数学奥林匹克问题

初265在△ABC中,点M、N分别在边AB、AC上,AM=AN,D、E分别为CM、BN的中点,且BD=CE．求证：AB=AC．     

数学奥林匹克问题

本期问题 高391 如图1,已知H为△ABC的垂心,⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点D1和D2、E1和E2、F1和F2,且D、E、F分别是D1D2、E1E2、F1F2的中点,     

数学奥林匹克问题

初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

数学奥林匹克问题

本期问题初181已知圆内接六边形ABCDEF的各边均不相等,且BACB·DCED·FEAF=1.求证:AD、BE、CF三线共点.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初182找出所有满足下列条件的整数组:(1)a、b、c是正整数;(2)a+b+c=[a,b,c].(范兴亚谷丹北京市第四中学,100034)高181设a、b、c、d为正实数,且满足a2+b2+c2+d2=4.则a+b+c+d≥23(ab+bc+cd+da+ac+bd)≥abc+bcd+cda+dab≥4abcd.(厉倩湖南省长沙市第十五中学,410007)高182如图1,在△ABC中,AB>AC,图1AF、AF′分别是∠BAC及其外角的平分线.以FF′为直径作半圆,点P在半圆上且在△ABC内部.求…     

2012中国数学奥林匹克第一题另证

题目如图1,在圆内接△ABC中,∠A为最大角,不含点A的弧BC上两点D、E分别为弧ABC、ACB的中点．     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 53　如图 1 ,在△ABC中 ,∠C =90°,点D1、D2 在边BC上 ,且∠CAD1=∠BAD2 .求证 :AC2AD1·AD2≤ BC2BD1·BD2.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)初 1 54　已知一个凸 2 0 0 5边形的所有顶点都在边长为 2 0 0 5的正方形内 .证明 :必有两条边的边长之和不大于 8.(王连笑　天津市实验中学 ,30 0 0 74 )高 1 53　若x、y、z都大于 1 ,求证 :x4(y - 1 ) 2 + y4(z- 1 ) 2 + z4(x - 1 ) 2 ≥4 8.(厉　倩　长沙市第十五中学 ,4 1 0 0 0 7)高 1 54　将编号为 1 ,2 ,… ,n(n≥6 )的n个球顺次摆放在圆周…     

数学奥林匹克问题

本期问题 高409 在△ABC中,已知a＋b=3c,其内切圆⊙I与边BC、CA分别切于点D、E,M为D关于点I的对称点,N为E关于点I的对称点,直线AM与BN交于点P.证明：点P在⊙I上．     

数学奥林匹克问题

初249如图1,AB是O的直径,C是AB的中点,M是AC的中点,CH⊥BM于H．求证：     

数学奥林匹克问题

本期问题 初183 在△ABC中，∠ABC与∠ACB均为锐角，点D、E分别在边AB、AC上，DF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G，设BE交DF于点M，CD交EG于点N，BN与CM相交于点P。求证：AP⊥BC。     

数学奥林匹克问题

高366如图1,肘是四边形ABCD外接圆上一动点,AB与DC交于点E,DA与CB交于点F,FM与直线AB、CD分别交于点R、S,EM与直线AD、BC分别交于点P、Q,RQ与SP的交点为置证明：直线MX过一定点．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初197如图1，P是⊙0外一点，过P作⊙0的切线PA（A为切点）及割线PBC，过点B且平行于AP的直线交AC于点D，OP交BD于点M．记BD中点为N，求证：ON┻AM．[第一段]     

数学奥林匹克问题

本期问题初317在△ABC中,记〈A、〈B、〈C的对边分别为a、b、c,AD为么A的角平分线,与BC交于点D,且AD=BC．证明：     

数学奥林匹克问题

本期问题高351如图1,不等边△ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于点D、E、F,A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB的中点,D′、E′、F′分别为点D、E、F在△DEF的边EF、FD、DE上的射影.证明:A′D′、B′E′、C′F′三线共点.     

数学奥林匹克问题

初157 如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点G，△ABC的内切圆与AB切于点E，△ABD的内切圆与AB切于点F．如果     

数学奥林匹克问题

本期问题 初223 如图1,在ΔABC中,点E、F分别在边AB、AC上,BF与CE交于点P,点M、N分别是BF、CE的中点,直线MN分别交 AB、AC于点Q、S.若∠CBF＝∠BCE＝(1)/(2)∠A,证明:BQ＝FS.     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 14 7　如图1,在△ABC中 ,AB=AC ,⊙O是它的外接圆 ,BN平分∠ABC ,N在⊙O上 .点E、F分别在边AB、AC上 ,满足EO⊥BN ,EF⊥EO .求证 :AE2 =BE·AF .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4614 2 )初 14 8　试求出所有的有理数r,使得r3 5r2 -4r 1r-2r2 及r3-3r2     

数学奥林匹克问题

高658如图1,四边形ABCD内接于QO,AC为直径,P为CA延长线上的点,过点C作O0的切线Z,过点D作PD的垂线与直线I交于点E,过点B作PB的垂线与直线I交于点F,DE与BF交于点M,N为EF的中点。证明:ON平分CM.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初189 如图1，在△ABC中，AB：BC：CA=3：5：4，⊙O1、⊙O2是两个互相外切的等圆，且都与边BC相切，其中，⊙O1，又与边AB相切，⊙O2又与边AC相切．已知直线O1O2分别交两圆于点P、Q，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足为M、N.求证：NC=2BM．     

数学奥林匹克问题

本期问题初331如图1,在△ABC中,AC〉AB．AB＋AC=2BC,△ABC的重心、内心、外心分别为G、I、D．证明：