一个三角不等式的证明

命题:x是任意实数,三角不等式 cos(sinx)>sin(cosx)恒成立证:函数f(x)=cos(sinx)-sin(cosx)在整个实数集上连续,考虑方程cos(sinx)-sin(cosx)=0,     

三角不等式的证明

三角不等式的证明,由于课本中没有专门章节叙述,因此学生往往不知从何下手。本文将三角不等式的证明方法加以归纳分类,供参考。一、利用三角函数的性质|sinx|≤1、|cosx|≤1 证题例1.求证: 2+sinx+cosx≥2/(2-sinx-cosx)。证明:(2+sinx+cosx)-(2/(2-sinx-cosx)) =((2+sinx+cosx)(2-sin-cosx)-2)/(2-sinx-cosx) =(4-(sinx+conx)~2-2)/(2-sinx-cosx)     

从一道复习题谈函数的奇偶性教学

在浙江省88年下半年编印的一本高三年级升学复习资料上有这样一个题目:“判断函数y=(1 sinx-cosx)/(1 sinx cosx)的奇偶性”,并写明答案为奇函数。揣摩其答案得出的理由为: y=(1 sinx-cosx)/(1 sinx cosx)=(2sinx/2cosx/2 2sin~2x/2)/(2cosx/2sinx/2 2cos~2x/2)=(2sinx/2(cosx/2 sinx/2))/(2cosz/2(sinx/2 cosx/2))=tgx/2,∵f(-x)=tg(-x/2)=-tgx/2=-f(x),∴函数y=(1 sinx-cosx)/(1 sinx cosx)是奇函数。初看,解答正确.其实结论是错误的,原函数既非奇函数也非偶函数。之所以会产生这种情况,究其原因,一方面是现行教材中对函数奇偶性的定义及判断方法不够明确;另方面教师本身对函数奇偶性的定义及     

三角函数中的“三兄弟”

下面以三角函数中的 sinx cosx、sinx-cosx和 sinxcosx 三者的联系为例,谈谈对以上观点的认识。定理1,若sinxcosx=t(|t|≤12),则sinx cosx=± 1 2t,sinx-cosx=± 1-2t证明:因为sinx cosx=t,所以sin2x=2t,又|sin2x|≤1,故|t|≤12.设sinx cosx=y,两边平方得1 2sinx cosx=y2,y2=1 2t,y=± 1 2t,即sinx cosx=± 1 2t(正负号由x的范围确定).同理可证sinx-cosx=± 1-2t.定理2,若sinx cosx=t(|t|≤ 2).则sinx cosx=t2-12,　sinx-cosx=± 2-t2证明:因为sinx cosx=t,所以 t= 2sin(x π4),得|t|≤ 2.两边平方得1 2sinx cosx=t2,则sinx cosx=t2-1…     

克服思维定势,防止-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1的负迁移

-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1是三角函数的重要性质,在解决数学问题中经常发挥很好的作用。但在有些问题中,题设给定或隐含着x的变化范围,使得sinx(或cosx)不能取遍区间[-1,1]内的所有值。就是说,在该问题中,sinx(或cosx)的实际取值范围仅是区间[-1,1]的一个真子集,如果不注意挖掘和运用变量x的范围来确定sinx(或cosx)的实际取值范围用于解决该问题,而盲目套用-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1就会犯错误。因此,应本着具体情况具体分析的精神,加强挖掘和运用题设中所给范围的意识。下面举例说明这个问题。     

一类三角函数最值的应用

命题函数y=a/cosx b/sinx,(a、b∈R~ ),x∈(0,1/2π)的最小值为(((a~2)~(1/3) (b~2~(1/3))~3)~(1/2) 证明∵a~(1/3)cosx b~(1/3)sinx ≤ ((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~(1/2)(当且仅当x=arc tg(b/a)~(1/3)时等号成立), ∴((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~3)~(1/2)y≥a~(1/3)cosx b~3sinx)·(a/cosx b/sinx)≥(a~(1/6)(cosx)~(1/2)(a/cosx)~(1/2) b~(1/6)(sinx)~(1/2)·((b/sinx)~(1/2))~2=((a~2)~(1/3) (b~2)~(1/3))~2(当且仅当x=arc tg(b/a)~(1/3)时等号成立),即     

答读者问

陈老师: 我阅读了贵刊92年第5期P_(36)例9的解法是不妥的,他的解法如下: “例9 解三角方程5cosx+12sinx=13 解:(cos~2x+sin~2x)(5~2+12~2)≥(5cosx+12sinx)~2=13~2,此时等式成立,当且仅当cosx/5=sinx/12时,即ctgx=5/12。所以原方程的解集为{x|x=kπ+arcctg5/12,k∈Z} 事实上,我们若取k=1,把x=π+arcctg     

2018年高考理科数学全国(Ⅰ)卷第16题几种解题思路

<正>问题(2018年高考理科数学全国(Ⅰ)卷第16题)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是______.解法赏析思路1f(x)=2sinx+sin2x,由周期函数不妨设x∈[0,2π],f'(x)=2cosx+2cos²x=2(2cos2x=2(2cos²x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).     

一道高数题的多种解法举例

高职高专高等数学教材(侯风波主编)中,有一道思考题:用多种解法解不定积分I=∫sinx/sinx+cosx dx现举例如下:     

浅议求三角函数极值的教学

求三角函数的极值,学生常因忽略正弦(或余弦)函数具有周期性和有界性的特点而导致错误。因此在求三角函数极值的教学中,我们要根据|sinx|<1,|cosx|≤1的特点,首先要求学生掌握最基本的解法——把三角函数式进行恒等变形,使它变成只含有一个sinx(或cosx)的函数式来解,然后,在学生熟练掌握基本解法的基础上,再学习判别式法、基本不等式法等方法。把三角函数式变形成只含有一个sinx或cosx的函数式,通常有如下几种类型。一、变形成f(x)=asinx b型或f(x)=acosx b型。只含有sinx和cosx的一次式的函数,可应     

一个巧思妙解的来龙去脉

文[1]对问题：求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值给出了用基本不等式的解答,其关键是对3/cosx＋2/sinx构造了辅助因式3√2sinx＋3√3cosx,     

实周期函数的最小正周期

1 定义及基本性质 我们知道三角函数sinx,cosx等满足sin(x 2π)=sinx,cos(x 2π)=cosx,这样的函数称为周期函数。一般地有:     

黄金数拾零

本刊1985年第三期《黄金数种种》等文章给出了黄金数((5-1/2)~(1/2)或其近似值0.618,下文用ω表示)的多种表现形式,笔者在平时的数学教学中也发现和辑录了黄金数的多种表现形式,今抄录于后,作为续篇. 例1 设log_(sinx)cosx与log_(cosx)(tgx)~(1/2)的首数都是零,尾数之和为1,则锐角x的正弦sinx=ω.     

单调性的应用(高一、高二、高三)

1.求方程的根 例1 求满足方程2sin2x sinx-sin2x=3cosx的锐角x的值.(03年湖南省高数竞) 分析 对于同一单调区间内的两个变量x1,x2,若f(x1)=f(x2),则必有x1=x2. 解 因为 x为锐角,所以 cosx≠0.方程两边同除以cosx得 2sinx·tanx tanx-2sinx=3,即 (2sinx 1)(tanx-1)=2.因为 函数f(x)=(2sinx 1)(tanx-1)在(0,π/4)内f(x)<0,在[π/4,π/2)内严格单调递     

一道例题的简便解法

贵刊1982年第5期P.12《在解题中培养学生的能力》一文中的例一。已知sinx cosx m=0,有异根α,β。且α、β∈[0,π]。求sin(α β)。下面我提供一个简便的解法。解:∵α,β是方程sinx cosx m=0的异根。∴ sina cosa m=0 ①     

浅谈“sinx cosx的值”

在三角函数中由"sinx cosx的值"求sinx-cosx或sinxcosx的值时,很多学生往往因不清楚"sinx cosx的值"隐含着什么,从而导致了求sinx-cosx或sinxcosx的值出现差错。下面我们就谈一谈"sinx cosx的值"。     

一道莫斯科大学竞赛题的常规解法

题 已知sinx cosx≥1/2(3~(1/2)-1),求tgx的所有可能的值。 这是一九九三年莫斯科大学数学奥林匹克竞赛题第1题,《数学教学》1994年第4期     

函数最值问题例析

函数作为高中数学的主干知识,在历年高考中始终是“重点内容重点考查”.而函数最值问题作为函数知识考查的热点,在近年高考试题中屡见不鲜.现就实例进行剖析,展现函数最值问题求解的几种常用方法.例1求函数y=sinx cosx sinx·cosx在x∈[0,π2]上的最大值、最小值,并求出相应的x取值.分析在函数解析式中同时出现了正弦、余弦两个基本函数,分别以和、积形式出现.如何将两个不同变化规律函数统一呢?正弦、余弦函数和与积之间的特殊关系为我们提供了思路,即2sinx·cosx=(sinx cosx)2-1,采用换元法.令t=sinx cosx,则t=姨2sin(x π4),又x∈[0,π2]…     

数学问答

问题53．函数y=sinx cosxsinx cosx的最大值是____．(北京昌平一中王华文)解答:(方法1)设sinx=m n,cosx=m-n,由sin~2x cos~2x=1,得n~2=1/2-m~2(|m|≤2~(1/2)/2),于是有y=m~2     

错在哪里

1、河南博爱县一中毋必金来稿 （邮编:454400） 题:已知sinx siny=1/2,则cosx cosy的取值范围是（ ） (A)[-(1/2),1/2]; (B)[-1,1/2]; (C)[-(1/2),1]; (D)[-(3/4),3/4]。 解法1 设t=cosx cosy。 ∵1/2=sinx siny, ∴t 1/2=cosx cosy sinx siny=cos(x-y)。 ∵-1≤cos(x-y)≤1, ∴-1≤t (1/2)≤1, ∴-3/2≤t≤1/2, 即 -3/2≤cosx cosy≤1/2。 ∵│cosx│ ≤1,│cosy│≤1, ∴-1≤cosx cosy≤1/2,∴选(B)。