椭圆内切圆与曲率圆的方程及图像研究

借助高等数学知识和几何画板,探索了椭圆内切圆和曲率圆的方程与图象及其之间的关系.研究结果表明:在椭圆的凹侧且与椭圆相切于点P(x0,y0)的最大圆是椭圆在该点的曲率圆;椭圆Γ在点P(acost,bsint)的最大内切圆和曲率圆的方程分别为(x-ca2cost)2+y2=ba22(b2+c2sin2t)和(x-ca2cos3t)2+(y+cb2sin3t)2=a21b2(b2+c2sin2t)3;椭圆Γ的内切圆者的圆心轨迹为线段:y=0且-ca2 x ca2,曲率圆的圆心轨迹为(c2x/a23)23+(c2y/2b3)23=1.     

椭园的扇比参数方程

设椭园的长半轴和短半轴的长分别为a和b,则中心在坐标原点,二焦点在x轴上时,它的标准方程是     

斐波那契序列与黄金比

在黄金比与斐波那契序列1,1,2,3,5,8,13,21……之中存在一著名的关系(若用F_n表示斐波那契序列第n项),我们可定义这一递归序列为: (1) F_1=1,F_2=1,F_(n 2)=F_(n 1) F_n(n≥1) 这一关系即当n增大时,斐波那契序列中相邻的项F_(n 1)与F_n之比趋向于黄金比,作为丰富高中代数课内容是一极好的课题。     

灵活运用非常规换元法

换元法是解决数学问题的一种常用方法。例如解方程((x-1)~(1/3))~2-3·(x-1)~(1/3)-4=0时,设(x-1)~(1/3)=t,象这种仅用一个字母替换某个式子的换元方法,我们把它称为常规换元法。另外,我们常常遇到或不自觉地使用另一种变换方法,例如在根据椭圆的定义,推导椭圆的标准方程的过程中,设|PF_1| |PF_2|=2a,以及令 a~2-c~2=b~2;又例如在求函数 y=asinx 6cosx 的最大值、最小值(a、b 不同时为零)的过程中,令     

斜率的存在性不容忽视

直线的斜率是反映倾角不等于90°时直线对x轴的倾斜程度的,它是研究两条直线以及直线和曲线的位置关系的重要依据。然而并不是所有直线都有斜率,初学者对这一点往往忽视。表现在解题中经常会主观地想象出直线的斜率,忽视斜率的存在性,就形式的套用公式,因而造成各种错误,现举例分析: 例1,求满足条件|z+1-3i|+|z+3-3i|=4的所有复数z的辐角主值的最大值和最小值。 解:在坐标平面内可以清楚地看到动点z的轨迹是椭圆。其两定点分别为F_2(-1,3),F_2(-3,3),动点到两定点距离的和为常数4,故椭圆的方程可写成     

椭圆曲线y2=11nx(x2-32)的整数点

利用同余的性质、Legendre符号的性质、奇偶数的性质等初等数学方法,证明了如果n≡5(mod 8)为奇素数,则椭圆曲线y2=11nx(x2-32)除(x,y)=(0,0)外无其他整数点.研究结果对椭圆曲线y2=px(x2-a),p,a∈Z+的求解有一定的借鉴作用,同时此结果推进了该类椭圆曲线的研究.     

一个常见平面方程的两种新解释

设在空间已经引入了虚元素,由三元二次方程:F(xyz)=a_(11)x~2+a_(22)y~2+a_(33)Z~2+2a_(12)xy+2a_(13)xz+2a_(23)yz+2a_(14)x+2a_(24)y+2a_(34)z+a_(44)=0 (1)所表示的图形称为二次曲面.使用记号 F_1(xyz)=a_(11)x+a_(12)y+a_(13)z+a_(14)F_2(xyz)=a_(12)x+a_(22)y+a_(23)z+a_(24)F_3(xyz)=a_(13)x+a_(23)y十a_(33)z十a_(34)F_4(xyz)=a_(14)x十a_(24)y十a_(34)z+a_(44)     

椭圆规的制作和使用

一、从“互为垂直的两谐振动的合成”谈起设 两个互力垂直的谐振动的振动方程为:X=a·cocωt (1)y=b·cos(ωt+φ)(2)不难证明,这两个谐振动的合振动轨迹方程是:x~2/a~2+y~2/b~2-(2xy/ab) cosφ=sin~2φ (3)在一般情况下,这个合振动的运动轨迹为一椭圆.特殊情况下为圆(当a=b,φ=(k+1/2)π,其中K=0,1,2…)和直线(当φ=kπ,其中k=0,1,2,…).     

压缩空气实验的制作

1　仪器装置图 (如图 1 )图 1　2　特点及用途(1 )特点本实验便于观察 ,喷泉高 1米以上 ,且持续时间长。制作简单、操作方便 ,趣味性强。(2 )用途本实验适用于压缩空气的实验。3　制作材料1 0 0ｍＬ带塞盐水瓶 ,用完的圆珠笔芯 ,2 0ｍＬ注射器带针尖。4　制作方法将用完的圆珠笔芯去掉笔尖成圆筒状 ,把笔芯的一端点燃 ,立即压灭 ,将一端封住 ,然后用缝衣针把封住的这端穿一小孔 ,把笔芯插入瓶塞到瓶底 ,(小孔端露在瓶外 ) ,瓶内装水 ,留下 1 5ｍＬ左右空间不要装水。5　使用方法用左手的食指压住笔芯的出气孔 ,大拇指、中指扶住瓶 ,再用右手…     

三斜求积公式的四种证法

初中代数第四册中的第十五章是解三角形,本章末的复习参考题最后一题为: 17.根据三角形面积公式 S_△=s(s-a)(s-b)(s-c)*1/2(其中s=1/2(a+b+c),a、b、c是三角形三边的长),计算下列各题中三角形面积S_△: (1) a=20,b=13,c=21; (2) a=17,b=21,c=10。 在相应的教学参考书里,编者用余弦定理给出了这个面积公式的详细推导过程,并介绍此公式称为海伦公式。 我们知道,在50年代的教材里,此公式又称为海伦——秦九韶公式。现在的教材不要求学生     

显示坚硬物体受力时发生微小形变演示实验的尝试

正众所周知,坚硬的物体在外力的作用下也要发生形变,只是这种形变太小不易察觉。演示坚硬物体在外力作用下发生微小形变的关键在于把微小形变放大。笔者在多年的教学实践中,对显示坚硬物体受力时发生微小形变的演示实验进行了传统实验法和自创法的尝试。1传统实验法(1)用手挤压椭圆玻璃瓶法图1实验装置如图1a所示。1当用力沿椭圆瓶子的短轴方向挤压瓶壁时,可以看到玻璃管内的水柱(红色液体)会明显     

关于自然坐标系中符号规则的讨论

理论力学中研究曲线运动时,常以轨道的切线与法线为坐标轴建立坐标系,这种坐标系称自然坐标系。在自然坐标系中,质点的运动微分方程为 mdv/dt=sum from i=1 to n(F_(li)) (1) mv~2/p=sum from i=1 to n(F_(ni)) (2) 式中为曲线的曲率半径。应用上述方程解题时,需要确定切线τ与法线n的正方向。一般教材中只规定法线n的正方向,对切线τ的正方向没有统一的规定。如《理论力学简明教程》(肖士珣编)中规定:顺着质点运动的方向为切线τ的正方向;《理论力学教程》(周衍柏编)中对切线τ的方向没有明确说明。这样就给学习者造成混乱,无规则可循。     

米尺下移动双指的定量分析

将左右手食指支撑在水平取向米尺的两端,当两指逐次向中部靠拢时,双指总在米尺的重心处会合,不论双指的起始位置如何,结果总是相同的。解释这一现象的关键,是双指起始点离米尺重心的距离比,正好等于滑动摩擦系数跟静摩擦系数之比(μ_k/μ_s)。理论分析中包含了几点假设:(1)米尺是理想的,即它是准直的,密度分布均匀的,无凹坑的。(2)双指是数学上的点。(8)对于双指,比值μ_k/μ_s=0.80。初始条件(t=0)是:(1)米尺的重心处于坐标x_c=50cm处。(2)指#1(F_1)在坐标x_1=0处,指#2(F_2)位于坐标x_2=70cm处,见图1。根据这些假设和初始条件,可以定量地…     

通电线圈在磁场里转动实验器

①用直径0．3～0．5mm的漆包线，绕一个长70mm，宽比所选用的蹄形磁铁两极宽度小6mm的矩形线圈，匝数50～60匝，两个长边分别用红绿彩色纸包裹起来。②取一支废圆珠笔芯，保留金属笔尖，笔管截取80mm长。再从另一支废圆珠笔芯上取下金属笔尖，将在80mm长笔管的另一端，组成两头有金属笔尖的轴。     

直线斜率在解题中的应用

直线斜率公式tga=k=y_2-y_1/x_2-x_1.(x_1≠x_2)是解析几何的基础公式之一.直线的斜率在判断两条直线的位置关系以及求直线的倾斜角、夹角等方面,有广泛的应用.然而,在涉及直线与曲线的位置关系这类问题时,若能灵活地应用直线的斜率,就会化繁为简,化难为易.1.应用直线斜率求最大值、最小值曲线上某一点的最大值或最小值,如果采用的切线的斜率来解,往往会出现“柳暗花明又一村”的境况.例1如图1,在平面直角坐标系中,在Y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B在X轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.解法:分别设A、B、C三点坐标为A(0.a),B(0,b).C(x,0),∠ACB=θ,这里a>b>o,X>0,θ∈(0,π/2).∴tgθ=K_BC-K_AC/1+K_BC·K_AC=a-b/x+ab/x≤a-b/2/2~(1/ab)∴当x=ab/x时,x=(ab)~(1/ab)时tgθ最大.此时,C点坐标为((ab~(1/ab),0)θ_Max=arctg/a-b/2~(1/ab).2.应用直线斜率求轨迹方程求点的轨迹问题是初等解析几何的重要内容之一.求线段中点的轨迹方程是常见的一类.这类问题解法很多,但灵活地使用线段所在直线的斜率求解,往往会收到事半功倍的效果.例2 如图2抛物线y~2=2PX的准线交抛物线的对称轴于A点,过A引直线交抛物线于B、C两点,求BC中点的轨迹方程.为了说明应用直线斜率求轨迹方程的灵活     

一个命题的联想、拓广与应用

引 言 在代数中,众所周知有如下命题成立:[原命题]:若 ab=1(a≠-1,b≠-1),则: 1/(1+a)+1/(1+b)=1 (1) a/(1+a)+b/(1+b)=1 (2) 文[1]笔者给出原命题的推广结论:[推广Ⅰ]:若multiply from k=1 to n(x_k)=1,且f(k)=1+x_k+x_kx_(k+1)+…x_kx_(k+1)…x_nx_1x_2…x_(k-2),(f(k)≠0),并设f_v(k)为多项式 f(k)的第i项,则:     

非单位元的阶都是2的群的性质

我们知道,对任一群的元a,能使a~m=e(e为群的单位元)的最小正整数m叫做a的阶。若这样的m不存在,则说a的阶为无限的。本文仅从非单位元的阶都是2的群来探讨群具有的性质及元素构成的情况,为便于叙述,把非单位元的阶都是2的群记为群G。 定理1 群G是交换群。 证明:任意给G中的两个元素a、b,因为a~2=b~2=e,所以a=a~(-1),b=b~(-1)。即ab=(ab)~(-1)=b~(-1)·a~(-1)=ba,G为交换群。     

关于二项式的一个猜想

对二项式的一个猜想,对所有的自然数n均有:(a+b)2n+1=a2n+1+b2n+1+2n+1ab(a+b)(a2+ab+b2)n-1作了进一步的探讨,并且得到不等式(2),(3).     

面积相等的误差图形覆盖船位概率的比较

分析了面积相等的误差四边形、椭圆和圆覆盖船位概率大小的问题,并得到结论(1)误差椭圆覆盖船位的概率最大;(2)当两条船位线的精度比λ =E1∶E2=1.0∶1.25,交角θ=80°～90°及λ=1.0～1.1,θ=75°～90°时,误差四边形覆盖船位的概率为最小,而误差圆覆盖船位的概率是误差椭圆的99.4%～100%.因此,建议此时用标准误差圆评定船位精度,船位在该圆内的概率P≈63.5%.其余场合,误差圆覆盖船位的概率为最小,而误差四边形覆盖船位的概率是误差椭圆的98.3%～99.6%.因此,建议此时用标准误差四边形评定船位精度,船位在该误差四边形内的概率P=46.6%.     

解物理问题的逆向思维法

逆向思维又称反向思维,它是分析和解决物理问题的一种行之有效的、科学的创造性思维方式.利用这种逆向思维解题,是把人们通常思考问题的思路反过来加以思考,执果索因.利用逆向思维解题,常能化难为易,删繁就简,变死为活,使解题迅速而又准确.既有利于强化逆向思维训练,防止学生理解僵化,方法刻板,培养学生思维的灵活性,广阔性和深刻性,又有利于开拓学生思路,活化知识,提高解答物理习题的能力.1.用逆向思维法求解力学题例1:将某种材料的长方体锯成A,B,C三个物体,然后再对拼在一起,放在光滑的水平面上,如图1所示,且m_C=2m_A=2m_A=2m_B=2千克,用8牛顿的力F从正面推C,使得A,B,C组成的长方体保持矩形的整体沿力的方向平动,试求运动中B与C间的静摩擦力大小和方向.分析与解:本题若按常规解法,把B与C间的弹力和静摩擦力分开来考虑,结果在确定静摩擦力的方向问题上花费不少时间.但是,如果我们倒过来想一想,发现求出B与C间的弹力和静摩擦力的合力,即B,C间作用力是容易求的,然后再正交分解求摩擦力也就方便了.选A,B,C组成的整体为研究对象,由牛顿第二定律,有:F_1=(m_A+m_B+m_C)a,解得a=2米/秒~2,对B物体而言,只有C对B的作用力产生加速度,因此,得F_(CB)=m_Ba=4牛顿,沿F_1原有方向.由正交分解法得,运动中B,C间静摩