双曲线焦点三角形的若干新结论

<正>我们称以双曲线上任意一点P与双曲线两个焦点F1、F2为顶点组成的三角形为双曲线焦点三角形.显而易见,双曲线焦点三角形是一种特殊的三角形,三角形中的所有结论,在双曲线焦点三角形中肯定是成立的.另一个方面,由于双曲线焦点三角形是一种特殊的三角形,因此必有某些特殊的结论.本文从三角形中某些熟知的结论出发,类比得出双曲线焦点三角形的若干新结论,旨在抛砖引玉,引导读者自主深入地对双曲线焦点三角形进行研究.     

有心二次曲线的一个有趣结论

圆作为二次曲线的特殊图形,具有切割弦这个优美的定理,那么椭圆、双曲线是否有相似结论呢？笔者通过研究得出椭圆、双曲线的一个有趣结论.     

对一道高考题引出的结论的思考

本文在一篇文章的启示下进行了思考,得到关于椭圆和双曲线在一种特定关系所具有的定值.并将此结论进行延伸,得到双曲线和双曲线在类似关系下也具有定值.     

双曲线特有的几个结论

在三种圆锥曲线中仅有双曲线存在左右两支,也仅有圆锥曲线存在渐近线.由此决定了双曲线有着椭圆和抛物线所不具备的特有的结论,如下.类型一:左右两支带来的特定结论结论1.不变的角平分线:直线MN与双曲线C:(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1的左右两支分别交于M,N两点,与双曲线C的右准线l相交于点P,F为右焦点,则FP平分/MFN.     

斜率为定值的圆锥曲线切线方程的统一性

文[1]中论述了过圆、椭圆、双曲线上一点的切线方程的统一性.我们发现,斜率为定值的圆、椭圆、双曲线的切线方程也具有统一性.定理1斜率为k,与圆x2+y2=r2相切的直线的     

2011年北大保送生考试一道试题的推广

2011年北大保送生考试第1题为:点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线.F1,F2为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F1PF2.运用类比思想,我们可以将上述结论推广到椭圆和抛物线.     

一道双曲线试题的解法与推广探究

<正>双曲线是一种重要的圆锥曲线,在近年高考或各地模拟考试中,以双曲线为载体的圆锥曲线解答题考已成为数学命题的一大热点,体现了高考命题者对双曲线内容的青睐.下面对一道高三双曲线联考题的解法和结论推广进行探究,供参考.     

巧用双曲线系解一类习题

共渐近线的双曲线的集合叫双曲线系。渐近线是双曲线一节的难点,巧设有关双曲线系方程是清晰、简捷解题的关键,也是提高解题能力的良好方法。给出共渐近线的双曲线的一个结论,并利用该结论优化解题。     

为什么曲线y=Ax+B/x(B≠0)是双曲线

文章深入研究一道强基计划试题，得到了结论“曲线■是双曲线”,同时给出了其多种证法及该双曲线的性质.     

对一道系数和为定值试题的探究

本文对一道江苏地区高三期中测试中的向量系数和为定值问题进行了解法探究,推广得到了椭圆中的一般性结论,并将相关结果引申到了双曲线和抛物线中,最后变换视角进行了拓展探究.     

两个圆锥曲线过心弦的新结论

本文通过研究人教版高中教材数学选择性必修一例题引出的两个结论,发现椭圆或双曲线的过中心任一确定的弦具备某些共性.通过进一步研究椭圆或双曲线的过心弦,寻找特定圆与焦半径的位置关系,大胆猜测,小心论证,归纳结果,类比并探究出椭圆和双曲线的新性质,并对此结论进行代数论证.该性质对学生在以后的学习中,处理过心弦问题有较大的帮助.     

为一类函数正名

高一数学第一册研究了函数y=x 2/x的图象,由于它是高中数学中的重要函数,以及它的图象像耐克商标,所以,许多学生称它为"耐克"函数或"双钩"函数.其实,这个函数的图象是双曲线,因而,应该叫"双曲线函数".学完圆锥曲线后,笔者为了给这一类函数正名,作了如下教学设计.     

函数f(x)=x+1/x的图像为双曲线的三种判断方法

函数f(x)=x+1/x是一个常见的而且应用比较广泛的函数,教师们在判别的它的图像时,可以用双曲线的定义判断法、圆锥曲线统一定义判断法、双曲线标准方程判断法和一个基本结论判断法来说明它的图像特点。     

一类抛物线问题的几个结论

文[1]给出了与椭圆、双曲线有关的常考题目的二个实用结论及其证明:结论1设椭圆(双曲线)C的焦点在x轴上,直线l是过焦点的一条直线,A、B是直线l与椭圆(双曲线)C的两个交点,且满足AF=λFB,那么直线l的斜率的平方为k_l~2=((λ+1)/(λ-1))~2e~2-1.     

学习双曲线时的常见误区

在解双曲线问题时,有的同学因为对双曲线定义理解得不够透彻、与椭圆定义混淆而产生错误,也有因为对双曲线的几何性质把握不准而导致解题错误.下面就双曲线中的常见误区分类讨论.     

有心圆锥曲线切线的一个性质

众所周知,双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点．”由此可得如下结论：     

例谈双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义,是双曲线的重要概念,对它的准确理解与正确运用,是学好双曲线的关键,本文举例说明双曲线第一定义的应用.1.焦半径例1设F1,F2是双曲线x2/16-y2/20=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道,针对圆的特殊几何性质,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系. 实际上,结合椭圆和双曲线的第一定义,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论.     

一道等轴双曲线定值问题的探究

针对2023年江西省景德镇、上饶等地名校联考的一道等轴双曲线问题,先给出三种求解方法,再探究等轴双曲线背景下两条线段OP、OQ所成角∠POQ与■之间的关系,所成角∠POQ与■之间的关系等,最后证明相关结论.     

用双曲线的第一定义解题

双曲线的第一定义是双曲线的重要知识点,对它的准确理解与正确运用对学好双曲线甚至整个圆锥曲线都很有意义.因此,本文重点谈谈如何用双曲线的第一定义解题.一、直接应用