平行于台、锥体底面的截面问题(高二)

在立体几何第二章多面体和旋转体的学习中,经常会遇到平行于锥体、台体底面的截面问题,做这类题目的基本方法是用比例. 例1 设棱台上、下底面积分别为S1、S2,一平行于底面的截面至上而卞分棱台的高的比为m:n求截面面积S. 解法1 把棱台补成棱锥.     

台体定比分割截面问题

一般文献对台体平行于底面的截面的研究,主要是中截面(平分它的高)和平分侧面的截面.本文作一般的研究. 定理设台体上、下底面和平行于底的截面S、X和J的面积分别为△S、△X和△J,J     

台体中截面面积公式推广

高中《立体几何》第 64页例 2“设棱台的两底面 积分别为 S1, S2,它的中截面积是 S0.求证 2 ”中给出了台体中截面面积公式,但用它求平行于台体底面任意截面的面积就比较困难了 .为了便于解决这类问题,本人对台体中截面面积公式作如下推广 . 如图 (1),若台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行,把侧棱 (母线或高 )自上而下分为 m∶ n的两段的截面面积为 S0,则 . 证明：∵ = 即 ∴ 若再令,则上述结论可变为 .于是有以下定理 . 定理 1台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行的平面,…     

台体截面的三条一般性质

本文推广[1]的三个结论.沿用[1]的记号,设台体上、下底面和截面(平行于两底的)面积分别Δ_s,Δ_x和Δ_J,则:当截面分台体的某量上下之比为λ∈R_+时,有     

应用锥台体侧面积和底面积关系快速计算

1.锥体 若圆锥的母线与底面所成的角为θ,则侧面积与底面积的关系是:S_底=S_侧·COSθ①显然对于各侧面与底面所成角相等的棱锥,此公式也成立S_底=S_侧·COSθ(θ为侧面与底面所成角的平面角).2.台体 若圆台上、下底面及侧面面积分别为S_上、S_下、S_侧,母线与底面所成的角为θ.则有:S_侧·COSθ=S_下—S _上 ②不难证明,对于各侧面与底面所成的角相等的棱台,公式②也成立,此时θ为侧面与底面所成的角.应用以上两种关系式能够快速、简便地解决锥体与台体中一些侧面积与底面积的有关题目,现举例如下:     

关于台体截面的一个猜想

如所周知 ,台体平行于两底的截面 .有良好的性质 :设其上、下底面和截面的面积分别为△S,△ X 和△J,则(1)当截面为中截面 (即平分其高、母线、侧棱 )时 :△J12 =△ S12 △ X122 .(2 )当截面平分侧面积时 :△J=△S △ X2 .于是自然猜想 :(3 )当截面平分其体积时 :△J32 =△S32 △ X322 .对 (3 )可证明如下 :若台体为圆台 ,设上、下截面半径分别为rS,rX 和rJ;分成的上、下两台体的高和体积分别为h1 ,h2 和V1 ,V2 ,则V1 =π3 h1 (r2 S rSrJ r2 J) ,V2 =π3 h2 (r2 J rJrX r2 X) .易见 h1 h2=rJ-rSrX-rJ,由V1 =V2 即知r3J-r3S=…     

一道课本例题引出的台体截面的几个有趣性质及应用

高中课本《立体几何》第64页例2:设棱台两底面积分别是 S,S~1.,它的中截面的面积是 S_0.求证:2(S_0(1/2))=S(1/2) S~1(1/2),这个结论对圆台也是成立的.我们仔细探究本题条件的变化,使中截面的位置发生改变,深入挖掘本例题的潜在功能,可得出台体截面的几个有趣性质.设台体上、下底面积分别为 S~1、S,与两底面平行的     

教材分析研究一得——立体几何中“定比分点”公式应用

类似地,可以得到圆台中截面面积公式。命题４、如果圆锥的下底面积为Ｓ,平行于底面的截面自上面下分高为ｍ∶ｎ,它的截面积为Ｓ０,那么类似地,可以得到圆锥的中截面面积公式。下面举例说明它们的应用。例１．把一个棱台的高三等分,过各个分点作平行于底面的截面,已知棱台的两个底面面积分别等于ε和Ｑ,求各个截面的面积。解：如下图所示,将棱台补成截成这个棱台的原棱锥,依题意,对于Ｍ平面,有ｍ∶ｎ＝１∶２例２．圆台的两个底面面积分别是１ｃｍ２ 和４９ｃｍ２,一个截面平行于圆台的底面,它的面积是２５ｃｍ２,求这个截面…     

立体几何中的一类定比截分——位置与效果之数量关系

立体几何中所研究的柱体、锥体、台体,常常被平行于底面的平面截分为上、下两部分(我们称之为水平截分),又常有这样的几种定比截分,即:①上、下两部分的高成定比人_1(定比截分高线);②上、下两部分的侧面积成定比八_2(定比截分侧面积);③上、下两部分的体积成定比八_3(定比截分体积)。对于这样的三种定比截分,它们的截面位置与截分效果(定比)之间的关系是怎样的呢?现行高中教材中仅指出了截面与底面全等(柱体)或相似(锥体,台体),就特殊情况(锥体、台体的中截面)给出了数量关系,但尚未给出一般性结论,本文仅此加以充实。     

台体定比分割截面问题

一般文献对台体平行于底面的截面的研究,主要是中截面(平分它的高)和平分侧面截面.本文作一般的研究.     

平行于底的截面的性质

《高中数学教材补充题》(浙江人民出版社1981年11月1版)第二册第207页有这样一道习题：棱台上、下底面面积分别为A、B,过高的三等分点作平行于底的截面,求所得两截面的面积。     

立体几何复习提要(二) 多面体和旋转体

一、多面体。棱柱、棱锥和棱台的定义、性质、侧面积和体积,可归纳如下表。名称棱棱l刹esj习we侧eswel!11两个面互相平行,其余{各角体各面都是平行四边形,并且每相邻两个公共边都互相平 一个而是多边形,其面是有一个公共顶点的形,由这些面围成的几 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部份。 行,由这些面所围成的几何义体。 …侧棱都相等,,”面是平}被平行于底面的平面所{正‘“两底面及平行, 、{行四边形,两底面与平行于{截,截面与底面相似,它们}底面的截面是相似的正多边 二七一}1 {’霞面的截面是全等的多边1面积的比等…     

梯形中位线定理的再推广

本刊86年第4期在《梯形中位线定理的推广及其应用》一文中,把梯形中位线定理推广到棱台,并给出下列定理: 定理设棱台上、下底面积分别为S′、S,与底平行的截面面积为S_0,截面分棱台     

棱台平行于底面的截面的性质

棱台平行于底面的截面的性质西安市第六中学周益平设棱台的上、下底面面积分别是Ｓ、Ｓ；平行于底面的截面面积是Ｓ０，它分棱台侧面成上、下两部分的面积分别是Ｓ上、Ｓ下，分棱台所成上、下两个小棱台的体积分别是Ｖ上、Ｖ下，分棱台的高从上到下两段之比是λ，那么有...     

立体几何中的一个“定比分点”公式

立体几何课本棱台一节中有这样一个结论：设棱台的两底面面积分别是Ｓ、Ｓ′,它的中截面面积是Ｓ０,则有２Ｓ０＝Ｓ＋Ｓ′．此结论使人容易联想到解析几何中的中点坐标公式,笔者通过研究得到如下结论：设棱台的上底面积是Ｓ１,下底面积是Ｓ２,一平行于底面的截面面积...     

等距平行平面截台体的一个结论

过台体的高的n(n≥2)个等分点作平行于底面的截面,分台体为几个几何体,对这几个几何体 的体积的关系给出了一个结论。作为特例,对柱体、锥体等导出了相应的结论。     

拟柱体体积公的又一推证

所有的立体几何教材和参考书都用单一的方法去推证拟柱体体积公式 V_拟=1/6h(S_上 S_下 4S_中)这种推证方法不易为学生理解和掌握,笔者这里给出一种新方法,不需借助几何直观,便可简捷地推证出拟柱体体积公式,供同学们参考。根据拟柱体的定义,任一拟柱体都可看作是过某棱台的若干顶点截去m(m≥0)个倒立小棱锥与n(n≥0)个正立小棱锥后下余的凸多面体。当m=n=0时,就是原棱台,即棱台是特殊的拟柱体。设原棱台的高为h,上底面、下底面、中截面面积分别为S_1、S_2、S_0;拟柱体的上底面、下底面、中     

从一道立儿题的解答谈起

高中立儿课本(甲种本)第146页上有如下一道复习参考题: 圆柱的底面半径是10cm,高是15cm,平行于轴的截面在底上截得的弦等于底面半径。求圆柱被截去部分的体积。教学参考书中提出的解法是:先求出底     

台体体积的另证及其应用价值

补割思想是解决立体几何问题的常用方法和技巧.教材通过把台体“补”成锥体,利用锥体的体积公式成功地导出台体的体积公式.下文通过将三棱台“割”为三棱锥,对台体体积的导出作些探索,并展示这种探索所带来的应用价值.题目:三棱台 ABC-A_1B_1C_1的上底面A_1B_1C_1面积为 S~1,下底面 ABC 的面积为 S,高     

台体中平行于底面的截面性质

台体中平行于底面的截面问题.是立几教学中的一个难点,又是高考的一个重要内容.本文较系统地总结出解决此类向题的一般方法.性质1 圆台的上、下底面半径分别为r.R,平行于底面的截面分圆台的体积自上而下两部分的比为m∶n,