5):设a,b都是非零向量,则有|a·b|≤|a||b|(*),不等式(*)结构对称,蕴含丰富,具有广泛的应用.本文运用(*)式证明一类分式不等式,下举例说明.例1设a,b,c≥0,ab bc ca=31.求证:a2-1bc 1 b2-1ca     

一道全国初中数学竞赛题的简单解法

1998年全国初中数学竞赛第12题是: 设抛物线y=x~2 (2a 1)x 2a 5/4的图象与x轴只有一个交点. (1)求a的值; (2)求a~(18) 323a~(-6)的值. 本文目的是对(2)给出两种较简单解法: 解 (1)据题设知,方程y=x~2 (2a 1)x 2a 5/4=0有两个相等实根,所以△=(2a 1)~2-4(2a 5/4)=0,即     

一个分式不等式的证明——兼擂题(86)解答

本刊2007年第4期解题擂台(86)提出如下分式型不等式命题:设a、b、c是正实数,且a b c=1,求证:1a 1b 1c≥1 2458abc(1)上述不等式(1)是成立的,笔者运用代换方法给出它的一个证明.证明因(1)式是对称的,故可设a≥b≥c,令a=12 k①得-61≤k≤21,b-c=t(t≥0),∵a b c=1,∴b=1-24k 2t②     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

体验一道习题的演变

习题(高中《数学》(必修)第一册(上)第137第5题)在数列{an}中,a1=1,an 1=3Sn(n≥1),求证:a2,a3,…,an是等比数列.这道课本习题蕴涵着通项与求和的基本关系和内在规律,具有一题多变、一题多用的教学功能与科学价值,也是命题专家十分看好的命题原型,并在尊重原题的基础上演变出了许多精彩纷呈的高考试题.演变1坚持条件中Sn与an 1的线性关系Sn=kan 1,改变设问方式例1(2005年北京卷文)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an 1=13Sn,n=1,2,3,….求:(1)a2,a3,a4的值及数列{an}通项公式;(2)a2 a4 a6 … a2n的值.解:(1)由a1=1和an 1=13Sn,得a2=31S1=13…     

第42届IMO第2题简证

第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明　 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜…     

一道平面解析几何题的最佳解法

高中数学精编(解析几何)第87页38题如下:设曲线c_2与曲线c_1:y~2=ax关于点(1,1)对称,且A、B是它们的两个交点,若直线AB的斜率为1,求a。解:c_l:y_2=ax…(1),由对称性得c_2:(2-y)~2=a(2-x)…(2)。(1)-(2)得公共弦AB所在的直线方程:y=a/2x-a/2+1。又∵直线AB的斜率为1,∴a/2=1,即a=2。上述解法主要应用了两条性质:     

2016年新课标全国卷Ⅰ理科数学第21题的研究与反思

<正>2016年全国新课标Ⅰ卷理科数学第21题:已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x_1、x_2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.这道题的第(Ⅰ)问,考查函数的零点问题,考生很熟悉,有利于考生稳定情绪,大部分考生可以得分,又利于考生切入第(Ⅱ)问.第(Ⅱ)问     

高考数学模拟试卷与解答

一、选择题:本大题共15小题:第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分. (1)设全集,则a的值是 ( ) (A)2 (B)-3或1     

最小非元素问题引发的一个美妙数阵

以mex{S}(mex由minimum -exclude(最小 -排除 )而来 )表示不属于 (非负整数有限集 )S的数中最小的非负整数 ,即mex{S}={a|a∈Z- ,a S ,a≤x S}.现构造如下数阵[1]A ={aij}=mex{Sij},其中Sij是由A中第i行aij左边和第 j列aij上面的元素的集合 :A =a11　a12 　…　a1,j- 1　a1j　…a2 1　a2 2 　…　a2 ,j- 1　a2 j　……　…　…　…　…　…ai1　ai2 　…　ai,j- 1　aij　……　…　…　…　…　…S0 0 = ,Sij={ai0 ,… ,ai,j- 1;a0 j,… ,ai- 1,j}　i,j=1 ,2 ,…问题[2 ] :第 777行的第 1 0 0 1个元素a777,10 0 1=?可归纳地证明 :每…