第三届中国东南地区暨希望联盟数学奥林匹克试题及略解

第一天(2006.7.27 8:00-12:00南昌)一、设 a>b>0,f(x)=(2(a b)x 2ab)/(4x a b),证明:存在唯一的正数 x,使得 f(x)=((a_3~1 b_3~1)/2)~3.(李胜宏供题)二、如图所示,在ΔABC中,∠ABC=90°,D、G 是边CA 上两点,连接 BD、BG,过点 A、G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E、F,连接 CF,若     

第五届中国东南地区数学奥林匹克

第一天 1．已知集合S：{1,2,…,3n},n是正整数,T是S的子集,满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同）,都有x＋y＋z∈r．求所有这种集合T的元素个数的最大值．     

探究一道东南地区数学奥林匹克题

问题1求一个是三元整数组（l,m,n）（1〈z〈m〈n）,     

全国第二届奥林匹克数学研讨会议通知

湖南师范大学数学奥林匹克研究所、上海大学数学系拟于2005年10月在上海主办全国第二届奥林匹克数学研讨会。会议除将邀请国外知名的专家到会作大会报告外，还将请中学第一线的名教练员作专题报告和经验介绍。会议从现在开始接受报名，并开始征集论，尤其欢迎下列方向的论：1.奥林匹克数学与中学常规数学教学的关系；2.全国联赛专题研究；3.数学解题策略；4.数学竞赛命题策略；5.数学奥林匹克代数问题；6.数学奥林匹克几何问题；7.数学奥林匹克组合问题；8.数学奥林匹克数论问题；9.数学奥林匹克活动的历史回顾。     

对一道东南地区数学奥林匹克题的再探究

文[1]对一道东南地区数学奥林匹克题进行了探究,在此基础上,笔者进行了再探究,并得到如下命题：     

第35届中国数学奥林匹克

1.设实数a1,a2,…,a40满足a1+a2+…+a40=0,且对1≤i≤40,均有|a1-ai+1|≤1(a41=a1)记a=a10,b=22,c=a30,d=a40.求:(1)a+b+c+d的最大值.     

第二届陈省身杯数学奥林匹克第6题的推广

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第6题为     

第16届中国东南地区数学奥林匹克

第16届中国东南地区数学奥林匹克主试委员会成员:熊斌、何忆捷(华东师范大学),李胜宏、杨晓鸣(浙江大学),柳彬(北京大学),李铁城(清华大学),吴泉水(复旦大学),罗晔(香港大学),张鹏程(福建师范大学),董秋仙(南昌大学),吴根秀(江西师范大学),陶平生(江西科技师范大学)。     

2003年中国数学奥林匹克暨第18届全国中学生数学冬令营试题

2003年1月15日上午8:00至12:30 一、设点I,H分别为锐角△ABC的内心和垂心,点B1,C1分别为边AC,AB的中点.已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B),射线C1I交AC的延长线于点C2,B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心.试证:A,I,A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等.     

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天一、设实数a、b、c满足a2 2b2 3c2=32.求证:3-a 9-b 27-c≥1.(李胜宏供题)二、设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN.(陶平生供题)三、(1)是否存在正整数的无穷数列{an     

第32届俄罗斯数学奥林匹克

第32届俄罗斯数学奥林匹克于2006年4月21日一26日在俄罗斯普斯科夫举行．竞赛分九年级、十年级和十一年级，每个年级考两天，每天5个小时考4道题．我国派出了上海市代表队参加了这次竞赛,6名队员是华东师大二附中的张成、边远，复旦大学附中的禹仲俊、龚墨，上海中学的应鲍龙、张一凡,其中2人参加了九年级的比赛，4人参加了十年级的比赛，并获得了一金、四银、一铜的好成绩．[编按]     

2005中国西部数学奥林匹克

第一天1.已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.(朱华伟供题)图12.如图1,过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB,A、B为切点,再过点P作圆的一条割线分别交圆于C、D两点,过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F.求证:BE=BF.(冷岗松供题)3.设S={1,2,…,2005}.若S中任意n个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数,试求n的最小值.(唐立华供题)4.已知实数x1,x2,…,xn(n>2)满足|∑ni=1xi|>1,|xi|≤1(i=1,2,…,n).求证:存在正整数k,使得|∑ki=1xi-∑ni=k+1xi|≤1.(冷岗松供题)第二天图25…     

2004西部数学奥林匹克

第一天 一、求所有的整数n,使得n4+6n3+11 n2+3n+31是完全平方数.     

2008中国西部数学奥林匹克

第一天 1.实数数列{an}满足 a0≠0,1,a1＝1-a0, an+1＝1-an(1-an)(n=1,2,…). 证明:对任意的正整数n,都有 a0a1...an(1/a0+1/a1+…+1/an)=1.     

2002年西部数学奥林匹克

第一天1.求所有的正整数n ,使得n4 - 4n3 +2 2n2 -36n +18是一个完全平方数 .2 .设O为锐角△ABC的外心 ,P为△AOB内部一点 ,P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F .求证 :以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内 .3.考虑复平面上的正方形 ,它的 4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4 +px3+qx2 +rx +s=0的 4个根 .求这种正方形面积的最小值 .4 .设n为正整数 ,集合A1,A2 ,… ,An + 1是集合{ 1,2 ,… ,n}的n +1个非空子集 .证明 :存在 { 1,2 ,… ,n +1}的两个不交的非空子集 {i1,i2 ,… ,ik}和{j1,j2 ,……     

2003西部数学奥林匹克

(2 0 0 3- 0 9- 2 7—0 9- 2 8,乌鲁木齐)第一天1.将1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10 .求每一个面上四个数之和的最小值.2 .设2n个实数a1,a2 ,…,a2n满足条件∑2n -1i=1(ai 1-ai) 2 =1.求(an 1 an 2 … a2n) - (a1 a2 … an)的最大值.3.设n为给定的正整数.求最小的正整数un,满足:对每一个正整数d ,任意un 个连续的正奇数中能被d整除的数的个数不少于奇数1,3,5 ,…,2n - 1中能被d整除的数的个数.4 .证明:若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB、BC、CD、DA的距离之和为定值…