抛物线方程化简的一点补充

贺龙泉同志得到关于一般抛物线方程的化简方法(见浙江师范学院《教学与研究》(中学数学)81年增刊(Ⅰ)《中学数学教学探讨》):设抛物线方程Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0(1)中 B0,A>0,C>0,求它的简化方程.解:因为(1)是抛物线方程,所以 B~2-AC=0,且 A>0,C>0,故可令 A=a~2,C=c~2,B=ac.为化简方程,引入待定系数λ,又记α=2aλ-2D,β=2cλ-2E,γ=λ~2-F,则方     

有心二次曲线的直接作图法

一般二次曲线方程:Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1) 若B~2-4AC≠O,则(1)表示椭圆或双曲线,对这个方程的讨论,是解析几何课程中的一个重要组成部分。而传统的化简方法都采用坐标变换的形式。本文提出一种不经过坐标的平移和旋转,直接在原坐标系中确定对称轴,顶点或双     

有关圆锥曲线弦中点的问题

有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为     

提高学生进行“坐标变换”的计算能力

讲授“坐标变换”的目的是使学生能把一般的二元二次方程。Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)化为圆锥曲线的标准方程(或者是退缩圆锥曲线的方程),从而认识曲线的性质。达到这一目的的关键是如何提高学生的计算能力,使之能“迅速、准确”地完成“化简”工作。统编教材对“坐标变换”内容的处理,在二次曲线一章开头讲了曲线和方程的关系以后,再讲把圆的一般     

二次曲线动弦中点的轨迹方程及应用

定理设二次曲线方程为F(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey +F=0。(1)过平面上任意一定点M(x_0,y_0)(除去曲线的中心)作动直线,与曲线(1)交于P_1、P_2两点,则弦P_1P_2的中点轨迹方程是Φ(x-x_0,y-y_0)÷F_1(x_0,y_0)(x-x_0) ÷F_2(x_0,y_0)(y-y_0)=0(2)并且曲线(1)与曲线(2)同族。其中Φ(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2 F_1(x,y)=Ax+By+D F_2(x,y)=Bx+Cy+E 证明:设过定点M(x_0,y_0)的动直线为     

两类中点轨迹方程的一般形式

在解析几何中,经常要求这样两类中点轨迹方程:第一类是求一个定点与二次曲线上任一点的连线的中点轨迹方程;第二类是过一个定点作二次曲线的弦,求弦中点的轨迹方程。本文准备给出这两类中点轨迹方程的一般形式,利用它们,可以直接写出要求的轨迹方程。设一般二次曲线的方程为 Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0其中A、B、C不全为零。为了方便起见,我们设f(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F,这样二次曲线的     

圆锥曲线弦的中点

解析几何中,涉及圆锥曲线弦的中点问题很多。传统的解答方法是:将弦所在的直线方程,代入圆锥曲线方程,再应用韦达定理。但这样解常常导致冗长的运算,也没有体现弦中点的本质特征。那么,圆锥曲线弦中点究竟有哪些本质含义呢?现试阐述如下。一、弦中点决定所在弦的斜率由于现行教材中,把含交叉项xy的二次曲线:Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0,作为选学内容,所以本文着重研究B=0的情况。定理一:设P_1P_2为圆锥曲线C_1:Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦,M_0(x_0,y_0)为弦P_1P_2中点,k为弦斜率,若k存在,     

用待定系数法化简二次曲线

化简二次曲线的经典方法,在一般教科书里都已有详细的叙述。但这一方法在使用时比较麻烦,所以有许多文章提出了不同的替代方法。还曾经有人提出过完全配方法化简二次曲线的设想。诚然,倘能如此,那是最为方便的了。但是,对有心二次曲线进行配方,遇到了很大的困难。作者研究了这种困难之所在,提出两个关于二元二次多项式的恒等式,并利用它来进行配方,以达到化简二次曲线的目的。设二次曲线方程为 f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F (1) 若B=0,则可对x、y分别进行配方,即可达到化简的目的。所以以下假定B≠0。一、关于(1)的两个恒等式 I.当B~2-4AC≠0时,存在一组实数     

一个有趣的直线方程

在平面解析几何中,我们知道二元二次方程 Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (L)其中A、B、C不全为零,表示二次曲线。设在二次曲线(L)的同一平面上有已知点P(x_0,y_0),按如下置换法则;以P点的坐标(x_0,y_0)与二次曲线(L)     

两条特殊直线的用途

在解析几何中,利用导数求曲线的切线、法线、极值及研究曲线的形状是十分方便而有效的方法。本文试从导数入手,通过探讨两条直线的几何性质,研究二次曲线的中心位置及弦的中点轨迹方程(本文所指二次曲线均为非退化型)。设给定二次曲线方程为: f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=D……(1) 若把y看为常数,方程两边对x求导数,得到一条直线方程为: L_1:f_x=ZAx+By+D=0     

一类直线方程的四种求法

解析几何里有这样一类问题:过二次曲线 C:F(x,y)≡Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部〔指包含焦点的平面区域(不包括周界)〕已知点 M(x_0,y_0)作直线与曲线C 相交于两点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得 M 点平分弦 AB.例.过二次曲线 C:14x~2+24xy+21y~2-4x+18y-139=0内一点 M(1,-2)作一直线,使截得的弦被 M 点平分。求此直线的方程。     

二次曲线中点弦方程

二次曲线上任意两点连线叫做弦,以P(x_0,y_0)为中点的弦称为二次曲线关于P的中点弦.我们知道,若P不为有心二次曲线的中心,则P的中点弦是唯一的. 定理设P(x_0,y_0)为二次曲线Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0内部一点(异于中心),则P的中点弦所在的直线方程为     

巧用曲线系法 速解四点共圆

<正>一、二次曲线系基础知识二次曲线的一般方程为Ax²+Bxy+Cy2+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0,由此很容易得到下列结论:(1)已知四边形四条边的方程为l_i:A_ix+B_iy+C_i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线系方程为l_1l_3+λl_2l_4=0(λ∈R),如图1。     

一类直线方程的求法初探

在平面解析几何里有这样一个问题:过二次曲线 Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0……①的内部(不含周界)一点 P(x_0,y_0)引一弦 MN(如图1),使它恰在这一点被平分,求此弦所在直线的方程。解决这一问题的方法较多,通常的方法是利用“韦达定理”消去参数,以求得直线的斜率,或利用中点坐标公式,但这样做计算繁复,且易出错。下面介绍一种简便的方法。将方程①的两边对 x 求导,得     

二次曲线中点弦所在直线方程的求法

已知二次曲线方程为:F(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0,若以点P(x_0,y_0)为中点的二次曲线的弦存在,求这弦所在的直线方程,是解析几何里常见的一类问题。本文旨在给出这弦所在直线方程的四种求法。 方法一,设所求直线方程为y-y_0=k(x-x_0)将y=k(x-x_0) y_0代入二次曲线方程,整理得:(A BK CK~2)x~2-[2Cx_0k~2 (Bx_0-2Cy_0-E)k-(By_0 D)]x [Cx_0~2k~2-(2Cx_0y_0 Ex_0)k (Cy_0~2 Ey_0 F)]=0     

由圆锥曲线的一般方程求其离心率

设二次方程Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0所代表的图形为f(实的或虚的).形式地设f的一个焦点为F(a,b).它对应的准线的方程为:xcosα+ysinα-P=0.离心率为e,于是f的方程又为:     

化简二次曲线一种易行的方法

一般二次曲线 f(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F =0 ……①(系数为实数,且A、B、C不全为零)的化简与作图问题,是解析几何的一个重要问题,也是一个已经得到解决的问题。但是用一般教科书上给出的坐标变换的方法求解或求作的过程都比较长,而且计算复杂。因此寻求化简二次曲线的比较简捷易行的办法,就成了近来关于解析几何学讨论较多的问题之一。《中学数学教学》1978第2期刊载的郎永发同志的文章中提出利用二次曲线的某些几何不变量,用直线束“扫描”的办法,直接求得化简后的方程,比较新颖,对某些     

圆锥曲线方程导函数y′=-(2Ax+By+D)/(Bx+2Cy+E)的妙用

在教解析几何圆锥曲线这部分内容时,发现圆锥曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0(本文中所指圆锥曲线方程都是指该方程)的导函数y’=(2Ax+By+D)/(Bx+2Cy+E)在解某些解析几何题目中有其广泛的应用。而且有些类型不同的题目可以得出形式类同的解答来。     

一类直线方程的统一求法

贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求     

平面上两点关于直线或二次曲线位置关系的判定

设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0.