第42届IMO试题1的又一三角证明

第42届IMO试题1是一道平面几何题。题目设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明:∠CAB+∠COP<90°. 文[1]给出了一个构思精巧的纯平面几何证明,文[2]给出一个三角证法.笔者在对该题作出研究之     

第42届IMO第二题的证明与加强

本文给出了第42届IMO第二题的一个简捷证明与一个加强,丰富了权方和不等式的使用功能.     

第42届IMO题6的几何证法

第42届IM0的第6题，是一道脍炙人口的数论题．本提出一种几何法证明，以求教于各位同行。     

第43届IMO第2题探源

第43届国际数学奥林匹克竞赛第2题为: 1.BC为圆Γ的直径,Γ的圆心为O,A为Γ上的一点,0°<∠AOB<120°,D是弧AB(不含C的弧)的中点,过O平行于DA的直线交AC于J,OA     

第52届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第1题． 2．求所有正整数数列x1,x2,…,x2011,使得对于每个正整数n,都存在整数a满足     

第42届IMO第2题的推广

第42届IMO第2题是：对所有正实数a,b,c,证明：a/√（a^2＋8bc）＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1.（1）这是一个形式优美的不等式,文[1]介绍了基于反证法的证明,文[2]给出了一种很简洁的直接证法,笔者读后深受启发,受文[2]启发,本文将不等式（1）进行推广,可得如下：     

第52届IMO预选题（二）

组合部分1．本届IMO第4题．2．设1000名学生围成一个圈．证明：存在正整数k（100≤k≤300）,使得在此圈中存在相邻的2k名学生,满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同．     

IMO40第5题的一种综合证法

第40届IMO第5题:两个圆Γ1和Γ2被包含在圆Γ内,且分别与圆Γ相切于两个不同的点M和N.Γ1经过Γ2的圆心.过Γ1和Γ2的两个交点的直线与Γ相交于A和B.直线MA和MB分别与Γ1相交于点C和D.证明:CD与Γ2相切.     

用一个推广的命题证明第50届IMO第6题

题目 设a1,a2,…,an是互不相同的正整数.M是有n-1个元素的正整数集,且不含数s=a1＋a2＋…＋an.一只蚱蜢沿着实数轴从原点0开始向右跳跃n步,它的跳跃距离是a1,a2,…,an的某个排列．证明：可以选择一种排列,使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合M中．     

一道平面几何题的证明及共改进

《中等数学）2012年增刊（1）刊登的全国高中数学联赛模拟题（2）的加试部分第一题是：     

第42届IMO第2题的推广

第42届IMO第2题是 对所有正实数a,b,c,证明：     

用复数证明几何题与解轨迹题

复数是解决数学问题的主要工具之一，由于复数具有良好的运算性质与明晰的几何意义，因此一些代数与几何问题利用复数来处理较易得到解决。下面我从几何证明与解轨迹题两个方面来具体探讨复数的应用。     

第44届IMO越南国家队选拔考试第4题的简证

题目　M、N、P分别是△ABC的三边BC、CA、AB的中点 ,M1、N1、P1在△ABC的边上 ,且满足MM1、NN1、PP1分别平分△ABC的周长 .证明 :(1)MM1、NN1、PP1交于同一点K ;(2 ) KABC、KBCA、KCAB中必有一个不小于13[1].此题的证明见文 [1] .这里仅给出第 (2 )问的一个简证 .证明 :令△ABC的重心为G ,BC =a ,CA图 1=b ,AB =c ,AM为△ABC边BC上的中线 ,如图 1所示 .则有GA GB GC=0 .又KA =KG GA ,KB =KG GB ,KC =KG GC ,故KA2 KB2 KC2=3KG2 2KG·(GA GB GC) GA2 GB2 GC2=3KG2 GA2 GB2 …     

利用三角函数证明平面几何题

在平面几何题的证明过程中,三角函数的恰当使用也是常用方法．本文仅举几例．     

巧用三角函数证明几何题

平面几何的证明一般都是根据几何公理、定理进行逻辑推理论证 ,似乎与所学的锐角三角函数没有关系。事实上 ,借助于锐角三角函数证明几何题 ,则出奇制胜 ,巧妙之处 ,令人拍手叫绝。现举例如下 :一、求证线段及线段的乘方间的关系图 1例 1.已知 :如图 1,∠BAC=90°,AD⊥ BC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证 :AB3AC3=BECF(教材第二册 5.4 B组第 3题 )证明 :设∠ C =α,则∠ BDE=∠DAE=α在 Rt△ABC中 ,tgα=ABAC,∴ AB3AC3=tg3α;在 Rt△ BED中 ,BE=DEtgα;在 Rt△ CFD中 ,FC=DFctgα;在 Rt△ AED中 ,tgα…