例谈恒成立问题的几种求解策略

<正>近几年高考题中多次出现在给定条件下某些结论恒成立的问题,但学生解答错误较多.恒成立问题常涉及到函数、导数、方程、不等式等知识,渗透多种数学思想,已成为全国各地高考的一个热点.本文通过几个例题来探究这类恒成立的问题的基本求解技巧,以供学习者参考.一、分离变量例1(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,     

浅议切线分隔处理含参不等式——以2017年全国卷导数压轴题为例

<正>深入研究2017年全国卷导数压轴题中的不等式求参问题,对比常规解题方法,借切线分隔处理含参不等式,解答更显简洁与灵动.题1(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ax~2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)略.常规解答(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.     

利用导数求参数范围

利用导数求参数范围的问题,既有函数的抽象性、灵活性,又有导数运算及分析的工具性,是考查数学素质的好题,也是近几年高考的一个新亮点.例1(2005年山东高考题)已知函数f(x)=mx3-3(m 1)x2 3(m 2)x 1,其中m<0.当x∈[-1,1]时,f(x)是单调函数,且函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜     

例谈“设而不求”在导数问题中的应用

<正>由于导数在函数的图象、性质及其应用过程中所具有的基础性、工具性作用,近几年来关于导数及应用的考查已成为全国卷的压轴内容.而导数的大多数应用问题都以研究函数的零点,即方程的解为基础,当判定方程有解,但其解不能求或不易求解时,学生往往束手无策.下面结合实例谈谈"设而不求"法在解决此类问题中的应用.例1(2012年全国高考题)设函数f(x)=e^x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;     

2019年全国卷Ⅰ文科第20题的解法赏析和启示

2019年全国卷Ⅰ文科数学卷第20题难度较大,题型较新颖,没有考查常规的一次型、二次型函数与指对数函数的结合,而是考查了三角函数和导数结合.这种题型对学生思维的广度和深度要求较高,注重了数学学科核心素养的考查,也为高三复习中教与学提供了良好的导向性.第(2)问涉及含参数的不等式恒成立问题,这类题型常出现在历年的高考题中,学生不易找到合适的解决问题的途径.题目如下:已知函数f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.     

一类与三角函数交汇的导数压轴题解法探究

高考导数压轴题由于其思维难度大,对数学运算、数学建模、数学抽象、逻辑推理等核心素养的能力要求高,一直以来许多学生都难以突破,本文以与三角函数交汇的一类导数压轴题为例来对其解法进行探究.1.利用三角函数的有界性,即sin x≤1和cos x≤1,作为解题的突破口例1(2019全国卷20题)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间(-1,π2)存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.     

一类导数题型解法初探——一道高考题的多种证法及推广

<正>以下是2011年辽宁的一道高考题.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(1)(2)略;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f'(x0)<0.本题考察了形如f(x)=plnx+mx2+nx+c(p,m,n,c∈R)的导数题型.对导数问题,高考重点考查两方面内容:(1)函数的单调     

例谈高考导数解题类型

导数是高中数学新教材的内容,它作为解题有力的工具使某些问题的求解变得简便.本文选取2004年全国的高考试题,举例介绍应用导数解答高考题的常见类型,供大家参考.　　一、求曲线的切线例1 　曲线 y=x3 -3x2 +1 在点(1,-1)处的切线方程为(　　).A.y=3x-4　　　　B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=4x-5解析 　由函数 f(x)=x3 -3x2 +1 导数为f′(x)=3x2-6x,f′(1)=-3,因此得(1,-1)处的切线方程为:y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.二、研究函数的单调性例2 　已知a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.解析 　函数 f(x)的导数 f′(x)= 2xeax +ax2e…     

一道2019年高考导数解答题的探究

<正>1 试题(2019年高考全国卷Ⅰ,文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.试题以三角函数为背景,考查了正(余)弦函数的性质、函数零点、含参数不等式恒成立以及导数在解决函数问题中的应用,考查了学生分析问题与解决问题的能力以及数形结合、设而不求等数学思想方法.试题与函数、     

导数问题的高考题型及解法解读

在近几年的高考中,对导数问题的考查力度正在逐年增加,不仅题型在变化,而且设置问题的难度、深度与广度也在不断加大,将导数与其它数学知识的结合已成为高考题的一道靓丽的风景线. 一、对导数定义和求导法则的考查 例1.设函数f(x)=2/x+1nx,则() Ax=1/2为f(x)的极大值点B.x=1/2为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 解:∵f(x)=2/x+1nx(x＞0),∴f'(x)=-2/x2+1/x,由f'(x)=0解得x=2. 当x∈(0,2)时,f'(x)＜0,f(x)为减函数;x∈(0,+∞)时,f(x)＞0,f(x)为增函数,∴x=2为f(x)的极小值点,所以选D. 点评:本题考查了利用导数确定极值点问题,但首先要利用求导公式对函数顺利求导,才能快速作答.     

从f'(x)=0谈起

<正>导数是解决函数图象、性质以及方程不等式等问题的有力工具,是数学高考重点之一.f'(x)=0的根是利用导数分析函数性质过程中最为核心的量,它关联着函数的单调性、极值(最值)等,但某些函数的导数为零时,根不易求得,成为解题过程中的难点.我们举例探究对非常规零点的求解或使用,寻求恰当处理方式,以便对后续问题的解决铺平道路.一、方程f'(x)=0无实数根例1(2016年北京高考题)设函数f(x)     

新课程高考命题的四大新亮点

新课程高考与统编教材高考区别何在 ?本文总结出了新课程高考“两大新应用 ,两大新结合”的四个新亮点 :( 1 )两个新应用 :①导数的应用 ;②空间向量的应用 .( 2 )两个新结合 :①平面向量与解析几何的结合 ;②排列组合与概率统计的结合 .一、导数的应用导数是数学史上一个重要发明 ,中学数学引入导数 ,相应的数学方法及工具更加丰富 .特别是运用导数研究函数性质是新课程高考命题的热点 ,主要是切线问题、单调性问题、极值最值问题等 .【例 1】　 ( 2 0 0 3年全国高考新课程卷 )设a >0 ,f(x) =ax2 +bx+c ,曲线y =f(x)在P(x0 ,f(x0 ) )处切…     

2004年高考中与导数有关的试题

例1(2004年重庆高考题)设函数f(x)=x(x-1)·(x-a),a>1,求导数f'(x),并证明有两个不同的极值点x1、x2.解析f'(x)=3x2-2(1+a)x+a.令f'(x)=0,得方程3x2-2(1+a)x+a=0.因Δ=4(a2-a+1)≥4a>0,故方程有两个不同的实根x1、x2.设x10;当x1x2时,f'(x)>0,因此,x1是极大值点,x2是极小值点.例2(2004年全国高考题)已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.解析函数f(x)的导数:f'(x)=3ax2+6x-1.(Ⅰ)当f'(x)<0(xR)时,f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(xR)a<0且Δ…     

导数问题中的常见错误及启示

导数问题中的极值点问题、由单调性求参数范围问题、曲线的切线问题、利用导数画函数图像及求值域问题等常会出现错误。一、极值点的判断问题例1(2012年江苏省高考题第18题):若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则x0称为函数y=f(x)的极值点。已知a,b是实数,1和     

高考中导数问题的转化策略——源自高考题的思索

<正>函数导数问题几乎占领了各省高考题中的压轴题的位置。思维的多样性往往让倒数题目无定法可循,让考生常常一头雾水,难于求解。本文就从高考题出发,做了探索,供在备考中的师生思考。一、引入问题例1.(2012年山东高考)已知函数f(x)=(lnx+k)/e~x(k为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;     

一道高考试题的解法探究与启示

<正>一、试题呈现与简评试题(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.本试题两个小问,文字量少,表述精炼清晰,呈现平和自然的态势.深化能力立意一直是高考数学命题的追寻目标,本试题立意鲜     

2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

如何应用导数证明不等式

<正>导数是新课标教学的重要内容之一,每年高考卷几乎都有一道与导数有关的压轴题,反映了导数的重要性,也使数学方法更加丰富.新课标试卷将导数与传统的不等式结合,是一种新颖的命题模式,体现了导数作为工具,可以很方便地分析和解决一些函数问题.以下介绍几道运用导数方法证明不等式的例题.例1(2013年全国高考题)已知函数f(x)=e^x-ln(x+m)当m≤2时,证明:     

由一道高三质检题看两类数学题解法的探究

2016年云南省某市高中毕业生第一次教学质量检测理科数学第21题为: 题目 已知函数f(x) =2ln x-ax+a(a∈R). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若(V)x∈(0,+∞),f(x)≤0,证明:当0＜x1 ＜x2时, f(x2)-f(x1)/x2-x1＜2(1/x1-1). 这是一道构思精巧的函数与不等式的综合题,着重考察导数在研究函数的性质以及证明函数不等式中的综合运用,试题呈现起点低、落点高,知识综合性强,对考生能力要求高的特点.考后分析知试题的第(Ⅱ)问得分率非常低,可见该题实属不易.由此引发笔者对该问题解法分析和背景溯源以及由此引出的两类高考题解法探究的一些思考.     

导数的应用典型错误解析

导数作为一种工具,在解决数学问题时极为方便,尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程,但是笔者在教学过程中,发现导数的应用还存在许多误区.一、导数的定义理解不清【例1】已知函数f(x)=logax 1,求li mΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx.错解:因为f(x)=logax 1,∴f′(