等号的提示作用

在证明某些不等式的时候若能充分注重等号成立的条件,会使不等式的证明方向明了,达到化难为易,化繁为简之目的,下面列举数例,试图说明等号在某些不等式证明中的提示作用,不当之处,望批评指正。本文所用的字母凡来注明的都为正数     

构造基本不等式证题

轮换型不等式是不等式中的一类，不论怎样交换字母。题目的效果不变，这类不等式在中学数学中比比皆是，尤其是在各级各类数学竞赛中频频出现．由于其变量多，证明时思维指向不明确，故证明难度大，不易入手，但是，如果引导学生仔细分析所证不等式的结构特点，从研究使不等式等号成立的条件入手，巧妙地构造基本不等式就可使轮换不等式的证明来得简单快捷，达到“出奇制胜”的效果。     

一类不等式的证法探讨

不等式的证明在高中数学教学中是一个重要内容。本文对一类字母可轮换且能取得等号的不等式的证明如何教学进行一些探讨。 学生在证这类不等式中的常见错误:（1）在常用的放缩过程中难于把握恰当的分寸;（2）常忽视等号成立的条件。 怎样帮助学生克服错误呢?教学中首先引导他们从一些基本不等式着手,仔细观察分析它们的特点。     

一个三角不等式的初等证明及应用

1命题已知,则有,其中等号当且仅当时成立．说明：上面不等式的证明,按照一般思路借助sin2x＋cos2x=1或三角函数的有界性或万能公式转化等,经尝试均不能证明．但是我们通过讨论研究发现,利用待定系数法把两个不等式成立的条件结合起来可以证明．为了证明方便,下面先给出两个简单结论（证略）．结论1设,则,其中等号发且仅当：时成立．（特别地,m,时不等式实质上是算术平均数不小于调和平均数的变形）结论2中等号成立的充要条件是命题证明若①、②两个等号同时成立的条件可求得m,n或对应的x值,则的最小值即可得出．等号②成立的条…     

利用a~2≥2a-1证明竞赛不等式(高二、高三)

证明不等式是数学竞赛中的热点,因此研究不等式的证明方法也是研究数学竞赛的重点内容之一. 本文通过利用基本不等式a2≥2n-1,当且仅当a=1时取等号,以及其推广来解决数学竞赛中一类不等式的证明问题.这种方法简捷、易于操作,且具有一般性,但运用时要注意等号成立的条件.下面举例说明. 例1 设x1,x2,…,xn∈R ,求证(x12)/x2 (x22)/x3 … (xn-12)/xn xn2/x1≥x1 x2 … xn.     

基本不等式与解析几何知识的衔接

基本不等式（√a^2＋b^2）/2≥（a＋b）/2≥√ab（当且仅当a=b时,等号成立）的应用要注意两个问题：（1）“一正二定三等”．一正,即a,b两个数为正数;二定,即两个正数的乘积为定值;三等,即等号成立的等价条件是“a=b”．（2）规律是：积定和最小,和定积最大．本文谈谈基本不等式在解析几何中的运用．     

｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a b｜≤｜a｜ ｜b｜应用举隅

｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜是中学数学中的一个基本不等式．当ａ、ｂ∈Ｒ时,我们称其为绝对值不等式,右端等号当且仅当ａｂ≥０时成立,左端等号当且仅当ａｂ≤０时成立;当ａ、ｂ∈Ｃ时,我们又称其为复数模的不等式,右端等号当且仅当ａ＝ｋｂ（...     

利用等号成立条件证不等式

不等式是不等的式子,但不等式的等号成立条件却会对证不等式起导向作用,利用等号成立条件,会较易地证明一些较难的不等式。     

利用基本不等式等号成立条件求解竞赛题

正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本     

例说利用等号成立的条件证明不等式

在证明含有“≥，≤”的不等式时，如果能够关注其中等号成立的条件，并结合“均值不等式”、“柯西不等式”等号成立的条件，那么往往能够很快找到问题的突破口，从而收到事半功倍的效果．下面简单举例说明．     

一类对称不等式的另证

文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题．笔者发现，此类问题若利用不等式等号成立的条件，配凑后使用均值不等式，则会更简单．本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例，对这一类对称不等式进行证明（例2使用数学归纳法会更简单）．     

构造基本不等式证题

轮换型不等式是不等式中的一类,不论怎样交换字母,题目的效果不变,这类不等式在中学数学中比比皆是,尤其是在各级各类数学竞赛中频频出现.由于其变量多,证明时思维指向不明确,故证明难度大,不易入手.但是,如果引导学生仔细分析所证不等式的结构特点,从研究使不等式等号成立的条     

均值不等链的探究

<正>对a,b∈R*,a+b2≥ab(当且仅当a=b时等号成立),此不等式是证明其他相关不等式的基础,因此此不等式叫做基本不等式.基本不等式是每年高考的热点,且常考常新.考试大纲对基本不等式的教学要求是掌握基本不等式及其变形,了解其证明过程,会用其解决简单的求最值问题.     

从等号起步证明分式不等式

本刊文[1]介绍了从等号成立的条件出发,利用基本不等式,迅速简捷地证明无理不等式.笔者发现,从等号起步去证一类分式不等式,也同样方便实用,且容易掌握.     

一道IMO预选题的两种证法

第39届IMO预选题的第11题：证明：《中等数学》1999年第5期给出了两种不同的妙证，事实上用均值不等式就能证明．证法1由①＋②＋③得：上述不等式都是在x＝y＝z＝1时取等号．　当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．证法2由①＋②＋③得：上述不等式都在x＝y＝z＝1时取等号．当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．一道IMO预选题的两种证法@李来敏$重庆市武隆县中学!408500     

巧用不等式解压轴题

在人教教材中有一个不等式ex>1+x（x≠0）,利用这个不等式及其变形可以证明不等式或恒成立问题,比直接用导数求解要简单,而且可以避免复杂的求导运算。
　　原形：ex≥1+x当且仅当x=0时,等号成立;
　　变形：ln（x+1）≤x（x>-1）当且仅当x=0时,等号成立;用导数证明很容易,过程略。     

均值不等式等号成立的配凑技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立的条件具有潜在的应用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑技巧．笔者通过实践,把运用均值不等式的配凑技巧概括为六类,下面对此作些论述．     

“相等”来搭桥 天堑变通途——谈不等式等号成立条件的简单应用

<正>在中学阶段,常常利用一些基本不等式或一些重要不等式进行证明或求最值,其应用相当广泛.而在实际运用过程中,一些同学常常忽视了不等式等号成立的条件,进而造成了一些错误,甚至造成一些题目无法获解.实际上,基本不等式与重要不等式等号成立的条件应用相当广泛,甚至在一些较难题目中,灵活运用"相等"来搭桥,天堑也会变通     

例谈不等式的证明

证明不等式就是要推出这个不等式对其中字母的所有允许值都成立或推出数值不等式成立.本文主要归纳总结了证明不等式的几种常用方法.     

均值不等式等号成立条件的导向作用示例

对于均值不等式n(a1a2…an)~(1/2)≤(a1 a2 … an)/n,当且仅当a1=a1=a3=…=an时等号成立,这是一个大家都很熟悉的条件,大多数人在解或证明不等式即将完成时,用它来完善不等式的解答,鲜有人注意到它对不等式问题的解答有启发和导向作用,下面我们就举例来说明．