让“错位相减法”“退出”数列求和的舞台

正大家知道,"错位相减"是推导等比数列前n项和公式的核心技术,并由此出发得到了求形如{an·bn}(其中{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列)型的数列前n项的和Sn的方法——错位相减法.长期以来,人们对求形如{an·bn}型的数列前n项的和不仅常用"错位相减法"求解,而且"错位相减法"也是历年高考命题的热点.然而,在平时的练习和历年高考中,我们发现用     

“问题导学”下的教学设计与思考——以“等比数列前n项和公式”教学为例

"等比数列前n项和公式"是高中数学的一个典型课题,而"错位相减法"是数列求和的基本方法,教学中怎样将其合理呈现给学生是一个难点.如何以"问"导"学",促进学生思维活动步步深入,提升学生的解决问题能力是"等比数列的前n项和公式"教学设计的关键.     

等比数列求和公式推导方法之利弊

历来中学数学课本关于等比数列求和公式的推导都采用“错位相减法”,就是为了求等比数列前n项的和Sn先把等比数列{a_n}前n项的和写成 Sn=a_1+a_1q+…+a_1q~(n-2)+a_1q~(n-1)(1)在(1)的两边分别乘以公比q,得到 qSn=a_1q+a_1q~2+…+a_1q~(n-1)+a_1q~n(2)然后(1)、(2)两式错位相减,可以消去许多相同的项。     

“等比数列的前n项和公式”同课异构的教学思考

正最近笔者参与了宁波某重点中学数学组常态课同课异构的教学研讨活动,教学课题是:人民教育出版社的普通高中课程标准实验教科书(必修)《数学5》第二章2.5"等比数列的前n项和"(第一课时).在教学和研讨活动中,不同层次的教师对"教"与"学"的关注维度与关注程度也是不同的,暴露出一些需要加强研究、提高认识的共性问题,本文从教师"教"的角度谈几点个人的思考.一、教什么——"准""教什么"比"怎么教"更重要,教师对教学内容的准确理解和把握,是优质教学的基点之一.等比     

一类特殊数列前n项和的求法探究

<正>解决非等差数列、等比数列的前n项和问题,主要有两种思想:(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差数列或等比数列。(2)不能转化为等差数列或等比数列,往往通过裂项、并项、错位相减、倒序相加等方法。由一个等差数列与一个等比数列对应相乘得到的数列,我们常用错位相减法来进行求前n项和,但这一重要方法运算过程复杂且运算量大。就这一题型,下面介绍另外三种解法。一、构造等比数列法     

也谈“整体代换”

本刊1985年第3期《代换的巧用》一文谈到“整体代换”.事实上,中学数学中求等差、等比数列前n项和公式,应用判别式法求函数极值等,都用到整体代换,现再补充两例.     

再谈启发思维重于诱导结果

1引言 笔者在《启发思维重于诱导结果》（文献[1]）一文中,就“等比数列的前n项和”的教学,提出了在教学过程中,即在探索等比数列的前n项和的公式的过程中,要突出“数学育人”的功能,把握教学过程中的育人契机,为学生谋求长期利益。具体地,在教师的启发引导下,让学生自主提出问题,经历科学研究的一般过程,学习科学研究的一般方法。在此基础上,笔者给出了探究教学设计构想,就深化学生思维做出思考,并基于上述观点,对几个案例（片断）进行评析。     

注重知识建构过程,提升学生探究能力——以“等比数列的前n项和(新授课)”为例

数学教学不仅要遵循知识的发生、发展过程,更要关注学生已有知识与经验的积累,在此基础上有目的地设计合理有效的探究活动,并以正确的方法加以引导,才可能调动学生学习的热情与积极性,激发其学习潜能,在亲历知识的再发现与再创造过程中易于抓住问题的本质,构建合理的知识结构,有效地提升他们的探究思维能力.等比数列的前n项和,是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》"数列"一章的最后一节内容,是对等差、等比数列相关知识与方法的     

“等比数列前n项和”教学设计与思考

如何根据新课标要求进行教学设计,是每个教师课前思考的问题.以"等比数列前n项和"为一课例进行教学设计与思考.     

等比数列前n项和公式的应用

中学数学教学大纲中要求:“在教学中,要加强新旧知识之间的联系,注意经常性地复习巩固”。等比数列前n项和公式是代数中的一个基本公式,在教学中,我们不仅要在“数列”这一单元的教学中,注意有关等比数列前n项和的公式的应用,而且在后面几章的教学中,也要注意把有关内容与等比数列前n项和公式联系起来,去解决有关问     

关于和Sn=x＋2x^2＋3x^3＋…＋nx^n的另类求法

在求一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得到的新数列的前n项和如Sn=x＋2x^2＋3x^3＋…＋nx^n（x≠0,x≠1）时,历来几乎是惟一的求法——借鉴等比数列前n项和Sn的推导方法——错位相减法而得到．每当教学到这个内容时,常常想除了这一种方法外还有没有其它求法呢？我与我的同行及我的历届学生们作了一些探索．今给出师生几种另解供参考．     

“引”水思“故”——高中新课引入的几点思考

中学数学课堂导入就是指在讲解新知时,教师有意识、有目的地引导学生进行数学学习的一种方式,是课堂教学的启始环节.恰当地导入有利于激发学习兴趣,启迪学生积极思考,唤起求知欲,恰似一支婉转悠扬的乐曲,"起调"若能扣人心弦,"主旋律"便会引人入胜."等比数列前项和"公式的推导是高中教材中的一个经典课题,也是教学中对学生进行思维训练的好课题.本文以"等比数列的前n项和"为例,就课堂     

关于数列求和问题的一些思考

正在中学数学的教学中,求数列各项和的问题是我们不容忽视的教学重点内容,依据《课程标准》的要求,高中阶段的学生应该掌握等差数列,等比数列前n项的求和公式,还应该会采用这些简单的公式去解决生活中一些常见的简单问题。一、关于数列求和问题的认识与数列有关的题目是我们在中学阶段重点学习的内容,一般使用公式法、通项分析法、错位相减法、裂项相消法、递推法和阶差法等方法进行数列的求和,在这些方法中公式法是最基本的方法。我们在学习数列的时候首先学习的就是等差数列和等比数列,公式法的本质     

殊途同归——多种方法推导等比数列的前n项和公式

本文给出了寻求等比数列前n项和公式的10种方法,以供中学数学教学参考。     

一个解题错误的案例分析

1 问题提出众所皆知,学生在学习等比数列的求和公式和应用求和公式解决问题时往往忽略q=1的情况而直接运用q≠1的求和公式,因此笔者在采用苏教版高中《数学5》进行数列一章中等比数列前n项和公式教学时,面对学生的实际情况(四星级高中实验班)采用了几种方法,从不同角度推导等比数列前n项和S_n     

错位相减法的发现——等比数列和公式推导的教学案例

正等比数列前n项和公式推导的思想方法的产生是一个教学难点,如何突破这一难点?在新课程理念的引导下,笔者试将这一问题交给学生讨论,让学生自主探索、动手实践、合作交流,教师只是顺势引导,使学生的学习过程成为教师引导下的"再创造过程",取得了较好的教学效果,下面是其中的教学片段。教师:同学们都求过哪些数列的前n项和?学生1:等差数列的前n项和。学生2:常数列的前n项和。教师:好。等差数列、常数列,我们已经会求它们     

让数学课成为学生的最爱—《等比数列的前n项和》教学反思

5月18日,我参加了学校第十一届青年教师基本功比赛,所上的《等比数列的前n项和》获得一等奖。用心准备、精心设计、潜心专研,是我上好这节课的前提。在教学过程中,我充分体现了教学目标,抓住了教学重点,解决了教学难点,更重要的是,全班学生心、神、情、与我深度融合。     

高三“数列专题”复习教学设计

高三数学专题复习是由"量的积累"到"质的飞跃"的过程,是进一步完善学生的立体知识网络结构,全面提升能力的关键时期.回顾2008~2012年的考题,2008年第10题考查等差数列的前n项和公式,第19题考查了等差数列、等比数列的综合运用,2009年第14题考查等比数列,第17题考查等差数列的通项公式、前n项和公式,2010年第19题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,2011年第13题考查等差数列与等比数列,第20题考查等差数列的综合运用,2012年第6题考查等比数列的通项公式,第20题考     

情境体现编者匠心 过程凸显数学内涵——北师大版课标实验教材《等比数列的前n项和》编写特色赏析

在上一届安徽省高中数学青年教师课堂教学评比活动中,有7位参赛教师执教了相同的课题——北师大版普通高中课程标准实验教科书必修5"3.2等比数列的前n项和".由于7位老师对教学内容有着不同的理解,使得他们设计的教学过程各具特色,进而引发了笔者对这一节教材浓厚的研读和探究兴趣.     

一道颇为流行的错题

《高三数学教学与测试》(94年出版),由苏州大学《中学数学》编辑部编写,人民日报出版社出版,P_(99)典型例题1.证明:等比数列{a_n}的依次每 k 项之和,仍成等比数列,并且公比为q~k(q 是原等比数列的公比).