微元法求旋转体体积的几何研究

运用定积分中的微元法可以求旋转体的体积,一般教材都给出了平面图形绕坐标轴或者平行于坐标轴的直线旋转得到的几何体体积.本文从几何直观去刻画该方法,给出了平面图形绕斜直线旋转所得旋转体的体积计算公式,对定积分的几何应用做了推广.     

旋转体体积的另一个公式的应用

利用形成旋转体的旋转面的重心到旋转轴的距离和旋转面的面积，就可以得到旋转体的体积，这个方法与高中立体几何教课书上的旋转体体积公式配合起来，还可以用来确定某些平面图形的重心位置，有一定的应用价值。     

认识图形从这里开始

看一看周围的世界各种物体、各种平面和曲线，它们都是几何中所说的点、线、面、体。在《图形的初步认识》这一章我们认识了直线、射线、线段，认识了角，了解了平面图形与立体图形的简单关系，为进一步认识图形、几何体做了准备。     

《几何图形初步》考点透视

学习几何图形与实物的关系,要注重对它们概念的掌握和性质的理解.将几何体表面展开或旋转,从不同的方向看几何体,是借助平面图形认识几何体的几种手段.下面对相关知识点进行剖析.考点1:对图形的认识把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.点、线、面、体是图形的基本要素.有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形.长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥     

用二重积分求旋转体的体积

在微积分中,平面图形绕x轴或y轴旋转所成旋转体的体积用定积分计算已经解决,对于平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积如果仍用定积分计算则比较复杂.通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法,进而得出一般积分公式.     

“平移和旋转”教学设计

一、教学内容 人教版小学数学二年级下册第三单元41～42页的内容. 二、课标要求 经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程,了解一些简单几何体和常见的平面图形;结合实例感受平移、旋转现象;能辨认简单图形平移后的图形. 三、教材分析 "平移和旋转"是二年级下册第三单元"图形与变换"第二课时的内容.平移的教学(例1),教科书提供了三个生活中的例子:建筑工地上的升降机、观光缆车和推拉窗,以帮助学生建立平移的表象.通过在方格纸上向不同方向平移的小房子,来画出简单的几何图形平移,使学生了解平移的两个参量:移动的方向、移动的距离.通过向上平移5格和向右平移7格的示例,使学生了解向哪个方向平移多少格的意思.这部分对学生来说是一个难点,尤其是教科书中提供的小房子图形比较复杂,学生理解起来十分困难.     

平面法向量在简单几何体教学中的应用

根据现行高中数学中简单几何体部分有关线与线、线与面、面与面的关系的内容,举例说明平面法向量在 解决简单几何体问题时的应用.     

例析与立体几何图形相关的考点

几何体的平面展开图或三视图(从不同方向看几何体所得到的平面图形),是借助平面图形认识几何体的两种方法.下面对相关考点进行例析.考点1:对图形的认识把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.点、线、面、体是图形的基本要素.有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形.有些几何图形的各部分不都在同一平面     

图形与几何

复习目标 1．经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形；感受平移、旋转、轴对称现象；认识物体的相对位置。掌握初步的测量、识图和画图的技能。     

闭折线“可中心对称化”问题初探

定义 1　对图形Ｇ ,若同一平面上存在点Ｏ ,使得将平面绕Ｏ旋转 1 80°时 ,Ｇ与自身完全重合 ,则Ｇ称为中心对称图形 ,Ｏ称为对称中心 ,上述旋转中重合的两点 ,称为对称点 .那么显然有 :(1 )封闭中心对称图形上对称点的连线 ,必过对称中心 ,且被其平分 ;(2 )封闭中心对称图形恰有一个对称中心 .定理 1　有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形 ,必有对称中心 (两轴交点 ) ;反之 ,有对称中心和一条过中心的对称轴的图形 ,必有过中心且垂直于此轴的另一条对称轴 .(证略 )定理 2　中心对称闭折线的对称边或自相对称(为同一边 ) ,或为平行且相等的…     

旋转体不同面上两点最短联线

本刊1989年11期余秉辉同志关于《几何体表面两点的最短联线》一文,在(二)中存在一些错误,其中有求最短联线的错误结论。当两点分别在旋转体的侧面与底面上时,不能利用在平面图形中,直线段AB是A,B两点的最短联线这一结论。对于旋转体,相邻两曲面的交线是曲线,通过曲线C上某点P,有唯一的切平面,切平面上通过P的所有直线都是过P点的切线,因此m_1m_2应定义为B点所在平面与切平面的交线。图三的右图亦是错误的,在圆柱侧面上,通过点P只有唯一的直线,此直线为母线,当BP不通过上底面圆心时,根本不存在∠APM_1,更不用说和∠BPM_2相等。正确的画法如右图。     

截一个几何体要“四会”

几何体的截面把"面"和"体"联系起来,使同学们在面与体的转换巾丰富数学活动经验,有助于同学们发展空间观念,大家在平时的学习中要注意做到以下四个方面.一、会识别平面截几何体所得的平面图形例1如图1,一个垂直于圆锥底面的平面经过圆锥的顶点截圆锥所得的截面形状是().     

截面

一个平面与几何体的各面相交,由交线围成的平面图形叫几何体的截面。打个比方说,就是用刀将几何体“切”成两部分,“切口”就是这个截面。 截面对研究几何体有着重要作用。如平行于底面的截面,过高线的截面,过侧棱的截面,过锥体顶点的截面,旋转体的轴截面等。这些截面都是常用的截面,它们集中反映了几何体的元素间的位置关系和数最关系。作出和研究这些截面,是立体几何解题,把空间问题转化为平面几何问题的重要途径。 对于一般的截面,主要讨论如下三个问题,一是满足某些条件的截面的作法,二是截面形状的判定与面     

立体几何中的展开翻折问题探究

<正>立体几何中的最值问题常常需要将几何体或旋转体展开成平面图形(空间问题平面化),利用平面几何的知识来解决.或者将平面图形折叠成立体图形,求解立体图形中的空间角、证明位置关系问题等.这类问题是考查学生空间想象能力与逻辑思维能力的好题,也是高考的热点.对于这类问题,要结合多面体或旋转体的定义和结构特征,发挥自己的空间想象能力,必要时还可制作平面展开图进行操作实践.在数学教学中要多渠道、     

回转体表面点的求法

在基本几何体的投影学习过程中，同学们了解到，基本几何体是表面由若干个面构成的，表面均由平面构成的形体称为平面立体，表面由曲面或平面与曲面构成的形体称为曲面立体。由于曲面立体的形成特点，它又被称为回转体，常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。空间基本几何体作图是非常重要的，那么，在其表面上点的投影的求法也是这一部分必须要掌握的。首先，先看圆柱体表面上点的求法。由于通常将空间圆柱体摆于特殊位置，即圆柱的轴线垂直于H面，那么，与轴线平行的母线AA绕轴线旋转一周所形成的圆柱曲面，在H面上的投影具有积聚性(见…     

平面图形绕斜轴旋转所成旋转体的体积与侧面积

在高等数学中,平面图形绕x轴或y轴旋转所成旋转体的体积和侧面积的计算早已解决,本文利用元素法去推导平面图形绕斜轴旋转所成旋转体的体积和侧面积的一个普遍适用的公式。     

用定积分计算旋转体体积的教学探讨

讨论平面图形绕不同坐标轴旋转所形成旋转体的体积问题,给出了一组计算公式,不仅对定积分的应用进行了推广,而且对于认识各类旋转体,计算旋转体的体积都有很大的帮助.     

旋转体容球的一个有趣共性再探究

<正>1."‘柱-缺’型组合旋转体容球"的情况若圆柱与球缺具有全等的底面,将它们底面相叠而组合的"柱-缺"型几何体可以看成如图1所示图形ABCD绕边AD所在的直线旋转得到的旋转体,而图形ABCD的内切半圆O绕边AD所在的直线旋转得到的旋转体即为以上的"柱-缺"型旋转体的内切球.故我们不难得到如下性质:性质1:如图1所示,设图形ABCD含有半径为R内切半圆O,其中四边形OBCD是边长为R的正方形,由图形ABCD绕边     

专题九 直线、平面、简单几何体

考点题例考试大纲规定的“直线、平面、简单几何体”一章的考点如下:平面及其基本性质;平面图形直观图的画法;平行直线;直线和平面平行的判定与性质;直线和平面垂直的判定;三垂线定理及其逆定理;两个平面的位置关系;空间向量及其加法、减法与数乘;空间向量的坐标表示;空间向量的数量积;直线的方向向量;异面直线所成的角;异面直线的公垂线;异面直线的距离;直线和平面垂直的性质;平面的法向量;点到     

高考立体几何总复习指导

一、明确高考考试内容和要求.立体几何分成“直线和平面”、“多面体和旋转体”两章,国家教委考试中心颁发的《考试说明》中对考试的内容和要求都做了明确的规定.1.对于“直线和平面”一章考试内容:平面、平面的基本性质.平面图形直观图的画法.两条直线的位置关系.平行于同一直线的两条直线互相平行.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.两条异面直线互相垂直的概念.异面直线的公垂线和距离.直线和平面的位置关系.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.