圆锥曲线的非统一极坐标方程及运用

在直角坐标系中 ,若以原点为极点 ,ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,那么可得两坐标系下圆锥曲线的方程对应如下 :ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 1ρ2 =ｃｏｓ2 θａ2 ｓｉｎ2 θｂ2 ;ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 1ρ2 =ｃｏｓ2 θａ2 - ｓｉｎ2 θｂ2 ;ｙ2 =2ｐｘ ρ=2 ｐｃｏｓθｓｉｎ2 θ .我们称上述极坐标方程为圆锥曲线的非统一极坐标方程 ,其中 ρ的几何意义是 :圆锥曲线上的点与极点所连线段的长 .利用这一特性求解与圆锥曲线上的点与极点所连线段有关的圆锥曲线问题干净利落 .例 1　如图 1,已知直线ｌ过坐标原点 ,抛物线Ｃ的顶点在原点 ,焦点在ｘ…     

挖掘圆锥曲线定义 巧求圆锥曲线方程

圆锥曲线的定义是推导圆锥曲线标准方程的基础和根据，对于定义条件非常明显的题目不在话下，本文专门对圆锥曲线定义条件不明显的问题进行研究，以提高同学们运用定义解题的能力。     

巧用圆锥曲线的定义解题

在高中《平面解析几何》课本中，介绍了椭圆、双曲线、抛物线的定义，而很少应用这些定义去解某些解析几何问题．事实上，灵活应用这些定义解题，有时是很方便的．1未动点的轨迹及方程例1方程Inrrtntrtr一卜一y十到对应点P（X，y）的轨迹为：（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）两直线分析若按常规思路，应先化简方程，过程较长．但如果把方程变形为：WWXi．－－－一一／了·＿，即知名A，、，＿的几何意义是动点P（X，y）到定点F（1，0）的距离等于它到直线Z：X－y＋3一0的距离．而／了＞l，由双曲线的第二定义知，点P的轨迹是双…     

高中数学新教材第七章教学问答(一)

(续前 )1 2 9　解析几何学是怎样产生的 ?它要研究的基本问题是什么 ?答 :1 7世纪 ,新生的资本主义生产关系曾促进社会生产力的迅速发展。远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张 ,向自然科学提出了大量的问题 ,例如天体运行、钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等。所有这     

圆锥曲线的直径方程及其应用

一、直径与直径方程圆锥曲线的平行弦的中点轨迹叫做圆锥曲线的直径,根据该定义不难推得圆锥曲线F(x,y)=0中平分斜率为k的弦的直径方程:曲线方程相应的直径方程     

抓住不变量,求圆锥曲线的方程

在平面解析几何中 ,我们常常会遇到这样一类问题 :当椭圆、双曲线的中心或抛物线的顶点不在坐标原点 (对称轴应平行于坐标轴 )时 ,求曲线方程 .这类问题的通常解法是 :利用移轴公式 ,将圆锥曲线方程化为标准方程后求出有关量 ,然后再回到原坐标系中求出方程 .此法较繁 ,若能灵活地利用不变量 ,就可以避免由旧坐标系变换到新坐标系的繁琐过程 ,使解题更简单 .常见的不变量有 :圆锥曲线的长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、焦距、离心率、距离、直线的斜率等等 .一、抛物线例 1　已知抛物线的焦点坐标是 (2 ,- 1) ,且以 ｙ轴为准线 ,求该抛物线…     

圆锥曲线方程专题学习

本节讨论的主要问题是：(1)曲线的方程与方程的曲线的求法；(2)直线与圆、圆与圆的方程及其位置关系．本节中要注意题设与隐含条件的挖掘，尤其是一些特殊点的变化情况．     

圆锥曲线的又一特性

椭圆、双曲线、抛物线除了能统一定义以外 ,还蕴涵着许多类似的特性 ,如光学性质、反映基本量a、b、c间关系的特征三角形、以焦半径为直径的圆的位置等。在我们对圆锥曲线的进一步研究中 ,发现了圆锥曲线的又一共同特性———一条特殊的切线 (斜率等于离心率 ) ,即以下三个命题。命题 1　自抛物线y2 =2px( p >0 )的准线与对称轴的交点 ,引抛物线的切线 ,则切线斜率的平方等于1 ,且切点与焦点的连线垂直于对称轴。证明　设切线的斜率为k ,则切线方程为 y =k(x+p2 ) ,代入 y2 =2 px ,得y2 -2 pky +p2 =0 ,由Δ =( 2 pk) 2 -4p2 =0 ,得k2 =1。…     

巧用圆锥曲线的定义解题

高中解析几何教材给出椭圆、双曲线、抛物线的第一定义和统一定义 ,第一定义展示了三类曲线各自性质及几何特征 ,统一定义则揭示了三类曲线之间内在联系 ,使焦点、离心率、准线等构成统一的整体 ,灵活运用这两种定义求解圆锥曲线的某些问题能达到简捷、合理的解题效果 .现就有关问题举例说明 .一、最值问题【例 1】　已知椭圆x22 5+y29=1及点M( 3 ,1 ) ,F1 、F2 分别是左、右焦点 ,A是椭圆上的动点 ,求｜AM｜+｜AF2 ｜的最大值 .分析 :根据椭圆的第一定义 ,可用有关｜AF1 ｜来表示｜AF2 ｜ ,再利用三角形性质任意两边之和大于第三边 ,…     

有心圆锥曲线的“两点式”方程

在平面解析几何中,求对称轴平行于坐标轴的有心圆锥曲线的方程是常见之事,因曲线方程为二次,为求a、b 往往绕不开较繁的运算(如解二元二次方程组).本文根据直线的两点式方程类比联想给出椭圆和双曲线的“两点式”方程,由此可以避开先求 a、b,使运算简化(至少降低难度),不求 a、b,直接写出方程,运用方便.     

圆锥曲线的一个性质及其应用

由于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)有着统一的内在规律,因而它们一些有趣的性质逐渐被人们所揭示,下面是笔者在教学中发现的一组性质,现用定理的形式叙述并证明.     

圆锥曲线的一组性质

对点P(x0,y0)和椭圆c:x2/a2 y2/b2=1,设λ=x20/a2 y20/b2.显然,当λ>1时,P在椭圆外;当λ=1时,P在椭圆上;当0≤λ<1时,P在椭圆内.