1984年第一期数学问题

1。已知六边形A刀CDEF的外接圆半径为R,AB二CD=EF二R,C、H、K分别为FA、BC、DE的中点。求证:△‘HK为正三角形。(湖南湘西土家族苗族自治州民族中学万运湘提) 2.若一个三角形的三边均为有理数,求证:这个三角形的三条内角平分线分三边所成六个线段的积为某一有理数平方。(合肥工     

一道竞赛题的解法

题目在下面的算式中,A、B是两个自然数,C、D、E、F代表四个0～9的不同数字,那么A+B的最小值为。BA=0.CDEF(2003小学数奥预赛B卷)分析与解:根据纯循环小数与分数之间的关系得出0.CDEF=CDEF9999。要使A+B的和最小,除了使分子CDEF(字母上画线表示多位数)尽可能小以外,还要使分子与分母的公约数尽可能大。把分母9999分解质因数得9999=9×11×101。因为一个一位数或两位数乘以101的积一定有相同的数字,如5×101=505,38×101=3838等,所以从“C、D、E、F代表0～9的不同数字”可知,分子CDEF不可能有约数101。这样,就要考虑分子、分母…     

美丽的雪花曲线

<正>“乐追问”与“乐发现”是一对孪生兄弟,他们都是数学爱好者,也是数学美的欣赏者,偶尔还是数学美的创造者.有一天,“乐追问”与“乐发现”在课外阅读到雪花曲线：如图所示,从一个正三角形开始,将正三角形每一边三等分,以居中的那一条线段为底边向外再作正三角形,然后去掉底边,     

数学渗透型试题浅析

中考数学中的“渗透型”试题 ,是指与高中或大学数学知识有关的试题 .通过对题目所提供的新情境、新知识、新方法的分析、归纳、证明 ,来考查学生接受新知识、认识新事物的能力 ,同时也考查了学生对知识的再认识、再运用的创新能力 .图 1例 1　如图 1 ,△ＡＢＣ是正三角形 ,曲线ＣＤＥＦ…叫做“正三角形的渐开线” ,其中ＣＤ、ＤＥ、ＥＦ…的圆心依次按Ａ、Ｂ、Ｃ循环 ,它们依次相连接 .如果ＡＢ =1 ,那么 ,曲线ＣＤＥＦ的长是 (　　 ) .(Ａ) 2π　 (Ｂ) 4π　 (Ｃ) 6π　 (Ｄ) 8π( 2 0 0 0 ,南京市中考题 )评析 :本题中“渐开线”是高等…     

三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

三角链的Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标

三角链是由若干个正三角形且任意相邻两个正三角形只有一个公共顶点构成的1-连通图.主要研究n个正三角形构成的三角链的Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标,并给出其计算公式.     

圆锥曲线中有关离心率的问题

圆锥曲线离心率的取值与曲线形状相联系,因此离心率是圆锥曲线的一个基本量。而离心率的计算又往往涉及到曲线本身的几何性质及不等式等知识,因而综合性较强,在高考中时常出现。〈一〉应用曲线的定义及几何特征计算离心率例1!已知双曲线x2a2-by22=1,F1,F2为左右焦点,正三角形F1F2A交双曲线于P,G两点,P是AF1的中点,则双曲线的离心率为多少?解:因为P是AF1的中点又△AF1F2为正三角形所以PF2⊥AF1,｜PF1｜=c｜PF2｜=1｜F1F2｜2-｜PF1｜2#=14c2-c2#=#13c又#13c-c=2a∴e=#73+1点拨:利用几何性质及双曲线的定义建立a,c之间的关系,简捷!…     

Napoleon定理的相对性推广

Napoleon定理:(1)在任意三角形的三边上向外作三个正三角形,则这三个正三角形的中心也构成一个正三角形———外Napoleon三角形;(2)在任意三角形的三边上向内作三个正三角形,则这三个正三角形的中心也构成一个正三角形———内Napoleon三角形;     

用数学知识解决实际问题四例

例1 如图1,用一块面积为80cm2的正三角形钢板制做一部件,要求从中截去一个小正三角形钢板,使小正三角形钢板外接于原正三角形的内切圆中,试计算出截去的小钢板后剩余部分的面积. 解:将小正三角形绕圆心旋转,使三个顶点与切点重合,易得出小正三角     

数学问题与解答2010年第8期问题解答

801．如图1，在以AB为直径的半圆内，正方形CDEF内接于半圆，正方形GHKN内接于△BCF，且HK在边BF上，求证：点G是半圆的圆心．     

关于内接于三角形的正三角形问题

定义　若正三角形的三个顶点分别在已知三角形的三条边上 ,则称这个正三角形为(已知三角形的 )内接正三角形 .对于任意给定的一个三角形 ,它是否存在内接正三角形 ?若存在 ,有多少个 ?本文回答了这些问题 ,同时还给出了内接正三角形的边长公式等重要结论 .定理　任意三角形都存在内接正三角形 .已知 :△ABC是任意三角形 .求作 :正三角形 EFG.其中 E,F,G分别在三边 BC,CA,AB上 .图 1分析　假设正三角形 EFG已经作出 (如图 1) ,则由正弦定理知BEsin y=EGsin B,ECsin x=EFsin C,由此得 BEEC=sin Csin ysin Bsin x. (* )可见△ E…     

三角形的内接三角形研究

定义1 在三角形的三边内分别任取三点,则以这三点为顶点的三角形称为原三角形的内接三角形,若内接三角形为正三角形,则称为内接正三角形。 一 内接正三角形的存在性及其性质 定理1 任意的三角形都存在内接正三角形。     

先拆分再找关系

【题目】图1中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是12平方厘米，那么这个正六边形的面积是多少平方厘米？     

用位似变换再探正方形的内接正三角形问题

<正>本文对文[1]与文[2]进行比较,通过联想、类比、知识的迁移,得出一种作正方形的内接正三角形的新方法.1经典回顾一文[1]中提到我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内接正三角形.     

三角形内接正三角形存在性问题

文[1]、[2]论及三角形的内接正三角形的两个对偶不等式,但并没有给出内接正三角形的存在性的证明,若不存在,这两个不等式就没有研究的价值.本文即用构造性方法证明:任意三角形的内接正三角形都是存在的.     

类比设问 合情求解 引导教学——对一道中考题的分析

正题目:(2013年常州)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=1/2a+b-1(史称"皮克公式").小明认真研究了"皮克公式",并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边     

三角形的最小外接正三角形

[1]详细介绍了直角三角形的外接正三角形的纯几何作图方法，外接正三角形面积最大时的位置的确定、最大值的求法，并解决了任意三角形的外接正三角形的最大值的求法。最后，提出如下问题：直角三角形是否存在最小面积的外接正三角形？若存在，位置何在？一般三角形是否存在最小面积的外接正三角形？     

正方形的内接正三角形的探究

我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内接正三角形.关于正方形的内接正三角形相关的作图、操作、计算等问题,与学习内容密切相连,学生很感兴趣.下面就是引导学生进行探究性学习的结果.问题如图1,已知正方形ABCD.求作:等边△EFG,使G、F、E分别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.1作法探讨关键是作出等边三角形的一边.     

三角形的最小外接正三角形

文[1]详细介绍了直角三角形的外接正三角形的纯几何作图方法,外接正三角形面积最大时的位置的确定、最大值求法,并解决了任意三角形的外接正三角形的最大值的求法.最后,提出如下问题:直角三角形是否存在最小面积的外接正三角形?若存在,位置何在?一般三角形是否存在最小面积的外     

同底等高的妙用

有这样一道题:已知三角形ABC的面积是36平方厘米,是平行四边形CDEF面积的2倍。求阴影部分三角形BEF的面积。