一道女子数学奥林匹克题的另证

题目如图1,已知⊙0为△ABC的边BC上的旁切圆,点D、E分别在线段AB、AC上,使得DE／／BC,⊙01为△ADE的内切圆,     

数学奥林匹克问题

初265在△ABC中,点M、N分别在边AB、AC上,AM=AN,D、E分别为CM、BN的中点,且BD=CE．求证：AB=AC．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初327 如图1,在△ABC中,AB〉AC,Go与边BC及AC、AB的延长线分别交于点D、E、F,M是边BC的中点,AH⊥BC于点H,AO分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：四边形MLHK内接于圆．     

数学奥林匹克问题

本期问题 高391 如图1,已知H为△ABC的垂心,⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点D1和D2、E1和E2、F1和F2,且D、E、F分别是D1D2、E1E2、F1F2的中点,     

数学奥林匹克问题

初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．     

关于2003年中国数学奥林匹克第一题

题目　设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1　试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1　三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形…     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 53　如图 1 ,在△ABC中 ,∠C =90°,点D1、D2 在边BC上 ,且∠CAD1=∠BAD2 .求证 :AC2AD1·AD2≤ BC2BD1·BD2.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)初 1 54　已知一个凸 2 0 0 5边形的所有顶点都在边长为 2 0 0 5的正方形内 .证明 :必有两条边的边长之和不大于 8.(王连笑　天津市实验中学 ,30 0 0 74 )高 1 53　若x、y、z都大于 1 ,求证 :x4(y - 1 ) 2 + y4(z- 1 ) 2 + z4(x - 1 ) 2 ≥4 8.(厉　倩　长沙市第十五中学 ,4 1 0 0 0 7)高 1 54　将编号为 1 ,2 ,… ,n(n≥6 )的n个球顺次摆放在圆周…     

2012中国数学奥林匹克

允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1．若可以通过有限多次上述操作将A中元素全变为0,则称月是一个“好矩阵”．求好矩阵A的个数．     

一道数学奥林匹克题的另解

题目 设m是正整数,n=2^m-1,数轴上n个点所成的集合为Pn={1,2,…,n}．     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 14 7　如图1,在△ABC中 ,AB=AC ,⊙O是它的外接圆 ,BN平分∠ABC ,N在⊙O上 .点E、F分别在边AB、AC上 ,满足EO⊥BN ,EF⊥EO .求证 :AE2 =BE·AF .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4614 2 )初 14 8　试求出所有的有理数r,使得r3 5r2 -4r 1r-2r2 及r3-3r2     

2000年中国数学奥林匹克

一、设a、b、c为ΔABC的三条边，a≤b≤c，R和r分别为ΔABC的外接圆半径和内切圆半径．令f=a b-2R-2r，试用角C的大小来判定f的符号．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初183 在△ABC中，∠ABC与∠ACB均为锐角，点D、E分别在边AB、AC上，DF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G，设BE交DF于点M，CD交EG于点N，BN与CM相交于点P。求证：AP⊥BC。     

数学奥林匹克问题

初249如图1,AB是O的直径,C是AB的中点,M是AC的中点,CH⊥BM于H．求证：     

数学奥林匹克问题

本期问题初181已知圆内接六边形ABCDEF的各边均不相等,且BACB·DCED·FEAF=1.求证:AD、BE、CF三线共点.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初182找出所有满足下列条件的整数组:(1)a、b、c是正整数;(2)a+b+c=[a,b,c].(范兴亚谷丹北京市第四中学,100034)高181设a、b、c、d为正实数,且满足a2+b2+c2+d2=4.则a+b+c+d≥23(ab+bc+cd+da+ac+bd)≥abc+bcd+cda+dab≥4abcd.(厉倩湖南省长沙市第十五中学,410007)高182如图1,在△ABC中,AB>AC,图1AF、AF′分别是∠BAC及其外角的平分线.以FF′为直径作半圆,点P在半圆上且在△ABC内部.求…     

一道数学奥林匹克题的另解

题目 如果函数f:N×Z→Z满足下列条件: (1)f(0,0)=1, f(0,1)=1; (2)任意的k｛0,1｝, f(0,k)=0; (3)对每个n≥1和整数k,都有 f(n,k)=f(n-1,k)+f(n-1,k-2n). 试求C22Σ009k=0f(2 008,k)的值.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初197如图1，P是⊙0外一点，过P作⊙0的切线PA（A为切点）及割线PBC，过点B且平行于AP的直线交AC于点D，OP交BD于点M．记BD中点为N，求证：ON┻AM．[第一段]     

数学奥林匹克问题

本期问题初317在△ABC中,记〈A、〈B、〈C的对边分别为a、b、c,AD为么A的角平分线,与BC交于点D,且AD=BC．证明：     

2004中国数学奥林匹克

第一天( 2 0 0 4 - 0 1 - 0 8)一、凸四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,且满足AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1.而点A、B、C、D分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1、E1F1、F1G1、G1H1上,满足E1F1∥EF ,F1G1∥FG ,G1H1∥GH ,H1E1∥HE .已知E1AAH1=λ.求F1CCG1的值. (熊　斌　供题)二、已给正整数c ,设数列x1,x2 ,…满足x1=c ,且xn=xn -1 2xn -1- (n 2 )n 1,n =2 ,3,…,其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列{xn}的通项公式. (黄玉民　供题)三、设M是平面上n个点组成的集合,满足:(1)…     

简证一道西部数学奥林匹克题

题目如图1,AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦,AB与CD交于点E,⊙I内切⊙O于点F,且分别与弦AB、CD切于点G、H过点O的直线l分别与AB、CD交于点P、Q,使得EP=EQ,直线EF与直线l交于点胍证明：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线．     

一道韩国数学奥林匹克题的联想

题目在△ABC中,∠A的角平分线与BC交于点D,D在AB、AC上的投影分别为E、F.设EF的长为lA,同理定义lB、lC．若△ABC的周长为l,证明：