关于函数单调性的等价定义及其应用

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质,新教材全日制普通高级中学(试验修订本必修)(数学)对函数的单调性定义如下: 一般地,设函数f(x)的定义域为I。如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x_1,x_2,当x_1相似文献   

如何判断函数的单调性

函数的单调性是函数的一个重要性质,学会判断函数的单调性对学生来说尤为重要。函数单调性的定义是我们判断函数单调性的主要依据。一、判断函数单调性的几种方法1.定义法:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x_1,x_2,当x_1x_2时,都有f(x_1)>f(x_2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。     

用研究性学习模式探究定义

定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x,,x:,当x,f(x:)),那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数). 一、定义剖析 设区间A二I,把定义分解为三块: 1 .x,f(x:)); 3.f(x)在区间A上是增函数(或减函数)‘ 二、结论挖掘 )冷2;}冷1;3】3} 八O 冷..工O︸︼ 由三、结论应用(一)二补3 【例1]判断f(x)一石在区间(0,十二)上的单调性. 解:设o相似文献   

教材原题演变出的六道函数高考题

教材原题（人教A版高中数学教材必修1第45页第6题）（1）已知奇函数f（x）在[a,b]上是减函数,试问：它在[-b,-a]上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数g（x）在[a,b]上是增函数,试问：它在[-b,-a]上是增函数还是减函数？解答过程（1）函数f（x）在[-b,-a]上是减函数.设-b≤x1-x2≥a.     

利用函数特征解题例说

函数部分有一类比较抽象的习题，它给定函数f(x）的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或者方程，学生很感棘手．其实这些题目的设计，一般都有一个基本函数做模特，如能正确分析估猜这个模特函数，联想这个函数的其它性质来思考解题方法，那么这类难题就可转化为简易问题来处理．倒1设f(x）是定义在（0, ∞)上的增函数，且f三=f（x）-f（y）．（1）求证f（1）＝O;（2）求不等式f（x＋1）-f()≤f(7）的解集;（3）求证f(x~n）=nf(x).我们先看该题的解题过程：等价于又∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数。解之，…     

一个十分有用的结论——函数的导数与函数图象凹凸性的关系

一、结论关于函数导数的正负与函数的单调性的关系,有如下结论：设函数y=f（x）在某区间内可导,如果f’（x）〉0,则f（x）为增函数;如果f’（x）〈0,则f（x）为减函数;如果恒有f’（x）=0,则f（x）为常值函数．     

初等函数不等式的一种解法

我们把f（x）＜0（或）称为函数不等式。本文中出现的函数f（X）都是指初等函数。初等函数不等式的解法很多．下面我们介绍一种新的解法——零点法。由于初等函数的连续性．我们很容易得到：命题1函数f（x）在其定义域内的某区间（a．b）上,对任意x都有f（x）一0．那么,在区间（a．b）上二对任意x都有f（X）＜0或f（X）＞人函数f（X）在其定义域内有fi个零点．设为：XI．XZ,……Xu。把定义战用这些零点划分成X个连续的小区间．记为：UI．U…··Un。称为定义域的一个分划。那么,命题1就是说,在每个小区间上,对任意的X都有f（）…     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

高中数学解答有关试题的几种策略

一、应用定义法例1如果奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f（x）在区间[-7,-3]上是（ ） A．增函数且最小值为-5 B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5 D．减函数且最大值为-5     

判断函数单调性四法

一、定义法设x1,x2是函数f(x)定义域上的任意两个数,且x1f(x2),则此函数为减函数. 例1 (2001年春季高考题)设函数f(x)=x+a/x+b(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.     

V型函数在闭区间上的最大值只可能在端点取到

<正>定义1设函数f(x)(x∈I,I是区间),a∈I,区间I_-={x|x∈I且x≤a},I_+={x|x∈I且x≥a}.(1)若f(x)在I_-,I_+上分别是减函数、增函数,则称f(x)是V型函数(也叫做单谷函数);(2)若f(x)在I_-,I_+上分别是增函数、减函数,则称f(x)是Λ型函数(也叫做单峰函数);(3)把单谷函数和单峰函数统称为单极函数(显然,单极函数有唯一的极值点).     

巧取特殊值判断函数的奇偶性

例１已知函数f（x），当x、yR时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．试判断函数f（x）的奇偶性．解析令x＝y＝０得f（０）＝f（０）＋f（０），即f（０）＝０；令y＝－x得f（x）＋f（－x）＝f（０）＝０，即f（－x）＝－f（x）．故函数f（x）是奇函数．例２判断函数y＝１＋sinx－cosx１＋sinx＋cosx的奇偶性．解析当x＝π２时，y＝１；当x＝－π２时，y不存在．故所给函数的定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶函数．注若函数的定义域关于原点不对称，则该函数不具有奇偶性．例３设函数f（x）＝x２＋｜x－２｜－１，xR，试判断函数f（…     

数学奥林匹克高中训练题（13）

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.给出下列命题: (1)若f(x)、g(x)在区间I上都是增函数,则f(g(x))在I上是增函数; (2)若f(x)、g(x)在区间I上都是减函数,则f(g(x))在I上是减函数; (3)若f(x)在区间I上是增函数,g(x)在区间I上是减函数,则f(g(x))在I上是增函数; (4)若f(x)在区间I上是增函数,g(x)在区间I上是减函数,则f(g(x))在I上是减函数. 其中,正确命题的个数为( ).     

例谈函数思想在解方程中的应用

方程与函数是一对具有密切联系的数学概念，一些方程用常规解法受阻时，可通过构造函数，运用函数思想加以解决，下面举例说明．■１．利用函数的定义域解方程．犤例１犦解方程４２x－３√＋４３－２x√＝｜x－３２｜．分析：本题若采用乘方去根号的方法，会觉得束手无策．通过构造函数，利用函数的定义域，可迅速找到解决问题的钥匙．：构造函数f（x）＝４２x－３＋４３－２x，g（x）＝｜x－３｜，因为函数f（x）的解：构造函数f（x）＝４２x－３√＋４３－２x√，g（x）＝｜x－３２｜，因为函数f（x）的定义域为狖x｜x＝３２狚，而当x＝３…     

函数思想与解题

应用函数的有关知识和思想解题，反映了这一种解题思路策略：将静止的问题放到动态过程去考察；将局部的问题置于全局上去解决。一、一次函数与解题例１已知｜a｜＜１，｜b｜＜１，求a＋b１＋ab＜１．犤分析犦引进一次函数f（x）＝x＋（a＋b）１＋ab（由１＋ab＞０，知f（x）是（－∞，＋∞）上的单递增函数．为了确定｜f（０）｜＜１，只需存在x１＜x２，使得f（x１）＝－１，f（x２）＝１．为此在（）式分别取f（x１）＝－１，f（x２）＝１，于是由x１＋（a＋b）１＋ab＝－１，得x１＝－（１＋a）（１＋＜０；由x２＋（a＋b）１＋ab＝１，…     

数学课本一道例题的引伸

《高级中学课本代数上册（必修）（1996年修订本）》（以下简称《课本》）中有这样一道例题:第55页例2.已知函数f（x）是奇函数, 而且在（0, ∞）上是增函数。f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数? 随后,《课本》中又有下面两题。 练习（第57页）3.已知函数f（x）是偶函数,而且在（-∞,0）上是增函数。f（x）在（0, ∞）上是增函数还是减函数? 习题五（第59页）10. 已知函数f（x）是奇函数,而且在（0, ∞）上是减函数。f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数?     

从一道高考试题谈抽象函数教学

一、评析一道高考题，感悟抽象函数的考查功能长期以来，人们习惯于借助函数的图象或通过对函数解析式的操作演练，来解证有关函数的问题，而抽象函数没有给定函数的解析式，只是定性的刻画函数具有某种性质或符合某种运算规律．因此，学生对抽象函数问题的考查功能认识不足，也对解答抽象函数问题缺乏策略和方法．下面一道高考题，会使我们深刻认识到抽象函数的考查功能．２００１年高考数学第（２２）题：设f（x）的定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝１对称，对任意x１、x２∈［０，１２］，都有f（x１＋x２）＝f（x１）·f（x２），…     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道：（1）若函数f（x）在区间I上单调递增，且x1，x2∈I，则，（x1）〈f（x2）←→x1〈x2；     

一道无理方程根问题的多视角求解

题目 若函数f（x）满足下列两个性质： ①f（x）在其定义域上是单调函数; ②在f（x）的定义域内存在某个区间使