关联三角形四个内切圆的一组等式

定理 设△ABC内切⊙I（r）的三条切线DE／／BC,FG／／CA,HK／／AB,BC=a,CA=6,AB=c,△ADE、△BGF、△CHK内切圆半径分别为ra、rb、rc,△ABC外接圆半径为R,半周长为s,面积为△,则如下八个等式成立：     

一道联赛题的结论及应用

题目如图1,设D是△ABC的边AB上的一点,作DE／／BC交AC于点E,作DF∥AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,求四边形DECF的面积．     

全国部分省市1999年中考数学试题选讲综合题

1．(江苏省连云港市)如图1，△ABC中，BC=4，∠B=45&;#176;，AB=3√2，M、N分别为AB、AC上的点，MN／／BC，并设MN=x，△MNC的面积为S．     

2010罗蒙诺索夫数学奥林匹克

1．解不等式 （√3-√2）^（log2 3）4-x^2≤（√3＋√2）^-（log3 2）^2x-1.2．在等腰△ABC的底边AC上取一点E,分别在两腰AB、BC上取点D、F,使得DE／／BC,EF／／AB．若BF：EF=2：3,问：△DEF的面积占△ABC的面积的几分之几？     

07年第1期问题

73．在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，∠C的平分线分别交AB、AD于E、F，点H在AC上．求证：A、E、D、H四点共圆的充分必要条件是HF／／BC．     

数学问题与解答 2010年第2期问题解答

786．如图1，在△ABC中，已知∠A=60°，I为△ABC的内心，IF／／AC，交AB于F，∠BFP=1/2∠B,点P在BC上，求证：PC=2BP．     

2009年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆网Г上弧BC、AC的中点．过点C作PC／／MN交圆Г于点P,I为△ABC的内心,联结P,并延长交圆Г于点T.求证：     

考考你

如图1所示,已知△ABC中,BC=8,BC 上的高h=4,D为BC上一点,EF//BC上一点,EF//BC交AB于点E,交AC于点F (EF不过A、B)。设E到BC的距离为X,则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致     

三角形中线的一个简单性质及其应用

三角形的中线有一个简单的性质为：三角形的中线分三角形为面积相等的两个三角形。即：如图1,若AD是／△ABC的边BC上的中线,     

三角形平行截线的一个性质及其推广

如图1,在△ABC中,DE／／BC,文[1]给出了结论（S△BDF＋S△CEF）/S△ABC≤6—4√2,本文研究了S△DEF／S△ABC的最值问题,奇妙的是结论竞与黄金分割点有着紧密的联系．     

郑重声明

命题 设ha为△ABC的边BC上的高，D为边BC上的任一点，且r,r1,r2分别是△ABC，△ABD，△ACD的半内切圆半径；设r',r1',r2'分别为对着∠BAC，∠BAD，∠CAD并分别与BC，BD，DC相切的三角形的旁切圆半径。     

三角形中位线定理的活用

三角形中位线定理是几何中的重要定理，关于它的基本应用课本中已有论述，这里不再重复．本文专门介绍它的灵活应用．所谓灵活应用是指题设条件中不具备应用中位线定理的条件，必须通过作辅助线，创造条件用定理．现举几例加以说明．例1如图1，梯形ABCH中，AH／／BC，AD＜BC，E是AC的中点，F是BD的中点．求证：EF／／AD／／BC且EF分析由题设可知，要证FE／／AD／／BCFE／／BC．为此连结AF并延长交BC于G．于是由三角形中位线定理可知，要证FE／／BCFE／／GC、F是AG的中点AF＝FG△AFD≌△GFB　FD＝FB，∠AFD＝∠G…     

谨防“边边角”陷阱

请同学们先看下面的叙述． 已知△ABC为等腰三角形，BC是底边．D是BC延长线上一点．连接AD（如图1），所得△DAC和△DAB显然不全等．     

一个几何极值问题的拓广

正笔者最近遇到这样一道调研试题,原题如下:问题:在直角△ABC中,AC=4,BC=3,点P是斜边AB上不同于A、B的任意一点,点P在直角边AC、BC上的射影分别为E,F,则△PAE和△PBF的面积之和的最小值为____.     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

三角形面积公式在几何证题中的巧用

三角形面积公式S△=21ah是同学们熟知的,由于同学们对它理解不深,觉得它的用处不大.如果在理解它的基础上,将它的一些性质与平面几何的有关知识“串联”起来解决几何问题,就显得简捷巧妙,省时省力.举例应用如下:例1已知,如图1,在△ABC中,DE∥BC,AF为BC边上的中线,且交DE于G.求证:DG=EG.图1分析点F为中点,易知S△ABF=S△ACF,DE∥BC,连结DF,EF,则S△ADF=S△AEF,联想到作高.证明连结DF,EF,分别过D,E作DN⊥AF,EM⊥AF.因为AF为BC上的中点,所以S△AFB=S△AFC.因为DE∥BC,所以S△DFB=S△EFC.所以S△AFD=S△AFE…     

数学问题与解答

666．在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,记 I1、I2、I分别是△ADC、△BCD、△ABC的内心,I在AB上的射影为O1,∠CAB、∠ABC 的平分线分别交BC、AC于P、Q,PQ的连线与CD相交于O2．求证:四边形I1O1I2O2为正方形．证:如图1,不妨设BC≥AC．由题设,有 Rt△ADC∽ Rt△CDB,所以AC/BC=I1D/I2D,又∠I1DI2=90°=∠ACB,从而Rt△DI1I2∽ Rt△CAB,∠I2I1D=∠CAB…………………①     

简证一道联赛题

题如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I工与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D．证明：PD是⊙I的切线．     

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

一道赛题的另证

题目对于任意一个△ABC,记其面积为S,周长为l,P、Q、T依次为△ABC内切圆在边BC、CA、AB上的切点.证明:(第23届韩国数学奥林匹克)证明如图1.设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r.易知,BC=2Rsin A,TQ=AOsin A