圆锥截线若干性质的解析证明

关于圆锥截线的定性理论已有很多文章论及(如[1]、[2]),受[1]的启示本文给出这一课题的另一种纯粹的解析证明,不仅可以讨论截线的形状,而且可计算截线的中心坐标,主轴长和方程及椭圆面积等.先证如下引理引理1若锥面∑:ax2 by2 cz2=0被平面π所截得曲线Γ,若Γ为中心二次曲线且中心为(α,β,γ),则平面π的方程可表成aα2 bβ2 cγ2=aαx bβy cγz证:设过(α,β,γ)的直线方程为x-αl=y-mβ=z-nγ=r(r为参数)此直线与Γ交于A、B两点,且A(lr1 α,mr1 β,nr1 γ),B(lr2 α,mr2 β,nr2 γ),这里r1、r2是方程(al2 bm2)r2 2r(aαl bβm cγn) a…     

圆锥截线与玫瑰线

在苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修4-4(坐标系与参数方程)》[1]中曾用极坐标介绍过一种美丽的曲线——玫瑰线.笔者在教学中发现了玫瑰线的一种形成途径. 如图1,设底面半径为R、母线与底面所成角为α(0＜α＜π/2)的圆锥Q,其顶点为S.过底面中心O的两条直线AC-⊥BD.另外还有一个以OB为底面直径、SO...     

圆锥截线的故事

在现代的中学数学课程中,通常是在初等解析几何中学到圆锥截线,亦即椭圆、双曲线和抛物线.圆锥截线的发现和研究起始于古希腊.Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以Apollonius所著的八册<圆锥截线论>集其大成,可以说是古希腊几何学的一个登峰造极之作.     

圆锥截线必是二次曲线

给出一种较简明的方法,证明平面与圆锥相交所得的圆锥截交线为二次曲线     

圆锥截线为圆锥曲线的坐标法证明

大家知道,椭圆(包括圆)、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。这是由于它们都可以由平面截圆锥面而得到。所以,在许多几何教本里都是根据圆锥曲线的定义,采用几何方法来证明圆锥截线是圆锥曲线。本文将用坐标法证明之。     

圆锥截线为什么是二次曲线

椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线总称二次曲线,这是容易理解的。但为什么又总称圆锥截线呢?具体地说,就是:把一个圆锥(正圆锥)的每一条母线向两方无限延长,就成了一个圆锥面(正圆锥面)。用一个不经过圆锥顶点的平面来截圆锥面,设截面和圆锥的轴所成的角是θ,圆锥的半顶角是α,那么(如图一)     

蜗线·外摆线·圆锥截线

蜗线、外摆线、圆锥截线;看起来似乎是彼此没有什么联系的三种曲线,其实不然。本文特阐明两个问题: 1.蜗线是外摆线的特例; 2.蜗线与圆锥截线互为反象。一、蜗线的定义和方程设⊙为直径为a的定圆圆周上一个定点,过O的任意直线与圆相交于另一个点R,在此直线上有一点P,它与R的距离为定值b(b>0),则P点的轨迹叫做蜗线。当b小于、等于、大于a时,分别地叫做长蜗线、一般蜗线(心脏线)、短蜗线。以O为极点,取极轴的方向与O到圆心     

用圆锥截线极坐标方程解题时的两点注意

在1983年高考理科数学试题中,有如下一题: 如图(图一),已知椭圆长轴|A_1A_2|=6,焦距|F_2F_2|=42~(1/2),过焦点F_1作一直线,交椭圆于两点M、N,设∠F_2F_2N=a(0≤a<π),当a取什么值时,|MN|等于椭圆短轴的长。可以用多种方法来解答这道题,但其中以应用圆锥截线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)(e为离心率,p为焦点到相应准线的距离)来解较为简便(解法从略)。凡是过圆锥截线的     

圆锥截线特征的一种简捷证明

高中课本《平面解析几何》P108页指出：圆、椭圆、双曲线、抛物线,可以看作不同的平面截圆锥面所得的截线,至于为什么“截线”为四种曲线,教材未作论证,这无疑留给学生一些困惑,本文利用圆锥曲线的统一定义,给出一种易为学生接受的简捷证明。     

圆锥截线的故事（续4）

(四) 温习:cosθ和sinθ的微分 从圆的简单几何性质和简单的物理观念,我们很容易便得出cosθ和sinθ的微分.其简单的推导如下:     

圆锥截线的故事（续3）

7 Kepler行星三定律 日月和四季的变化,具有明确的周期性和规律性,而且它们都全面地影响着大地上的一切现象和活动.     

圆锥截线的故事（续5）

9 圆锥截线例题,极与极线 例1 圆锥截线方程的矩阵表达式 在§4中我们用到以矩阵来表达圆锥截线的方程式     

圆锥截线的故事（续2）

5五点定一"二次曲线"和六点共在一"二次曲线"上的条件 在初等几何中有两个熟知的事实,即两点定一直线和不共线三点定一圆.若改用解析观点来看,上述几何事实与直线和圆的方程式中系数比的个数是密切相对应的.     

圆锥截线的故事（续1）

4 坐标变换和不变量 空间的一个重要本质是它完美的对称性和均匀性,它在坐标解析几何中的反映就是所有正交坐标系(亦称之为笛卡儿坐标系)之间的互换等价性.     

关于"圆锥截线是圆锥曲线"的注记

一般解析几何教材中关于定理“圆锥截线是圆锥曲线”均没有证明,至多只做简单的说明．本文拟用空间解析几何的方法加以论证．引理：平面∑与平面∑’交角为θ(0≤θ＜π/2),平面∑内的圆锥曲线S在平面∑上的射影柱面与平面∑’的交线为S’,则S与S’是同样类型的圆锥曲线．     

平面截圆锥面得到圆锥曲线的坐标法证明

为了与新课标接轨,今年各地的高三数学模拟考试很多都增加了新内容方面的题目． 如：已知直线l与平面α成60°角,α外的一点A在直线l上,点B在α内,且直线AB与Z成角45°,则点B的轨迹是（ ）     

用分类讨论法解相似三角形“截线”问题

关于相似三角形中的“截线”问题,许多同学在解题时往往考虑得不够全面,缺乏分类词论思想因而容易犯错．本文仅举一例说明用分类讨论思想解决这类问题．     

用分类讨论法解相似三角形“截线”问题

<正>关于相似三角形中的"截线"问题,许多同学在解题时往往考虑得不够全面,缺乏分类讨论思想因而容易犯错.本文仅举一例说明用分类讨论思想解决这类问题.题目过直角三角形一边上一点P(不包括三角形顶点)作一条直线,使截得的三角形与原三角形相似,这样的截线有几条?一、如图1,过直角三角形较短直角边上一点P,可作4条直线,使截得的三角形与原