通法诚可贵巧解价亦高

例1 设a、b、c是一个长方体的长、宽、高,且a b-c=1,已知长方体对角线长为1,且a≠b,则高c的取值范围为( ).     

一道竞赛题的证明与思维拓展

第20届伊朗数学奥林匹克竞赛中有这样一道代数不等式题目： 问题1 设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3. 文[1]是通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明的．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上,回答是肯定的．     

一道伊朗数学竞赛题的简单证法

第20届伊朗数学奥林匹克中有这样一道代数不等式题目： 问题1：设a,b,C∈R^＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3． 文[1]通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上     

通法诚可贵 巧解价亦高

例一 设a、b、c是一个长方体的长、宽、高,且a+b-c=1,已知长方体对角线长为1,且a≠b,则高c的取值范围为( ).     

一个优美不等式的再推广与证明

文[1]给出如下一个优美的三元代数不等式： 命题1 设a,b,c∈R^＋,且a＋b＋c=1,求证：a^2＋b^3/b＋c＋b^2＋c^3/c＋a＋c^2＋a^3/a＋b≥2/3.     

也谈一个不等式的几何释解

设a,b,c∈R~ ,求证:(a~2 b~2)~(1/2) (b~2 c~2)~(1/2) (c~2 a~2)~(1/2)≥2~(1/2)(a b c)。此不等式多用代数方法或构造复数来证明,但李建章老师在《中学生教学》上给出了上述不等式的一种几何证明,读后颇有启发。本文打算提供另一种直观的几何证明,供参考。证明:如图,构作一边长为a b c的正方形ABCD,其对角线长AC=2~(1/2)(a b     

构造几何图形求证不等式举例

在不等式证明中,我们比较熟悉用代数的方法去寻求其问题证明,如何借助图形证明不等式,大家关注的不多.本文试图从构图入手,给出某些不等式的几何证法.一、构造两点间的距离例1已知a、b、c都是正数,求证:a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2简析:联想两点间的的距离公式,待证式子可视为两线段之和不小于第三条线段.证明:设点A的坐标为(a+c,0),点B的坐标为(0,b+d),点C的坐标为(c,b).由|AC|+|BC|≥|AB|,得a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2,当且仅当等号在A、B、C三点共线,即ab=dc时成立.二、构造平行线间的距离例2已知a、b、x、y∈R,且a+2b+4=0,x+2y=1…     

一类课本不等式的推广

现行教材高中《代数》下册,有一类课本的例习题．已知a,b＞0,求证：这一组不等式结构对称、和谐、具有数学之美,笔者现将此类不等式作一些推广命题1已知a、b＞0,证明因为a、b＞0,n=p十q（高中教材《代数》下册32页第5题）证明由命题2得三式相加即得命题3已知a、b、c...     

通法诚可贵 巧解价更高

[例1] 设a,b,C是一个长方体的长、宽、高,且a+b-c=1,已知长方体对角线长为1,且a≠b,则高c的取值范围为( ).(A).(0,1/3)(B).(1/3,1)(C).(O,1)(D).(1/3,∞) 解法1;长     

瓦西列夫不等式的指数推广

瓦西列夫不等式如下：命题A设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a^2＋b/b＋c＋b^2＋a/a＋b≥2.文[2]通过类此,得到：命题B 设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a^3＋b/b＋c＋b^3＋c/b＋a＋c^3＋a/a＋b≥5/3.另外,文[2]还提出如下猜想：命题C 设a,b,c∈R＋,     

一类分式不等式的一般推广

文[I]提出了如下分式不等式： 命题1设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a2＋b3/b＋c＋b2＋c3/c＋a＋c2＋a3/a＋b≥2/3（1）     

“切割线夹逼法”求一类多元对称式的值域

1引例 已知a,b,c∈（0,＋∞）,且a＋b＋c=1,g（a,b,c）=（1＋4a）~（1/2）＋（1＋4b）~（1/2）＋（1＋4c）~（1/2）,求g（a,b,c）的值域.对本题中的g（a,b,c）,可用多种方法求出其最大值,比如用＂等项匹配＂的方法：由均值不等式,     

例说条件“非负数a＋b＋c=1”的应用

文献[1]构造了许多不等式，例如： 若a，b，c≥0，且a＋b＋c=1，则 （1）a^2＋b^2＋c^2≥1/3；     

柯西不等式的妙用

高中代数下册（必修）事项习题十五第6题是柯西不等式的特殊情形：当且仅当ad=bc时等号成立而柯西不等式的一般形式为：若aibi（i=1，2，……n）都是实效，则有当且仅当a＝kbi时等号成立实践证明用河西不等式证明一些不等式将会大大简化证顾过程，下面举若干可用柯西不等式证明的问题供同仁参考问（甘肃省教材编审室编写的高二年级第一学期代数配套练习5第8题）证：”·“a＞b＞c．”．a－c＞0．故务要证明故不等式成立树2如果a，b6R”，且a一b，求证：a3＋b3＞aZb＋abZ（代数下册第13页例幻例3已知a，b，。ER”，那么／＋P十一＞3abc等…     

应用切线方程证明不等式

不等式的解法多种多样,本文介绍用切线的方程证明不等式,下面以例子说明使用方法． 例1（1996年波兰数学竞赛题）已知a,b,C≥-3/4,且a＋b＋c=1,求证：a/b^2＋1＋c/c^2＋1≤9/10     

两个有趣的无穷长代数不等式链

2005年罗马尼亚的一道数学竞赛题为:已知a、b、c为正实数.证明:a+b/c2+b+c/a2+c+a/b2≥2(1/a+1/b+1/c). 这是一道关于三个变元a、b、c对称的分式不等式,从这个不等式出发,将其引申拓广,可得两个有趣的无穷长的代数不等式链,即有以下两个命题中的不等式链成立.     

介绍几种简捷计算方法

简捷计算 ,对学生有极大的吸引力 ,它既可培养学习兴趣、训练敏捷思维 ,还可节约大量的学习时间 ,下面将几种实用性强、思维方法有代表性的简捷计算法介绍给学生 ,希望对今后的计算有所帮助。一、整体代换法例 1 .已知长方体三边 a、 b、 c的和为 1 2 m,一对角线长为 50 m,求它的表面积。此题按习惯思考 ,似乎应根据已知条件先求出 a、b、c再代值计算 ,其实只要把长方体表面积 (ab bc ac)看作一个整体就可得出结果。解 :由 a b c=1 2得 (a b c) 2 =1 4 4 .即 a2 b2 c2 2 (ab bc ac) =1 4 4 .而 a2 b2 c2 =50 ,∴ 2 (ab bc ac) =1 4 4 -…     

分解因式解“希望杯”赛题

例1 正整数a,b,c是等腰三角形三边的长,并且a＋bc＋b＋ca=24,则这样的三角形有（ ） 解 由已知得（a＋b）（c＋1）=24, 因为24=2^3×3, 24可分解为24×1,12×2,8×3,6×4,4×6,3×8,2×12,1×24．     

浅析“求范围”问题

正高中数学中,"求范围"是最常见的问题.本文不是意在"一题多解",而是关注教师在教学活动中对学生数学思想方法的渗透,在高三二轮复习中,使课堂更加高效,更加精彩!题目已知△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且a2+b2+c2=84则实数b的取值范围是.方法一利用基本不等式求解     

变“数”为“形”巧解题

<正>面对一个比较复杂、抽象的代数问题,如果我们能构造几何模型,变"数"为"形",用图形的办法,把它描述刻画出来,会使这个对象简明、形象,更容易理解,有助于探索解决问题的思路,以下举几例说明.一、变多元等式问题为两条曲线的位置关系例1(2014年浙江高考题)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a的最大值.解由已知,存在实数a,b,c,满足方程