虚系数一元二次方程根的讨论

本文讨论的是方程: (a,+a:i)之2+(b,+b zf=0 (az+aZ艺斗0,a:、b:、CZ实数)的根的性质。)之+(C,+C:i)(带)为不全为零的设之土+22z:、::是方程(哟的两个根,则=_虹些立 a:+a 22_(a:b一+a Zb:)+i(a:bZ一a Zb:) a 12+a22 则a,=认aZ,b:=入b:,c:=入e。 此时方程(劝变为: (入a:+a:i)之“+(入b:刁一b:i)z +入c:+e。i=0 即a::2+b 22+c:二0。又’:之,、公:〔R,且:,年之:, b:“一4aZc:>0, 充分性之1.君:_cl+cZ忿 al+a:之_(a:c:+a:CZ)+i(a IC:一a:c:) al_b一_c, 瓦一b:一叭’程(劝同解于方程: 又’:bZ“一4a:cZ…由上面证明可知方aZ;2+b:之月一cZ…     

04年河北省初中数学竞赛预赛试题(初二、初三)

1_计笠—止1一一一-二一一亘一—二放,从上拄下依次为第1层、第2层、第3层、.,’. 一(。一b)(。一。)’(b一c)(b一a)’则第2004层正方体的个数是()万丁丽不二丽的结果是()(A)2009010·(B)2005000. (C)2007005.(D)2004. 2a/一、2b二--一一’一,一1 (A)万二拭汾二下.(B)二二节炭一.7.当x~2,;一8时, 又a一b)(a一c)一’一’(a一b)(b一c)’‘’=山一‘’少一u”,’ …、2。_、_/。.。1。./,.。.1。 (娜万二二二不王二二万;.(D)。.心护十x‘y十丁xy乙叔/厂十xy之十于护y (a一c)(b一c)‘、一一”V“’4一J”了‘一了’4‘了 2.已知四边形四条边…     

初中数学竞赛模拟试题及解答(一)

第一试一、选择日(木题42分,每小题7分)l、设实数 a、b*满足 c b—3a’一4a十6,c—b—a’一4a干4,则.、b/的关系是()(A)a MMb相似文献   

“数学奥赛月月练(3)”解答

鬓1.n移项,原方程等价于(a一e)(a先c 阮)一o,(b一a)(b十a cx)一O,(b一。)(b十e ax)=0.因“,bt攀互不相等,所以a ‘ bx~0,b “ cx一O,b c ax一O,两两相减有(b一e)(x一1)=0,(a一b)(x一1)一。,故x~上代人原方程得二 占斗~‘一0.(a一。)(x一1)一0,罐 2.D.由题意:a1 a2 … 姚一36,御     

数学分层优化设计(二) (人教版:内容:§4.1~§4.3)

A〔夯实基础测评〕一、填空题1.若2(3一a)x一4=5是关于尤的一元一次方程,则a尹_.2.关于x的方程。二3的解是自然数,则整数a的值为_3.方程阮一2(.x一1)=17的解是_. 、二奈,,。1从众招二J_4.x一2是方程2x一3一m一合‘的解,则m-—5.若一了一5件1=0是关于x的一元一次方程,则。。_.当少二_当m=时,代数式sy十6与3J一2互为相反数. 时.方程巨些二工一二=—22先一1 3一五一的解为(). 68已知a护0,则关于二的方程3动一(a十b)%“(a一b)%的解为_.二、选择题9.下列是一元一次方程的是()A一3二一6x2二7 B.土 厂3c.sx l一云二妙一ZD.妙一4=却 l10康及奈翅3…     

初中数学综合测试题(八)

城空若a<0,则}、/示一a(A)(C)a 1:aZ 1,(B李士、/a.,一幻(D)土、/aZ、一1。2.当a二3。请枪验下面四个命题的运算结果: 3。已妞’了间的距离为三,丫, 另 1X 三 {a一1}一5 生二于匕一一竺困二O。 a达一sa一62)与点B(2,一1)之一~_~一。”-一派的自变量 ①训c。。‘r眺毛 ②190。0003二尾数是0.5229; ③当,相似文献   

一个值得发掘的多项式

“’+乙’十。’一3。乙‘是一个值得发握的多项式.它具有很多功能.某些数学题借助于它,可获得巧妙的解法. 如果我们把它分解因式可以得到: a3+b’+〔’一3abe二(a+b+c)(a’+b’+cZ一a吞一乙c一ac)(1) 或a’+乙3+c’一3a乙e结论1: 结论2:结论3:如果。十。六一。一那么、一已a3+b“+e3=3晶c一’(8)如果a+占+c>0,那么,”+乙’+c3)3abc(4)如果a>O,西>O,‘>O,那么竺粤汽)“丽(5) 1,_:,、、一,_=.二了(“午乙宁‘夕红气‘了一口产 名根据上面两式,2+(6一c)’+(c一a)2〕(2)我们还可以得到如下结论: 在a二乙二e时,(4儿(3)两式中等号成立。 一下面…     

漫谈公式a b c=0<==>a~3 b~3 c~3=3abc在解题中应用

设a、b、c是不都相等的实数,则有下列公式:a b c二0 令乡a3 b, c’二3abc, 因为:a, b’ e,一3abc=(a b e)(a: 乙2 c:一a6一石c一ea)=于(a b c)〔(a一乙)2 (丢一c)2 (a一c).〕当a、西、e不都相等时,(a一乙)2 (b一c)2 (a一e)2特0(>0),所以a 右 c二o牵今a, b3 c3一3a乙e二0,即 a b     

1987年上海市青少年数学爱好者协会高中组入会试题

(90分钟)本卷共10题,1987一8一29每题10分,共100分:、若“命的首数为c,尾数为“‘。,则lgM的首数与尾数之积为—.2、已知了(x)为奇函数式是且当二>o时,f(x)=二(i一x),则当二相似文献   

错在哪里

题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那…     

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)给出的信息

命题1设。、b、c都为非零数,则1 11几一十一=二,下飞一宁-DC“十U十C互为相反数,不妨设a二一方,则l︷少 十l护 +1一尸 一 一一l尸 +l+11a百+b3 1一少·︸3一一,分 r丫的充要条件是a、b、。中至少有两个互为相反数. 证三‘’充分性显然,卞亩证必要性,,若口3十十乃落二j)几于下奋’ 1=云丁, 1一万,1,1,1._—宁一犷~甲一=口口C.浮.a+b+c皓十去、劲“二(一价朵于是,所证等式成立.更一般有: 1一a+b+e1一c 十]一b由题设知“,乙,。子。,得 (a+b.+e)(bc+ac+ab)=abc,去括号整理得a Zb+ab’+aZe+acZ+bZc+beZ+Zabe=0,因式分解得 (a+b)(b+e)(e+a)=0…     

方程(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的一种解法

本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=…     

题设条件a b c=p的隐含关系及应用

命题若a,b,c,p∈R,a b c=p,则存在k∈R,使b=-(k 1)a,c=ka p。而且也存在k’∈ R,使c=-(k’ 1)a,b=k’a p。证明由a b c=p得a b (c-p)=0,以a、b、(c-p)为二次项、一次项的系数和常数项,作一元二次方程 ax~2 bx (c-p)=0(假定a≠0),显然方程有根为1,(因为a b (c-p)=0),若另一根为k,(k∈R)由根与系数的关系得-b/a=k 1,即 b=-(k 1)a,(c-p)/a=1·k,得c=ka p。再作二次方程ax~2 cx (b-p)=0,其一根为1 ,若另一根为k’,则有     

一次不定方程(组)的整数解(初一)

本文介绍一次不定方程(组)整数解的判定和求法. 1.如何判定整系数方程ax+by=c有无整数解定理1 整系数方程ax+by=c如果有整数解,则必有(a,b)|c;反之,如果(a,b)|c,则该方程有整数解.((a,b)表示a、b的最大公约数;(a,b)|c表示(a,b)整除c).     

一个不等式的加强

本刊1989年第际数学竞赛题中有 设a,b,e任R+,5期刊登第二届友谊杯国则 a 2 .b“.cZ_a+b+e—十一—十一—万二声—.白+CC+口口+口艺不等式可加强为设a,b,c任R+,丝+些兰+‘C+召+c:a+b 一L口日男)竺鉴些十抓‘;荞以‘淤三+告厂〕.事实上,不妨设a)b):>0.作如下变形 a2西+c=厂其二 、口十C~4a一b一c 4(b一e)24(b+c)〕班卫二立二少+ 4(乡一c):4(b+c)=六{(a一宁)’一(勿’〕班些立班+ 4(b一e)z4(b+c)(a一b)(a一c)州兰卫上二 4 ︸‘,l︸+ 一百口.(b一十— 4(bc)2·+c)同理刃一,续有类似表达式,三式相加, C个a“十0有兰+b+C b2‘+口十_丝_ a十b一…     

af(x)+b f(x)~(1/2)=c的简捷解法

方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0,     

a~(1/p)的三个变形(初一、初二、初三)

砂一万(P并。,。>0) 例1为多少? 分析 解即_.生._生__.1.,,二口知xZ十xZ一匕,则x十一的位 3.砂一夕今砂一茄(P笋。,q笋q姆>0,b>O) 例3已知正整数a,b,。(a镇b簇c)和实数x,y,z,切满足a’一夕一扩一70气 指数为分数,考虑用砂一万已知x合十x一合一8,1 .11一十一十—X yZ 1.、.,、,,,,二一石,试水“,”,“的惬· 尸.1丫￡十云一匕·,‘,,、.,~1 .11分称利用一十一十一-X yZ1一~一.,.石,既水小山_、:一、‘,。,1.,网迈十万得x十一十乙一b住,所以 1_八X十—一b乙 2.。”一b=>。一b去(p护。,。>0,b>o) 例2已知(11.2)a=1000,(0.0112)b=100。,则工…     

试题选登(选择题)

(选择题的正确答案可能不止一个) 1一在有固体Ca(OH)2存在的饱和溶液中存在如下溶解平衡: C。(OH):‘=二C二2令 ZOH一,欲使C.(OH):固体减少,可采取的措施_ .。加入固体C。Cl:,b.加入N。OH溶液,C。加入热摘水,d。加热,e。加入盐酸。 名。F。(OH),胶粒带有正电荷是因为_ a.在电场作用下F。(OH),胶粒能向阴极移动,b.F。’‘带正电荷,c.F。(OH)3带负电荷吸引阳离于,d.F。(OH):胶粒吸附阳离子。 3.胶体区别于其它分散系的本质特征是_ a、胶体箱粒带电,b.产生了丁达而现象,c.胶粒作布朗运动,d.胶粒不能穿过半透腹,c.分傲质徽粒的直径…     

数学分层优化设计(一)

一、填空题-1.平方等于本身的数是 Ar夯实基础测评】立方等于本身的数是倒数等于本身的数是相反数等于本身的数是绝对值等于本身的数是2.比较大小:障“①一旦一一7_二 吕>或一或<’’) ②(-2)礼孟二(一牙③2{二止2、33.最大的负整数是_4.若ha>O且a 吞相似文献   

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献