例析“糖水不等式”的应用

<正>一、"糖水不等式"及其背景问题如果用b千克白糖制出a千克糖溶液,则糖的质量分数为b/a;若在上述溶液中a再添加千克白糖,此时糖的质量分数增加到(b+m)/(a+m).将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.这是人教A版教材选修4-5不等式选讲中的一道例题.可以把上述事实抽象为如下     

(a+m)/(b+m)>(a/b)的应用(高二、高三)

教材中以例题的形式给出了真分数的一个重要性质: (a m)/(b m)>a/b(a、b、m∈R ,且a(c/c m). (《代数》第二册上P17T9)     

高中不等式证明方法之探讨

<正>在人教A版高中数学教材中的一道例题可概括为如下数学问题:已知a,b,m都是正数,并且aa/b。此题实现了由代数到几何方法的跨越,在不等式证明中是一个非常好的例题。下面我们先看一下它的实际应用背景。背景1:建筑学规定,居民住宅的窗户面积必须不小于地板面积的10%,按着这个采光标准,窗户面积和地板面积之比应不小于10%,且这个比值越大,采光就越好。试问:     

一道例题的几何证法

高中代数甲种本第二册有一道不等式例题:已知:|a|<1,|b|<1, 求证:|a b/1 ab|<1 不少刊物给出了多种美妙解法.本文绘出一种新颖的几何证法。     

一道看似不起眼,作用不一般的例题

全日制普通高级中学数学课本第二册第六章第三节不等式的证明中的例2(下称课本例2)是这样的"已知a、b、m都是正数,并且a＜b,求证a m/b m＞a/b"这道例题不仅具有一般例题的对相关知识的巩固、强化、提升、拓展、示范等功能,而且它所提供的结论在一些不等式的证明中担当着重要角色.我们借助它来证明一些不等式,你会觉得特别轻盈、灵巧,下面举出几例以飨读者.     

一道不等式例题的反思与应用

均值不等式体现了两个正数之间的一种特殊关系,它是我们证明不等式的重要依据．而教材中所给例题许多地方都体现了这种关系的应用．除此之外,教材还通过第10页例题1给出了利于均值不等式求最值的一种方法．     

一个猜想的提出与研究

<正>1999年我教高二数学时,教材第二册(上)中一道例题:a、b∈R+,求证a3+b3≥ab a(+b)引起了我极大的兴趣.我把结论改写为a2/b+b2/a≥a+b,联想到算术平均数与平方平均数的关系a+b/2≤a2+b2/2,就试图加强原来不等式为     

主体参与型课堂教学案例分析

为了巩固证明不等式的比较法,教材给出了三个例题:     

“糖水不等式”的多角度应用

一般地,设a,b为正实数,且a0,则（a+m）/（b+m）>a/b。这个不等式是课本的一道例题,可以形象地比喻成:"向一杯糖水里添加点糖,糖水加糖变甜了",所以这个不等式也被称为"糖水不等式"。本文谈谈"糖水不等式"在解题中的应用,希望能给同学们一些启发。一、在圆锥曲线中的应用例1（2015年湖北卷）将离心率为e₁的双曲线C₁的实半轴长a和虚半轴长b同时增加m(m>     

切不可忽视“不等于零”的规定——从一例错解谈起

《数学教师》1996.9期P19有一道例题: 例 若不等式(a-2)x~2+2(a-2)x-4<0,对于一切实数x都成立,求a的取值范围。     

从教科书一道经典不等式谈起

<正>目前在全国各地使用的普通高中教科书A版数学必修第一册"第二章一元二次函数、方程和不等式"的复习参考题2中安排的第5题:若a, b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.这是一道不等式的经典题,是一线教师比较喜欢用的例题,也是学生初学相对比较容易上手的题目.对照以前用的普通高中课程标准实验教科书A版数学必修5"第三章不等式"是没有这种题型的.在笔者教学实践中,每届学生都比较怕用基本不等式求解这种题型,     

椭圆上关于直线对称的两点…（高二、高三）

在圆锥曲线关于直线有对称点的条件下,求参数的取值范围,就是要解含参变量的不等式,关键是建立含参变量的不等式.本文通过一道例题给出解决椭圆中这类问题的常用方法.其它圆锥曲线的类似问题,方法雷同.     

从比较log_(20)30,log_23,log_(0.2)0.3的大小谈起

六年制中学高中代数第一册课本中有这样一道题:按由小到大的顺序排列log_(20)30,log_23,log_(0.2)0.3。对于高一学生来说,要比较这三个数的大小是有一定困难的。因为这要涉及到教材中未作介绍的一个不等式:若a、b、m都为正,且m相似文献   

扬典例之帆 驾思维之船——一道不等式题的多种证明方法及拓展

【题目】已知a、b、m∈R^＋,a〈b．求证：a/b〈a＋m/b＋m 一、研究证法这是高二数学上册一道典型的不等式证明题,这个题目的证法很多,每一种证法都体现着一种数学思想．那么,如何转化呢？按照教材上要求的比较法、综合法、分析法这三种基本方法来证明这个不等式,就有下面三种基本方法：     

椭圆上存在两点关于直线对称的参数取值范围的确定

圆锥曲线关于直线有对称点,求参数的取值范围,就是要解含参变量的不等式,其解题指向是要建立含参变量的不等式.下面通过一道例题给出解决椭圆中这类问题的几种常用方法.其它圆锥曲线的同类同题,有类似的方法.     

“加糖不等式”的妙用

新、老教材中,不等式的证明方法部分都有这样一个不等式:如果a>b>0,m>0,那么b/a相似文献   

一道不等式证明题的研究

不等式的证明对逻辑推理能力要求较高,历来是高考中学生公认的难点.教学中如何高效引导学生对不等式的证明进行有效地思维,一直是数学教师"永远的痛",笔者结合一道经典的例题给出了完整的思维过程,对推动这一难点的研究尽一点微薄之力.     

关于一道典型不等式证明题的思考

问题已知a>0、b>0,求证(a b)(1/a 1/b)≥4.这是基本不等式的应用中一道非常典型的例题,同时也倍受各类考试命题者的青睐.从表面上看,该例题仅仅是基本不等式的简单运用,即通过展开不等式的左边,进而满足基本不等式得出最终解.从它的推广价值上看,又蕴涵着求最值重要的思想方法,即通过变式获取求最值的典型算法:“1”的附乘.一般地,对本题的关注有2个层次:直接运用它的证明算法;借用它的形式特征.下面谈谈本人的一点体会,供同学们参考.1直接运用解决问题例1已知不等式(x y)(1x ya)≥9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a的最小值为().A2不;等…     

再谈一道教材例题的示范作用

贵刊1998年第1期“重视教材中例题的示范作用”一文中,对高中教材《代数》下册第12页的例题:已知a、b、m∈R~ 并且a(a b).做了细致的分析和发掘.本文拟将这道例题的示范作用作进一步拓广,使之更趋完善.这道例题历经千锤百炼,其证法之多,不胜枚举.其中颇具启示的,还有分式化繁法;这里将形式简单的分式,运用逆向思维化为分子为1的繁分式,通过对分母的放缩达到证题目的,使解答简洁而富有启发性.     

复习课中创造性思维培养一例

复习课中由于课堂时间不长,教师往往在促使学生所学知识网络化、集成化和发挥学生主观能动性、培养学生创造性思维两方面难以取舍.我认为,关键在于精选代表性例题、充分挖掘例题功能和合理优化教学过程.例如,我在不等式证明的复习课中,选用了一道例题: 已知函数设 a,b∈R,且a≠b,求证:|f(a)-f(b)<|a-b|. 整节课在学生充分思考,运用各种方法研究、探索和交流的基础上,教师设计以下层次进行启迪、引导.