研究性课题：多面体欧拉公式的发现

一、介绍欧拉,引入课题著名数学家欧拉(Euler,1707-1783),瑞士人.在数学家贝努利(Bernoulli)的赏识下开始学习数学,16岁就获硕士学位,后来毕生从事数学研究,是数学历史上最“高产”的数学家之     

有关多面体欧拉公式的应用

过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积、体积、全等等度量问题,而多面体欧拉公式与度量无关.欧拉公式V+F-E=2反映了简单多面体的元素(顶点、面和棱)     

例谈欧拉公式

高中数学新教材注重学生的研究性学习，其中&;#167;9．9“多面体欧拉公式的发现”就是以研究性课题的形式设计。通过这一节的学习，使学生主动参与的发现式学习活动，培养了他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力。但在教学过程中也发现学生对“欧拉公式”的记忆、证明、应用还存在较大的困难。     

“多面体欧拉公式的发现”的教学实践及意义

1研究性课题和方案设计 "多面体欧拉公式的发现"是高中<数学>(试验修订本·必修)第二册(下)的研究性课题.其问题的设计可谓是别出心裁:它提示了知识的背景,让学生从欧拉的废纸篓中寻找研究的痕迹,让学生去体验面对一个新问题时,应如何去探索和研究;它创设了问题的情境,给学生一些简单、直观、具体的模型,使学生身临其境,真正成为研究主体;它教给了学生"观察-归纳-猜想-证明"的研究方法.在教学过程中,笔者分三步进行:首先,让学生认真自学,合理猜想并提出问题,每人写一份学习心得和体会;其次,小组合作,将全班55人分成11个小组,每组5人,其中选出1人为组长,同组之间彼此交流观点、讨论并提出小组问题,共同研究并由组长整理成小组论文;再次,师生共探,针对每组得到的结论和提出的问题,采取讨论式教学方法,师生共同研究解决.     

有关多面体欧拉公式的应用

过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积、体积、全等等度量问题,而多面体欧拉公式与度量无关。欧拉公式V F-E=2反映了简单多面体的元素(顶点、面和棱)之间的数量关系,它在研究简单多面体时是很有用的工具。大家都知道正多面体只有5种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。为什么呢?就     

多面体欧拉公式的应用

对于一个简单多面体 ,若它的顶点数为Ｖ ,面数为Ｆ ,棱数为Ｅ ,则有Ｖ +Ｆ-Ｅ =2 .这是著名的多面体欧拉公式 .教材对多面体欧拉公式 ,采用了“研究性课题”的学习方式 ,旨在体现对数学公式的发现过程 ,培养学生探究数学问题的学习习惯 .本文进一步谈谈多面体欧拉公式的应用 .例 1　一简单多面体的棱数为 3 0 ,面数为1 2 ,则它的各面多边形的内角总和为 (　　 )(Ａ) 540 0°　　　　 (Ｂ) 6480°(Ｃ) 72 0 0° (Ｄ) 792 0°解　由欧拉公式得　　Ｖ =Ｅ-Ｆ+2=3 0 -1 2 +2 =2 0 ,∴它的各面多边形的内角总和为(Ｖ -2 ) × 3 60°=6480°.故选…     

简单多面体的欧拉公式的一个推广

全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（下）增加了研究性课题：多面体欧拉定理的发现,给出了简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间存在规律：V＋F-E=2．它叫做欧拉公式．     

运用"独占"思想解答欧拉公式的应用问题

"欧拉公式"的发现是数学新教材中的研究性课题.学生通过积极主动地学习探究过程,充分体验数学家的创造性工作.欧拉公式"V F-E=2"所揭示的是多面体的元素(棱、顶点及面)之间的数量关系.在具体应用过程中,由已给的条件找出三个数V,E,F,或确定其两两之间的关系,代入欧拉公式求出其中的一个数,进而求其它各数.学生在学习过程中碰到的难点是:在寻求三个数中,如何确定其中两两之间的关系式,这就是解决欧拉公式应用问题的关键.为此,本文尝试用"独占"的思想策略来解决这个难点问题.     

多面体欧拉公式的历史和方法论——纪念欧拉诞生300周年

多面体欧拉公式的历史源远流长,最早猜测到多面体欧拉公式的是笛卡儿,但他没有证明.后来,欧拉又重新发现了这个公式,并第一次证明这个公式,所以把这个公式称为多面体欧拉公式.后来又有许多数学家重新证明或简化证明.现在,一般的数学书上用的都是德国数学施陶特的证明.笛卡儿和欧拉发现这个公式,用的是归纳法和类比法.数学哲学家拉卡托斯用这个公式来论证他的数学发现的逻辑.     

正多面体的顶点着色公式

通过抽象代数知识，求出所有正多面体的旋转群．利用群对集合的作用，求出其元素的种类及个数．然后代入伯恩塞德公式，求得所有正多面体的顶点着色公式．     

正多面体的顶点着色公式

通过抽象代数知识,求出所有正多面体的旋转群.利用群对集合的作用,求出其元素的种类及个数.然后代入伯恩塞德公式,求得所有正多面体的顶点着色公式.     

从高考试题探求一类多面体体积公式

题1 (2005年高考试题全国卷(Ⅰ)) 如图1,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,图1则该多面体的体积为( )     

正多面体顶点着色公式的整数性质

利用整数的整除理论,证明了以下结论:在所有正多面体顶点着色公式中,当颜色数取任何一个整数时,这些公式的计算结果仍然是整数．     

正多面体顶点着色公式的整数性质

利用整数的整除理论，证明了以下结论：在所有正多面体顶点着色公式中，当颜色数取任何一个整数时，这些公式的计算结果仍然是整数．     

一类多面体的绝对值方程

给出棱锥,棱台,棱柱的绝对值方程的一般形式及其推导过程.     

Clar多面体的邻接性

文献【1】中Hansen和Zheng把六角系统的Clar数计数问题转化为线性规划的最优解问题,文献[2]中Chvaital给出了两个匹配相邻的一个充要条件．受此启发,给出了六角系统的线性规划模型解向量的凸包构成的多面体（Clar多面体）上两个Clar覆盖相邻的充要条件和Clar多面体的维数．     

等周等积问题在多面体的推广本

命题1 体积为V、表面积为S的多面体，存在等体积、等表面积的长方体的充要条件是     

Formula for Uncertainty

How LEAs are measuring and allocating resources for special educational needs varies widely. Yet their formulae for doing so are likely to make the difference between enabling pupils with special needs to progress in their learning and, conversely, reducing the support they may need. Tim Lee, research fellow, Centre for the Analysis of Social Policy, Bath University, reports on the latest surveys of LEAs' funding policies.     

关于棱锥的多面体行列式值

研究了华罗庚教授在文犤1犦中提出的一个求多面体行列式值的问题,求出了任意棱锥的多面体行列式值,更正了文犤1犦中的一个错误。