有序思考

今关在做数学作业时我碰到了这样一道思考题,题目是这样的:一个长方形里有6个点,连同长方形的4个顶点在内,一共有10个点.这10个点中任意3个点都不在同一条直线上.以这10个点为顶点,最多可以连出多少个互不重叠的三角形?我在纸上画了图,可是因为可以连出的三角形太多了,数也数不清,心想:平时老师不是说要画图帮助解题吗?可是这道题画出的点越多,越不容易数,怎么办呢?这时妈妈正好走     

钉板中的等腰三角形

问题　在 3× 3的钉板上 (如图 1所示 ,上、下、左、右相邻的两个钉子的距离为 1 ) ,用一根橡皮筋可以勾出几个位置不同的等腰三角形 ?在纸上先画一画 ,你会发现符合条件的等腰三角形有很多 .怎样得到正确的答案呢 ?　　　　 　 　 为了不重不漏地数出这些等腰三角形的个数 ,自然想到将这些三角形分类 .因为每个等腰三角形只有一个顶角 (等边三角形除外 ,由钉板的特点知 ,钉板中的点恰好不能构成等边三角形的顶点 ) ,故可根据它们顶角的顶点位置将这些等腰三角形分类 :一类是其顶角的顶点在钉板的 4个角的点上 ,一类是其顶角的顶点在 4边…     

"五点共圆"引出的话题--中国科学院院士张景中访谈录

■2000年12月20日,江泽民总书记在出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动期间,即兴给濠江中学的师生出了一道几何推理题:任意画一个五角星(不一定是正五角星),再作出这个五角星的五个角上的三角形的外接圆,这5个圆除了在五角星上的那5个交点外,在五角星外面还有另5个交点.求证:后5个交点在同一圆上.     

一个有趣的三角形纸片问题

三角形是多边形中最简单的图形．一个三角形纸片用剪刀可以剪成任意多个小的三角形纸片．如果在一个三角形纸片上任意撒入n个点（这n个点中没有两个点重合,任何点也不在纸片的边界上）,然后把这个三角形纸片任意剪成一些小的三角形纸片,使得每个小的三角形纸片的顶点是上述n个点或三角形纸片顶点中的某三个点,试问用剪刀最多能将这个三角形纸片剪成多少个小的三角形纸片？     

怎样学好几何证明(三)——例谈基本图形法

本文讲的“基本图形”是指反映几何概念和定理的图形.在初一、二年级时,我们已探索出三角形及特殊三角形的(如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等……)许多性质,这些性质,都通过基本图形来反映的.如图1,表示等腰三角形的三线合一;图2,表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及“30°锐角所对的直角边是斜边的一半”的特性;如图3,表示三角形中位线性质.基本图形在解题、证题中主要作用有两个方面:一是从基本图形入手能较为顺利地找到解题、证题的途径.二是帮助我们很好地找到需要添加的辅助线.实际上,几何题中的辅助线的添加,往往是…     

例说函数综合题的五类常见题型

<正>函数综合题一直是中考数学的难点,也是学生普遍感到棘手的问题.本文以各地中考试题为例,介绍五类常见的题型,以供同学们参考.一、"一垂两转"、"一转两垂"型"已知两点,在一图形上确定第三点,使以这三点为顶点的三角形为等腰三角形",这     

浅谈几何画板

几何画板有其独特、方便和准确的表现方式,因为几何画板可以在图形运动中保持几何关系.用几何画板的画点/画线工具画出一个三角形后,再用鼠标指针任意地拖动三角形的顶点和边,就可以得到各种形状的三角形.老师这时就可以说:"这是任意三角形".而制作一个"任意三角形三中线交于一点"的演示软件,只要两分钟的时间就足够了.软件的制作不仅十分方便快捷,而且完全可以由数学教师和学生自己动手来做,不必计算机专业人员参与.     

2012中国西部数学奥林匹克

第一天1.求最小的正整数m,使得对于任意大于3的质数p,都有105|(9~p~2-29~p+m).(杨虎供题)2.证明:在正2n-1(n≥3)边形的顶点中,任意取出n个点,其中必有三个点,以它们为顶点的三角形为等腰三角形.     

当学生挑战“权威”时——以“认识图形”一课教学为例

教学案例: 教学"认识图形"时,为了突破教学难点,我设计了一道练习题:"在一个正方形里剪去一个角,剩下的图形是几边形?在下图中画出不同的剪法." 我预设学生的答案为五边形、四边形、三角形.如下图: 课堂上,学生很容易得出这三种剪法,教学似乎很顺利.正当我要出示下一道题时,一学生举手说道:"老师,我还有一种方法."我不置可否地将他画的图用屏幕展示(如右图),看到图形,其他学生纷纷说道:"不对,不对!不能这样剪!"     

学生究竟学会了什么？——一则案例的启示

寒假里 ,一位朋友的女儿说有几道题目要问我 ,她在某市的一所重点高中读高一 ,数学成绩一直都不错 .她给我的其中一道题目是这样的 :题 1　一个三角形纸片内有 99个点 ,连同三角形的顶点共 10 2个点无三点在同一直线上 ,若以这些点为三角形顶点 ,把这三角形纸片剪成小三角形 ,问这样的三角形共有几个 ?无论我怎么暗示 ,她就是无法从长时记忆中提取与此题相关的信息 ,解题失败 .我为了探究该学生头脑中已有的数学认知结构 ,将题目作了如下变换 :题 2　己知等差数列 { an}中 ,a3 =1,a4=3,求 a1 0 2 .我发现她能很快地运用等差数列的相关知识解…     

一道竞赛题的简证及推广

题目:平面上给定五点A、B、C、D、E,其中任何三点不在一直线上.试证:任意地用线段连结某些点(这些线段称为边),若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形,则这个图形不可能有7条或更多条边。     

等腰三角形补法的一种思路

我们知道,等腰三角形底边上的任一点与顶点的连线,把等腰三角形分成两个三角形.这两个三角形具有两个特征:一是有一组角相等,二是有一组角互补.在证题时,我们     

生活中的轴对称

A组1.下列哪些图形是轴对称图形 ?画出对称轴来 .(第 1题 )2 .已知等腰三角形的一个角等于 70°,则另外两个角分别等于 .3.已知 :如图 ,∠ O =4 0°,CD为 OA的垂直平分线 ,则∠ ACB的度数为 .(第 3题 ) (第 4题 )4 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ C =90°,AD平分∠ BAC,BC =10 cm ,BD =6 cm ,则 D点到 AB的距离为 .5.下列 4种图形中 ,(　　 )不一定是轴对称图形 .( A)线段 .　　　　 ( B)角 .( C)直角三角形 .　 ( D )等腰三角形 .6 .等腰三角形是轴对称图形 ,它的对称轴是(　　 )( A)过顶点的直线 .　 ( B)底边上的高 .( C)过顶点的线…     

用探索法教等腰三角形性质定理

一、帮助学生做好探索新知的准备1.判断两个三角形全等的方法有哪些 ?2 .请画一个△ ABC,研究如何添加辅助线 ,才能把它切割成两个三角形 ?3.什么叫等腰三角形 ?什么是腰、底、顶点、底角、顶角平分线、底边上的高和中线 ?二、组织探索活动1.用直尺、圆规任意作几个等腰三角形。2 .观察这些等腰三角形 ,猜测两个底角之间的关系 (相等 ) ,并设法进行验证 (度量比较或重合比较 )。3.从上面的观察实验中 ,对于任意的等腰三角形你能得出什么样的结论 ?(等腰三角形的两个底角相等 )三、探索证明思路、方法已知 :△ ABC中 ,AB=AC。求证 :∠ B…     

什么样的三角形可以分成两个等腰三角形

华师大版数学教材七年级(下)第86页习题8.3第5题“有两个三角形,它们的内角分别为:(1)20°,40°,120°;(2)20°,60°,100°,怎样把每个三角形分成两个等腰三角形?画出图形,试试看.”将此题从特殊推广到一般,可变为:?ABC满足什么条件时,可以分成两个等腰三角形?若一个三角形可以     

关于数列教学的一些思考

一名高一学生曾问我这样一道题:题一:一个三角形纸片内有99个点,连同三角形的顶点102个点无三点在同一直线,若以这些点为三角形顶点,把这三角形纸片剪成小三角形,问这样的三角形共有几个?无论我怎么暗示,他就是无法从长时记忆中提取与此题相关的信息,结果解题失败。为了探究他已有的数学认知结构,我将题目作了如下变换:题二:已知等差数列｛an｝中,a3=1,a4=3,求a102.我发现他能很快地运用等差数列的相关知识解出a102=199,说明他在求等差数列的通项公式不存在任何问题。我随即问他对“题一”现在有没有解题思路?遗憾的是他还是很迷惘,并说:我…     

对初中现行统编几何课本中几个几何定义的探讨

一、形与数不能混淆对初学几何的学生来说,容易发生形与数混淆的现象。例如:有的学生把“画出两点间的线段”说成“画出两点间的距离”。他们把线段和距离看作一回事,不理解距离不是图形,而是连结两点间线段的长度。长度只能量出或测出,不是画出的;画出的只能是点、线、角…之类的图形。我们知道,三角形的高的定义是:“三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线叫做三角形的高。”这里的垂线段是图形,也就是说三角形的高是具有条件的线段。那么,梯形的高、弓形的高、平行四边形的高、弦心距等等,应不应该也是具有某种条件的线段呢?我认为应该是。可是按课本中的定义却不是。     

一道数学竞赛题的推广

第四次江苏省初中数学竞赛题六:平面上给定五点A,B,C,D,E,其中任何三点不在一直线上(如图),求证:任意地用线段连结某些点(这些线段称为边),若所得的图形中不出现以这五个点中的任何三个点为顶点的三角形,则这个图形不可能有7条边或更多的边。证明:只需考虑点A与其它点相连的情况,其余点与此类似。若与A相连的点有4个,则其它点均不得相连,否则将会产生三角形,此     

结合几何 学以致用——从2005年高考看排列组合与概率在几何中的应用

2005年《考试说明》中强调能力立意,在知识的交汇点命题,充分运用知识之间的交叉、渗透,“一题多点”尤为突出.从2005年全国16套高考数学试题看,排列、组合和概率与几何的结合较多,下面就这类题的解题方法加以说明.一、在平面几何中的应用【例1】[2005年天津卷(文)]在三角形的每条边上各取三个分点(如图1),以这9个分点为顶点可画出若干个三角形,若从中任意抽取一个三角形,则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为(用数字作答).解析:因为每个三角形需三个不共线的点组成,先求从9个点中任取三个点的组合,共有C39个.又因为由三点…     

一道有趣的思考题

画一个正方形,取它的四个顶点,四条边的中点和正方形的中心点,任意连接其中三点共能得到多少个等腰三角形?任意连接其中两点共能得到多少个正方形、长方形和平行四边形? 这是一道有趣的思考题,它既可巩固等腰三角形、正方形、长方形和平行四边形的概念,又能培养学生的观察能力和空间想象能力。