关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

关于三角形内点的一个新的不等式

命题 设P为△ABC内的任意一点,记PA=x,PB=y,PC=z,△BPC、△CPA、△APB的外接圆半径分别为R_1、R_2、R_3。则     

三角形内点的一个有趣命题的巧证及应用

<正>一、命题的巧证及变式笔者从正弦定理的向量证法中受到启发,引入直线的单位法向量并做数量积运算,简洁证明了下面的有趣命题.命题若P是ABC内部一点,λi>0(i=1,2,3),     

三角形内点的一个有趣命题的巧证及应用

一、命题的巧证及变式笔者从正弦定理的向量证法中受到启发,引入直线的单位法向量并做数量积运算,简洁证明了下面的有趣命题．     

关于三角形内点的一个定理及其应用

本文给出关于三角形内点的一个结果,并用之解决两道IMO赛题。 定理 设P是△ABC内一点,若∠BPC=∠BAC α,∠CPA=∠CBA β,∠APB=∠ACB γ。则     

关于三角形内点的一个不等式与推广

本文给出关于三角形内点的一个不等式 .并将它推广到三维空间、n维欧氏空间 .定理　设 P是△ABC形内的任意一点 ,AP,BP,CP分别交对边于点 A′,B′,C′.则有 APAA′· BPBB′· CPCC′≤ 82 7.当且仅当 P为△ABC的重心时 ,(1)式等号成立 .证明　如图 1所示 ,记点 A,P到 BC边的距离分别为 ha,hp,S△ A BC=S,S△ P BC=S1 ,S△ P A C=S2 ,S△ P A B=S3,则 S=S1 S2 S3.图 1∵ PA′AA′=hpha=12 · BC· hp12 · BC· ha=S1 S.∴ APAA′=1-PA′AA′=1- S1 S=S2 S3S .同理可得　 BPBB′=S1 S3S ,CPCC…     

一个关于全等三角形的有趣命题

两个大的全等三角形，把其中一个划分成两个小的三角形，一个涂成红色，另一个涂成蓝色；对另一个大三角形也同样处理。今问：若两个红色三角形全等，一定能保证两个蓝色三角形也全等吗？     

关于构成三角形的一个命题及其应用

本文拟给出构成三角形的一个命题,并运用它解决一些问题。 命题 设a、b、c是△ABC的三边长, (ⅰ)若△ABC是锐角三角形,则用a~r、b~r、c~r(其中0≤r≤2)做边长也能构成一个三角形; (ⅱ)若△ABC是直角三角形,则用a~r、     

关于四面体的一个六点共面定理——三角形一个共线点命题的空间移植

<正>1引言及主要结果三角形中有等角线及边上的等角共轭点概念(图1).定义1[1]在?ABC的边BC所在直线上取两点X、X′,若直线AX、AX′关于∠A的平分线AM对称,则称X′、X为BC边上的一对等角共轭点,称AX、AX′为从顶点A引出的一对等角共轭线(简称等角线).     

三角形内共点向量的结论及其应用

把几个有共同起点的向量称为共点向量.三角形内的一点分别与各顶点连线对应的向量把三角形分成3部分,共点向量与各部分三角形的面积之间满足一定的关系;三角形各＂心＂对应的指向顶点的共点向量即共心向量,与各部分三角形的面积之间也满足一定的关系.通过归纳和证明这些关系式,有助于强化知识结构,深化理解有关平面向量知识.1三角形内共点向量的加权和为零线性加权和的定义为：若有n个参数x1、x2、…、xn,则这n个参数的线性加权和为S=λ1x1＋λ2x2＋λ3x3＋…＋λnxn.上式中各参数对应的系数称为权系数.     

一个有用的向量命题

命题:在△ABC中,设D是BC的中点,则(?)=1/2((?) (?)).证明:如右图所示.由(?)=(?) (?),(?)=(?) (?),得2(?)=(?) (?) (?) (?).又D是BC中点,得(?) (?)=0.     

关于三角形内接三角形的一个等积变换

命题 设△DEF是△ABC的内接三角形,D、E、F关于所在边中点的对称点为D′、E′、F′,则 (1)S_(△DEF)=S_(△D′E′F′) (2)S_(△DEF′)=S_(△D′EF),S_(EF′D′)=S_(△E′FD),S_(△FD′E′)=S_(F′DE)     

一个三角形命题的空间推广

在平面几何中,有如下一个命题: 设P为△ABC内任意一点,AP、BP、CP的延长线分别交对边于A1、B1、C1,则     

周界中点三角形的一个命题

命题　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＡＢＣ的面积分别记为△Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .则有 ∑(ｓ-ａ)△ Ａ=△22Ｒ.证明 :由三角形周界中点的定义知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ +ＡＥ ,ｓ=ＡＣ +ＡＦ =ｂ +ＡＦ ,则ＡＥ =ｓ-ｃ,ＡＦ =ｓ-ｂ .又∵ｓｉｎＡ =ａ2Ｒ,ｓｉｎＢ =ｂ2Ｒ,ｓｉｎＣ =ｃ2Ｒ,∴△Ａ =12 ＡＥ·ＡＦ·ｓｉｎＡ=12 (ｓ-ｃ) (ｓ-ｂ)· ａ2Ｒ=ａ4Ｒ(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) .故 (ｓ-ａ)△Ａ=…     

三角形中一个命题的深化

徐希扬老师在文[1]中阐述了边等差三角形中如下一个性质的应用。 性质 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则有 tg(A/2)tg(C/2)=1/3 我们在学习原文时,想到了该性质的如下一个深化。 命题 在△ABC中,角A,B,C的边为a,b,c,若a,b,c满足b≤(a c)/2,则有(1)tg(A/2)tg(C/2)≥1/3;(2)B≤(A C)/2     

三角形内点的一个性质及其推广

命题1.设P为△ABC内一点,连AP,B尸C尸,并延长分别交对边于D,￡,尸.则PD尸E.尸F下下从州-下于节十万飞布Z生上声刀乃七尸应用面积比很容易证明.命题1可推广为:命题2.尸为四面体AIAZA3A;内一点,连尸A‘交对面于B‘,记入尸B一万厉;’‘-<入<1,且几,+又:十几3十入‘-l,2,3,4,则0l. 应用棱锥体积比容易证明. 例.(iMO一32)设P是△ABC内一点。求证乙PA刀,艺尸BC,匕PCA至少有一个不超过300. 证明记a一匕尸AB渭~乙pBC,y~乙尸CA.则由命题1及均值不等式,有 二,,尸F尸D PE‘3in拼’sm了岌又了’万万’沙一丸PDAD,产尸EBE PF.夕~二…     

三角形内点的一个不等式及其推广

本文给出关于三角形内点的一个不等式,并将它推广到三维空间、n维欧氏空间。     

关于三角形内部点向量表示的一点注记

<正>一、问题的提出设A,B,C为平面上任意不共线三点,O为平面上任一点,以ABC表示由点A,B,C构成的三角形,以p,q,r分别表示点A,B,C的向径,以a,b,c分别表示三条边BC,CA,AB的边长,I为ABC的内心.在宋卫东主编的《解析几何》(2003年高等教育出版社)中,有下述命题:     

关于三角形的内接三角形周长估值的一个猜想

关于三角形的内接三角形面积估值问题,我们已有以下结论: 将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥main≥{△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积}。(参见O.Bottema等著,单墫译《几何不等式》)。     

三角形中的一个命题及应用

本文给出与三角形有关的一个命题及应用,目前尚未见过报导.[命题] 若 P 为△ABC 内任一点,连结AP、BP、CP,并延长分别交 BC、CA、AB 于 D、E、F,则