双曲线的定值问题

所谓定值问题,就是当一部分元素按某种规律在一定范围内变动时,与它有关的某些量始终保持不变,这类问题被称为定值问题.双曲线中蕴含着许多结构新颖独特、内容丰富多彩的性质,也有很多的定值问题,笔者精选了双曲线7个定值问题,供师生们参考.     

等轴双曲线的若干有趣性质

等轴双曲线是特殊的双曲线,它除了具备一般双曲线的所有性质外,还具有一些特殊的性质,本文给出笔者探寻的等轴双曲线的一些特性,以飨读者.     

再谈等轴双曲线的典型性质

文[1]给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质.经过本人的进一步研究,发现等轴双曲线还有另外几个典型性质.下面一一列出,并加以证明.性质一等轴双凸线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直.证明:如图1,设等轴双曲线 x~2-y~2=a~2     

等轴双曲线的一个性质的推广

等轴双曲线有很多性质,与等轴双曲线相关的命题也是多种多样。在文中就等轴双曲线的一个性质及其推论的证明进行介绍。以期对等轴双曲线有一个更加深刻的认识。     

三谈等轴双曲线的典型性质

贵刊曾在2000年第5期和2006年第7期分别刊登了本人的拙作《等轴双曲线的几个典型性质及其证明》和《再谈等轴双曲线的典型性质》,经进一步深入研究,笔者发现等轴双曲线还有另外的一些典型性质,现一一列出,并给出证明.     

双曲线的定值问题

在长期的教学中，我经常会遇到或想到圆锥曲线的一些定值问题，学生们也需要教师给予解答和总结。我精选了双曲线五个定值问题。供师生们参考．     

巧用等轴双曲线性质解竞赛题

玻意耳定律指出：温度不变时，一定质量的气体的压强跟它的体积成反比。其数学表达式为pV=恒量。气体的等温变化也可用图线来表示。用直角坐标系的横、纵轴分别代表气体的体积V、压强P，气体在温度不变时，压强P与体积V的关系在P—V图上是一条关于直线P=V对称的等轴双曲线，如图1所示。而且气体温度越高对应的双曲线离坐标原点越远。     

椭圆和双曲线的一个有趣定值

最近笔从向量的角度对椭圆和双曲线作了一点研究，得到了一个十分有趣的性质，现论述如下，与读共享．[第一段]     

双曲线的几个定值定位问题

1 定值问题定理1 以双曲线焦点弦为直径的圆必与相应准线相交,并且该圆被此准线所截得的两圆弧长度之比为定值。证①如图1所示,设焦点弦AB的中点为     

由一道双曲线试题引起的探究与思考

1试题介绍题目已知函数y=√3-x-1/x的图像为双曲线,在此双曲线的2支上分别取点P,Q,则线段PQ长的最小值为——．     

对一道系数和为定值试题的探究

本文对一道江苏地区高三期中测试中的向量系数和为定值问题进行了解法探究,推广得到了椭圆中的一般性结论,并将相关结果引申到了双曲线和抛物线中,最后变换视角进行了拓展探究.     

等轴双曲线一个性质的推广及其它

文[1]得到如下定理： 定理等轴双曲线上的三点构成正三角形的充要条件是三角形的外心与三角形的外接圆和双曲线的另一个交点关于坐标原点对称．     

也谈椭圆和双曲线的一个有趣的定值

文[1]给出了椭圆和双曲线的一个有趣的定值，笔者研究发现此类定值可以推广到一般情况，其结论如下： 定理1已知F1，F2是椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点，A，B是椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上的任意一点，直线PA，PB分别与直线l：x=m交于M，N两点，则F1M^→·F2N^→=m^2（c/a）^2＋b^2-c^2．[第一段]     

用平面几何知识解圆锥曲线定值问题例谈

在圆锥曲线中，过焦点的弦被曲线截得的两条线段的长分别为m、n，则1/m＋1/n为定值，下面分别就椭圆、双曲线、抛物线来证明这个问题．     

一道双抛物线定值问题的探究

针对2023年江苏省四市(苏锡常镇)高三教学情况调研的一道双抛物线问题,先给出两种求解方法,再探究两条抛物线与直线四个交点纵坐标之间的关系,以及线段比之间的关系等,最后证明相关结论.     

椭圆与双曲线的一个斜率之积定值性质

文章对椭圆与双曲线中一个角度定值性质进行了变式探究,得出了一个椭圆中两直线斜率之积为定值的结论,并将此结论类比到双曲线中.     

与双曲线的渐近线有关的定值问题

在圆锥曲线中,渐近线是双蛆线所特有的“伴随”直线,也正是因为双曲线有了渐近线,才使双曲线的性质变得更加丰富多彩和“与众不同”．双曲线的许多性质就是通过渐近线这个重要的载体来演绎与呈现的．本文试图透过向量的数量积的视角来诠释与双曲线的渐近线有关性质,并对此进行一些梳理、归纳．     

一个有趣定值的再探究

文[1]给出了椭圆及双曲线的一个有趣定值，并给出如下定理： 定理设l是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的准线，A，B为椭圆的左、右顶点，E，F是椭圆的左右焦点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交l于M，N两点，则EM^→·FN^→=2b^2（定值）．[第一段]     

对一道解析几何定值问题的背景探究

本文对一道解析几何定值问题的两种解法进行探究,并找出了其与往年高考题之间的联系,对高考复习有指导作用.