构建实物模型证明组合恒等式

由组合数C0n,C1n,C2n,…,Ckn,…,Cnn可组成很多有趣的恒等式,叫做组合恒等式.有些组合恒等式,若用代数推导来证明,其繁杂程度令人生畏,如果构建恰当的实物模型,问题即可迎刃而解.     

巧构组合模型证明组合恒等式

<正>组合恒等式的证明无固定的方法,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成。但是,很多组合恒等式,也可通过巧妙构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组问题的两种计算方法,由解的唯一性来证明组合恒等式成立。     

巧构模型证明组合恒等式

高中数学第二册(下B)中，与组合有关的恒等式的证明，是用与组合、二项式定理有关的概念、公式、性质和定理证明的．而一些组合恒等式的证明常因其结构复杂、运算量大，较难找到切人点而使人生畏．其实如果我们能根据恒等式的特征，利用组合数的意义，将其进行必要的“联想——转化”，巧妙运     

构造模型证明组合恒等式例析

证明组合恒等式,一般是运用组合数公式及组合数性质进行计算而完成的,大都计算量较大,但我们如果能够回到组合的定义上,揣摩组合数内含的实际意义,通过构造数学模型来实现证明,则证明显得新颖别致,富于创造性。本文略举几例作释。     

巧用生活中模型证明组合恒等式

证明组合恒等式,常用的方法是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,然后通过一些适当的计算或化简来加以证明.本文通过构造生活模型巧妙地证明组合恒等式.     

组合恒等式的证明

一、直接利用组合数公式证明二、利用组合定义证。 [例1] 求证 C_n~(m 1) C_n~(m-1) 2C_n~m=C_(n 2)~(m 1) 证:从n 2个不同元中取m 1个元的组合可分四类:i)含指定元甲、乙的有C_n~(m-1)种,ii)不含甲、乙的有C_n~(m 1)种,iii)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C_n~m种。由加法原理得原式。三、利用组合性质证。如例1原式左=(C_n~(m 1) C_n~m (C_n~(m-1) C_n~m)=C_(n 1)~(m 1) C_(n 1)~m=C_(n 2)~(m 1)。     

组合恒等式的证明

<正>组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础,并加以推广和补充而形成的一类问题,它具有一定的难度和特殊的技巧,且灵活性强,对学生的运算能力的培养和思维灵活性的训练都有良好的作用。下面就来谈组合恒等式的证明。例1求证:C_n¹+2C_n1+2C_n²+3C_n2+3C_n³+…+n C_n3+…+n C_nⁿ=n·2n=n·2^(n-1)。证法一:设S_n=0C_n(n-1)。证法一:设S_n=0C_n⁰+C_n0+C_n¹+2C_n1+2C_n²+…+nC_n2+…+nC_nⁿ。则S_n=nC_nn。则S_n=nC_nⁿ+(n-1)C_(n-1)n+(n-1)C_(n-1)^(n-1)+…+C_n(n-1)+…+C_n¹+C_n1+C_n⁰两式相加,并结合C_n0两式相加,并结合C_n^k=C_nk=C_n^(n-k),得:     

另辟蹊径证明组合恒等式

排列与组合是与现实生活息息相关的数学知识,随着现代技术,特别是计算机的飞速发展,使得组合学得到蓬勃发展,成为近若干年来非常活跃的数学分支．在中学数学中排列、组合是一块相对独立的内容,学好这部分知识对提高学生的数学思维能力有积极的促进作用,而解决这类问题的思考方法与其它代数内容有所不同,不能仅靠代数的逻辑推理．组合恒等式是组合教学的重要内容之一,也是研究“概率论”与“组合计数”的重要工具,因此,研究组合恒等式具有深刻的实际意义．     

略谈组合恒等式的证明

组合恒等式证明问题,一般难度较大,学生往往不易掌握。下面就来谈谈组合恒等式证明的几种方法。 1.置换法。在公式(a+b)~n=C_n~0a~n+C_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+…+C_n~ra~(n-r)b~r+…+C_n~nb~n中,适当地选择某个数来置换a和b,原恒等式即可得证。例1.求证:①2~n-C_n~12~(n-1)+C_n~22~(n-2)+…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)2+(-1)~n=1; ②3~n-C_n~13~(n-1)+C_n~23~(n-2)+…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)3+(-1)~n=2~n。     

组合恒等式证明八法

二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式,这些等式常通过简捷的组合分析来得到证明,本文举例说明.     

浅议组合恒等式的证明

中学教材中对组合恒等式的证明介绍极少,学生遇到这类问题往往感到无从下手,这主要是组合恒等式的证明有其特殊的个性,而学生对这些特殊性又缺乏了解．为此,本文介绍组合恒等式的几种常见证明方法,以供学生参考．１公式法组合恒等式的证明中最常用到的公式是Ｃｍｎ＋...     

组合恒等式的证明方法

组合恒等式的证明往往具有一定的难度并且灵活性较强,笔者结合具体实例,利用初等数学与高等数学综合交叉的方法给出了多个组合恒等式的证明。     

组合恒等式的概率证明

用概率方法证明一些关系式是概率论一项重要的应用。这说明概率论中的一些方法具有普遍意义。本文试图用概率方法证明一些组合恒等式。其主要思路是,针对所要证明的组合恒等式构造出适当的概率模型,求出该模型中有关事件的概率,然后根据概率的一些性质,推出应有的结论。     

一个组合恒等式的证明

用三种方法证明［1］中的一个组合恒等式．     

组合恒等式证明的教学

组合恒等式的证明是“排列、组合和二项式定理”这一章的重要内容,其中许多题型的证明可联想到数列求和的方法,即抓通项,找规律,演变成我们熟悉的恒等式,从而达到目的。因而在教学中可采取下列三个步骤。第一步,从典型的组合恒等式出发,探讨由此演变而成的恒等式的构成特征。第二步,在此基础上,分析组合恒等式的通项,演变成典型的组合恒等式,从而达到证明的目的。第三步,归纳组合恒等式证明的几种主要方法。教学实践表明,这样作可收到较好的效果。     

组合恒等式的证明方法

关于组合恒等式的证明方法大体可归纳为如下一些: 一、在二项展开式中直接代入特别值而得组合恒等式二项展开式为 C_n~0 C_n~1x C_n~2x~2 … C_n~nx~n=(1 x)~n,其中 C_n~k=(n(n-1)…(n-k 1))/(k!)=(n!)/((n-k)!k!),k≤n,且规定C_n~0=1。若令x=1得 C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n.(1) 令x=-1得 C_n~0-C_n~1 C_n~2-… (-1)~nC_n~n=0,(2)或 C_n~0 C_n~2 …=C_n~1 C_n~3 … *) (3) *)本     

组合恒等式的证明技巧

利用多种方法，巧妙证明了一些有用的组合恒等式．通过证明，展现了数学的优美特性，探究了数学分析方法的广泛应用．     

利用组合意义证明恒等式

现行高中数学课本里有这样一道习题:证明(C_n~0)~2+(C_n~1)~2+…+(C_n~n)~2=(2n)!/n!·n!。教材提示利用(1+x)~n·(1+x)~n=(1+x)~(2n),比较等式两边的展开式中含x~n项的二项式系数。除此之外,还可从组合意义     

概率方法证明组合恒等式

概率方法证明组合恒等式的思想是运用完备事件组、全概率公式、随机变量的数字特征来证明恒等式,以及古典概型在排列组合恒等式证明中的应用.进而来说明利用概率方法证明组合恒等式的优点。     

漫谈组合恒等式的证明

组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位．现行高中课本中有关组合恒等式证明的例题和习题是不少的．要求学生掌握这部分知识，就必须学好教材中规定的有关基础知识、基本概念和基本技能，但不能满足于这一点，还要适当诱导学生拓宽思路，发挥才智，防止由于思维闭锁而造成的解题方法单一化倾向，甚至由此造成学习上的困难．这里不妨将笔者在多年教学实践中归纳和总结出的几种方法和盘托出，以就教于各位同仁．一、利用组合定义证明这是高中代数下册（必修）P256例1，这里给出的是另一种证法．证原式的意义就是从n个不同的元素中任…