教科书上的一道错题

高中《数学》第三册(选修Ⅰ)第37页例2已知曲线y=31x3上一点P(2,83).求:(1)过点P的切线的斜率(2)过点P的切线方程该例题教材给出的解法是错误的,现摘录如下:错解:(1)y′=(31x3)′=x2∴y′|x=2=22=4即过点P的切线的斜率为4(2)根据直线方程的点斜式,过点P的切线方程为y-38=4(x-2)     

用待定系数法解二次曲线切线的有关问题

圆锥曲线切线的有关问题,一般都是从曲线上的切点来讨论的。求圆锥曲线的切线方程,总是先求出切点坐标,再求出其方程,本文想用待定系数法来解与二次曲线切线有关的问题,解法上的特色是并非一定先求出切点坐标. 例1 求分别过点(2,3~(1/2))与(0,1)的双曲线的切线方程。解设所求的切线方程为 Ax By=C(1) 由x~2-y~2=1 Ax By=C 得(B~2-A~2)x~2 2ACx-C~2-B~2=0 此方程有重根的条件是 A~2-B~2=C~2(2) 过点(2,3~(1/2))的切线方程,由(1)得     

每期一题

题:过点A(O,(10)~(1/2))向圆x~2+y~2=5引两条切线,求它们的方程。(统编数学高中第二册121页笫6题。解法一利用过圆上一点的切线方程如图,设过点A(0,(10)~(1/2))的直线一与圆x~2+y~2=5相切于F_1(x_1,y_1),根据过圆上一点求切线方程的公式(请参看统编数学高中第二册121页第5题),得圆的切线方程为x_1x+y_1y=5 ①     

圆锥曲线参数方程在解题中的应用

在平面解析几何中,有关圆锥曲线方程的一些应用题,解法是比较复杂的,为了避开繁琐的运算,可应用参数方程解题,把代数运算转化为三角运算。例1.设TT′是椭圆的任一切线介于长轴两端切线AT、A′T′间的线段,则以TT′为直径的圆必过焦点F、F′。证:设椭圆在直角坐标系中的参数方程为x=acosθ y=bsinθ,过椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)的切线方程为xcosθ/a+ysinθ/b=1; 因为长轴两端的切线方程为x~2-a~2=0     

一道课本例题的商榷

人民教育出版社中学数学室编著的《全日制普通高级中学教科书(试验修订本)》数学第三册(选修I)(2001年12月版)P64例2是:已知曲线3/3yx=上一点(2,8/3)P.求(1)过点P的切线斜率.(2)过点P的切线方程. 教科书中的解法是:221'33yxx=?, 22'24xy===,即过点P的切线斜率为4,从而由点斜式     

圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

一道习题的多种解法

高中《平面解析几何》全一册（必修）６４页练习中,有这样一道题“写出过圆ｘ２＋ ｙ２＝ １０上一点 Ｍ（２,６）的切线的方程’。本题解法较多,下面给出六种主要解法,供参考。 解法１：（利用课本６２ 而例 ３的结论解） 过圆上一点Ｍ（ ｘｏ,ｙｏ）的切线方程为ｘｏｘ＋ｙｏｙ＝ｒ２ 过（２,６）的切线方程为 解法２：（利用点到直线的距离公式解） 设过,的切线方程为,即ｋｘ 如果直线与圆相切,则原点到切线的距离等于圆的半径,则解得所求的切线方程 解法３：（利用两直线垂直的充要条件解） 又过Ｍ点的切线与ＯＭ垂直,则切线…     

抛物线的一类切线的参数方程及其应用

在解决与抛物线的切线有关的问题时,常取其普通方程为y~2=4ax,其参数方程取为 {x=at~2 y=2at (t为参数,t∈R),这时参数t的几何意义是y~2=4ax上与t对应的点的切线斜率的倒数。本文将在此前提条件下探讨过抛物线上的任一点的切线方程及其应用。一、过抛物线上的任一点的切线方程及其证明。定理设抛物线y~2=4ax的参数方程     

妙用“设而不求”策略解题

在解析几何中,涉及曲线与直线相交时所截得弦的长度的问题,常需设出两交点的坐标,借助由直线方程和曲线方程形式的一元二次方程,利用韦达定理解之.这是一种在高考中常用的解题策略,本文举例介绍此类题目的解法,供读者参考.例1 由圆 x~2 y~2=r~2外一点 P(x_0,y_0)向圆引切线,求两切点连线的方程.解:设过点 P 的两条切线与圆相切于两点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),则过这两点的切线为     

过三次函数图像上一点能作几条切线

例1过原点作三次函数y=x3的图像的切线,能作几条?写出其方程.解设切点为P(x0,y0),∵y’=3x2,∴以P为切点的切线的斜率k=3x20,切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=3x20x-3x30+y0=3x20x-2x30.由于切线过原点,∴0=3x20·0-2x30,∴x0=0,从而y0=0,k=0.     

切线只有一条吗?(高三)

1.问题高中新教材数学第三册114页谈到导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0),切线方程为: y-y0=f'(x0)(x-x0) (*)所以可利用导数求曲线的切线方程. 问题1 点P不在曲线上如何用导数方法求过点P的切线方程? 问题2 点P在曲线上,过点P作曲线的切线只有一条吗?即方程(*)惟一吗?     

每期一题

题:如图,椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线与两坐标轴分别交于A、B两点,求三角形OAB的最小面积。 (下面一些解法是解析几何极值问题的常用解题方法。) 解法一利用二次函数极值知识。设切点为(x_0,y_0)(x_0>C,y_0>0),则切线AB的方程为     

一道圆的例题的引申与探究

人教版试验教材数学第二册(上)§7.7,例2:已知圆的方程是x~2+y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。本例题求解方法很多(结果为x_0x+y_0y=r~2),在此不再赘述,下面从三个方面进行引申和探究,供赏析。引申一:若圆的方程是(x-a)~2+(y-b)~2=r~2,那么经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程还是x_0x+y_0y=r~2吗?下面我们来探求过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。方法一:用例2的方法(利用点斜式方程求解),可求得过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程为     

不求交点的技巧

题　求证　椭圆 x22 5 +y29=1和双曲线 x21 5 -y2 =1在交点处的切线互相垂直。学生往往先求出椭圆与双曲线的交点坐标 ,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程 ,进而由两切线斜率的乘积为 -1 ,得到切线互相垂直的结论。思路自然 ,但解题过程却比较繁琐。其实本题有如下简捷的解法。证明　设两曲线交点为 (x0 ,y0 ) ,则过交点的两曲线的切线方程为 :l1:9x0 x +2 5 y0 y =2 2 5 ,l2 :x0 x -1 5 y0 y =1 5 ,∴k1=-9x02 5 y0,k2 =x01 5 y0,k1k2 =-9x202 5× 1 5 y20①∵交点 (x0 ,y0 )在两曲线上 ,所以9x20 +2 5 y20 =2 2 5 ,x20 -1 5 y…     

导数应用的常见错误

一、混淆曲线y=f(x)在点P处的切线与过点P的切线例1已知曲线y=f(x)=(1/3)x~3上一点P(2,8/3),求过点P的切线方程。错解:f′(x)=x~2.设过点P的切线的斜率为k,则k=f′(2)=4.     

导数应用中的误区“三连发”

找准切点求切线例1求曲线(fx)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.错解由于原点在曲线上,所以原点为切点.而f′(x)=3x2-6x+2,所以f′(0)=2.所以y-0=2(x-0),即所求切线方程为y=2x.     

求过定点圆的切线方程的一个方法

[引例] 求经过点Q(1,-2)圆:(x 1)~2 (y-2)~2=4的切线方程。 [解1] 设所求切线方程为: y 2=K(x-1) 即Kx-y-2-K=0 ∵圆心(-1,2)到切线距离等于半径∴|-K-2-2-K|/(K~2 1)~(1/2)=2 化简得:K~2 4K 4=K~2 1 解得:K=-3/4 ∴3x 4y 5=0为所求。如图一中l_1。但易知点Q在圆外,应有两条切线。故上述解法丢了一解。而且,不难发现,其它求斜率的方法都会产生丢解的情况。此时,当然可以借助图形(图一)知另一     

求曲线切线时的一点注意

曲线y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线在该点的切线的斜率,本文对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析.已知曲线C:y=2x-x3,求过点A(1,1)的切线方程.(2005年全国高考卷Ⅲ文科15题改编)误解:显然点A(1,1)在曲线C:y=2x-x3上,f′(x)=2-3x2∴f′(1)=-1∴过点(1,1)的切线方程为:y-1=-1(x-1),即y=-x 2解析:由于点A(1,1)恰好在曲线y=f(x)上,因此容易得到一条切线方程,即以点A为切点的切线.但本题求的是“经过点A的切线”,而不是“在点A处的切线”,因而不排除有其他切线经过A.因此本题切线应有两条,一条以点A为切点,另一条不以点A为切点但…     

求圆的切线面面观(高二)

题求过点A(0斌而)的圆扩十犷~5的切线方程. 解法1用过团上一点的切线方程 设过点A(0扩而)的直线与圆扩 了一5相切于点尸:(x;,y,). 过圆上一点的切线方程为 xlx yly~5.①因为切线过点A(0扩1万),所以才 丈-一工.厂币. 2,一 1一 2丫一’{一音厕,一告厕·JI之,|L 得 ③ ② 由所以又 _1厂;万y‘一万v上u·②P,(xl,y,)在圆上,代入①即得所求圆的切线方程为 x y一丫而一。和x一y十护丽一。 解法2用勾股定理 设所求切线与圆相切于点尸,(x,,y,),圆心为点C因为圆方程为扩 少一5,所以圆心的坐标C(0,0).连结AC、CP;,则CP:土AP,.由勾股定理,得CP:…     

谈过任一点作三次曲线切线的条数问题

2007年全国卷(Ⅱ)第22题:已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的3条切线,证明:-a相似文献