椭圆中内接三角形的特殊性质探究

<正>当三角形的三个顶点都在椭圆上时,我们可称此三角形为椭圆中的内接三角形。笔者经过探究发现,椭圆中的内接三角形具有以下性质:已知椭圆x~2、a~2+y~2、b~2=1(a>b>0),P(x P,y P),A,B为椭圆上的不同三点,且k_(PA)·k_(PB)=y_P~2/x_P~2。     

升维法巧解题一例

题目已知椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0).(1)求椭圆的面积;(2)求椭圆内接三角形面积的最大值;(3)能否找到1996个三角形,他它们都是椭圆的最小外切三角形.分析:本题的三个问,如果在椭圆所在的平面内直接求解,都非常困难,甚至无能为力.我们打破思维定势,采取“升维”的方法,将“平面”转化到“空间”,可使问题柳暗花明,出奇制胜.把椭圆看成底面直径为2b 的圆柱被平面 a 所截的结果,底面圆就是椭圆的射影.椭圆内接或外切三角形.其射影成为底面圆的内接或外切三角形,又知平半面 a 与底面所成角θ满足 cosθ=     

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

本文简单证明了椭圆内接三角形的性质：若椭圆的内接三角形的重心与椭圆中心重合．则内接三角形的面积为定值．另给出并证明的椭圆外切三角形的性质：若椭圆的外切三角形的重心与椭圆中心重合．则外切三角形的面积为定值．     

椭圆内接多边形面积的最大值

问题提出（本刊2007（1）数学疑难之8）椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（0〉6〉0）的内接三角形的最大面积是多少？内接四边形呢？内接n边形呢？     

椭圆中的内接三角形的性质探究

<正>当三角形的三个顶点都在椭圆上时,称此三角形为椭圆中内接三角形。笔者经过探究发现,椭圆的内接三角形具有以下性质。性质1:已知椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),P,A,B为椭圆上的不同三点,若直线AB经过原点,且k_(PA),k_(PB)均存在,则k_(PA)·k_(PB)=-b2=1(a>b>0),P,A,B为椭圆上的不同三点,若直线AB经过原点,且k_(PA),k_(PB)均存在,则k_(PA)·k_(PB)=-b²/a2/a²。证:设A点坐标为(x_A,y_A),P点坐标为(x_P,y_P),因为B与A关于原点对称,则B     

椭圆内接直角三角形的充要条件及结论推广

文[1]给出椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件,读后颇受启发．本文给出椭圆内接三角形为直角三角形的又一充要条件,并将结论推广,介绍如下．     

椭圆内接四边形最大面积的简证

胡立编同志在《关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积》一文中,证明了椭圆内接四边形的最大面积为2ab(见《数学通报》1987年第三期)。他首先证明椭圆内接平行四边形的最大面积,然而当推广到任意内接四边形时,他仅用图示的方法加以说明,阅后似有不清晰之嫌。     

关于一类内嵌外切多边形的几个命题

给出r=k时与k椭圆内接,且与其r圆外切的多边形的几何特征.给出22相似文献   

椭圆的最大内接和最小外切多边形的几个性质

已知椭圆的方程为x~2/a~2 y~2/b~2=1,求它的内接三角形面积的最大值及它的外切平行四边形面积的最小值的问题在有些数学书刊上常引为例题或习题。这里再介绍关于内接于椭圆的最大面积的多边形和外切于椭圆的最小面积的多边形的一些性质和结论。首先,简单地重述一下压缩变换的概念以及压缩变换关于面积的性质。设P(x,y)是平面内一点,若变换f把点P变为平面内一点P'(x',y'),其中     

椭圆内接三角形的一个有趣性质

笔者发现了以椭圆中心为重心的椭圆内接三角形的一个有趣性质．     

椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造

椭圆中有关内接三角形和内接平行四边形面积的最值问题,近年在专业杂志上有过一些同行们各具匠心的研究和结论.笔者在研究2010年上海市数学高考的压轴试题时,结合过去的一些解题经验,发现了椭圆中几类相交弦斜率之积的有趣的共性结论,并由此深入,探究了有关面积最大的椭圆内接三角形和内接平行四边形的一般构造方法.本文特将笔者的探究...     

坐标变换在椭圆问题中的应用

本文用坐标变换的方法来重新探讨椭圆与直线的位置关系和椭圆内接三角形问题．     

椭圆的内接平行四边形的最大周长

正[数学问题393]试求椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的内接平行四边形的最大周长.注:数学通报数学问题2104(2013年第二期)证明了,椭圆内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合,并且求得了椭圆的内接平行四边形面积的最大值.     

一个优美结论的几何本质——椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的再探讨

《数学通报》2013年第2期刊登了《一个优美的结论——椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的探讨》[1]一文,笔者读后觉得意犹未尽.首先这个问题的几何本质是什么,其次这个问题还可以再拓展,即椭圆内接三角形两边斜率之积为非零常数(不等于b2/a2),则第三边恒过定点.文[1]给出定理:"已知Rt△MAN的三个顶点均在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上,其中直角顶点A(x0,y0),则斜边MN所在直线恒过定点     

运用琴生不等式求椭圆内接n边形最大面积

数学通报1990年第8期刊登刘佛明同志的《椭圆一些问题的另一种解法》,刘文虽巧妙地求出椭圆内接n边形的最大面积为nab/2 sin 2π/n.但必须用椭圆与圆之间的变换关系与半径为r的圆内接n边形的最大面积为nr~2/2 sin 2π/n等较多的预备知识.这里简要地给出了求椭圆内接n边形最大面积的新方法. 椭圆     

椭圆内接三角形一个性质的简证及推广

文[1]得出了椭圆内接三角形的一个如下定理．     

封闭二次曲线内接多边形面积最值的推广

文[1]、文[2]分别讨论了封闭曲线（圆、椭圆）内接三角形和内接四边形面积的最大问题，笔者尝试利用琴生不等式和面积射影定理给出另证和推广，供读者参考．     

椭圆的一类内接等腰三角形的个数

2设椭圆的内接等腰三角形满足:①以指定的椭圆短轴端点为顶角的顶点;②顶角大小为α.对于给定的椭圆,显然必有一个两腰关于短轴对称的等腰三角形合乎上述条件.关于这类三角形的最多个数问题,我们有下面的一般性结论.     

椭圆内接n边形的最大面积

《数学通报》87年第三期刊出了“关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积”一文,方法虽属初等,但过于繁琐,三角形与四边形的证明不能统一,更不能推广到内接n边形上来;本刊88年第10期刊出了“椭圆内接四边形最大面积的简证”一文,其中用到了导数的知识,作为用高等数学知识解决初等数学问题的一个例子,倒也值得一提,但要     

圆锥曲线内接三角形定值定点问题的充要条件

文章在文献[1]研究基础上,通过对椭圆中的内接三角形的三边斜率关系与直线过定点问题进行研究,发现有关斜率定值问题与直线定点问题之间的内在等价性,从而得到有关椭圆内接三角形定值定点问题的充要条件,并将其拓宽于双曲线与抛物线中,得到相应的结论,揭示圆锥曲线一类定值定点问题的内在统一性.