悄然兴起的阿基米德三角形

抛物线的弦与弦的端点处的两条切线所围成的三角形被称作阿基米德三角形．阿基米德最早利用逼近的思想证明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二．近几年高考试题中悄然兴起了阿基米德三角形,并体现了该三角形的性质和应用．可以预见,今后围绕该三角形的高考试题还会出现,引导学生归纳该类试题的解法,形成模式,势在必行．     

抛物线的阿基米德三角形题源例析

抛物线的阿基米德三角形问题是高考圆锥曲线的热点问题,本文通过整理抛物线阿基米德三角形的各种性质及其命题角度,探究各种同源问题的命题规律和解题方法.     

圆锥曲线与类阿基米德三角形的三个命题

<正>圆锥曲线弦的两个端点和这两个端点处切线的交点所构成的三角形叫阿基米德三角形,这条弦叫阿基米德三角形的底,两切线的交点叫阿基米德三角形的顶点^[1].如图1,以抛物线为例,现将阿基米德三角形顶角P收缩,使得PA、PB与抛物线分别相交于E、     

探究一类阿基米德三角形的三心的轨迹

抛物线的弦与过弦的两个端点的切线所围成的三角形通常称为阿基米德三角形,阿基米德三角形以其深刻的背景和丰富的内涵有着无穷的魅力,备受高考命题者的青睐.阿基米德三角形在高考题中常考常新,正是源于其丰富的背景和性质,本文探究一类阿基米德三角形的重心、垂心、外心的轨迹问题,并给出证明.     

再探过焦点的阿基米德三角形的性质与应用

<正>圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.阿基米德三角形以其深刻的背景、丰富的内涵产生了许多有趣的性质，过焦点的阿基米德三角形的性质更是受到命题专家和数学爱好者的青睐.文^[1]介绍了过焦点的阿基米德三角形的两个性质，在此基础上，文^[2]得出了更一般性的结论.经过研究发现，此类过焦点的阿基米德三角形还具有另外三个优美性质及其应用.现先给出以下两个引理.引理1若P(x0,y0)是椭圆C:外任意一点，     

抛物线y=ax^2的若干性质

如所周知,将抛物线 y=ax~2(a≠0 (1)平移,可得抛物线y=ax~2 bx c (2)我们将顶点在抛物线上的三角形叫做抛物线的内接三角形.性质1 若抛物线(1)和(2)的内接△A_1A_2A_3和△B_1B_2B_3的顶点的横坐标分别相等,则这两个三角形的面积相等.证明:设顶点的横坐标依次为 x_1,x_2,x_3,由     

基于高考真题的高三微专题教学设计——以“阿基米德三角形的性质”为例

近年高考解析几何解答题多以椭圆、抛物线为背景命题,大量的高考真题使得教师在复习备考中有充分的资源进行变式教学.以抛物线为例,阿基米德三角形的性质是解析几何中的热门话题,其以几何性质为背景,综合运用解析几何与函数导数知识,充分体现高考“四翼”考查要求,对阿基米德三角形的性质作进一步的研究对于提高学生对抛物线几何性质的认识以及培养他们数学美学意识是必要的、有益的.     

巧构竖直线段 妙解最值问题

<正>在一次函数和二次函数的综合性问题中,有一类是与抛物线上的一个动点有关的线段、线段之和、三角形的周长和三角形的面积最值相关．我们可以过抛物线上的动点作y轴的平行线与直线相交,构造竖直线段,再设出动点的坐标并表示出竖直线段的长度,最后借助三角函数、相似三角形的性质或三角形的面积公式,将线段、线段之和、三角形的周长和三角形的面积转化为与竖直线段有关的二次函数,并利用二次函数的性质来解决．     

阿基米德三角形的一个性质与圆锥曲线光学性质的邂逅

本文围绕抛物线中的阿基米德三角形的一个与角度相关的性质展开,揭示了该性质与抛物线的光学性质的关系.并将这一结论推广到椭圆和双曲线中.     

抛物线内接三角形的面积

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当b2－4ac＞0时，它的图象与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且两交点间的距离，图象与y轴的交点为D（0，C），抛物线的顶点为，抛物线上任意一点为P（xp，yp）.抛物线内接三角形，就是顶点在抛物线上的三角形，其面积问题已成为中考数学压轴题的主要题型之一．这类问题一般有以下几种类型．一、以抛物线与x轴的两个交点A、B和抛物线的顶点C为顶点的三角形，其底边长是抛物线与x轴两支点问的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值，三角形的面积为例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象…     

阿基米德三角形的性质及其应用

<正>一、问题的由来引例(2019年全国高考题)已知曲线C:y=■,D为直线y=■上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明:直线AB过定点;(2)略.答案:AB过定点■过程略.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形称为阿基米德三角形,该弦称为阿基米德三角形的底边.阿基米德三角形以其深刻的背景、丰富的内涵产生了无穷的     

与抛物线“同行”的图形面积问题

<正>与抛物线"同行"的图形面积问题在高考数学试卷中经常出现.解答它们,除了灵活利用抛物线性质和面积公式外,还要注意点的坐标特征以及如下有关的知识:1.求三角形的面积,需要寻底找高,求相应两条线段的长度.为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接表示的底(或高).2.求不规则的多边形的面积,通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于底和高不便于计算的三角形,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.3.灵活进行多个图形面积关系的转化.转     

抛物线与三角形的面积

抛物线与三角形面积的知识相综合的问题涉及代数、几何的许多定理公式,有一定的难度.本文举例谈谈这类题的解法.顶点都在抛物线y=ax2 bx c上的三角形,其面积的求法,常见的有以下几种类型:1.以抛物线与x轴的两个交点和抛物线顶点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴的两交点间的距离,高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值,其面积为S△=12·b2-4ac√a·4ac-b24a.2.以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线与y轴的交点的纵坐标的绝对值,其面积为S△=12·b2-4ac√a·｜c｜.3.以抛…     

数列极限（第一课时）教学设计

用幻灯呈现出图1．1，图1．2及问题(师问)：我们会求直角三角形AOB的面积，如果把斜边OB改为抛物线段OmB，那么如何求曲边三角形AOB(即阴影部分)面积?     

1993年江苏各市中考数学试题综合题选解

1 抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)过A(0,3)、B(5,-7)两点. (1)如果抛物线开口向下,且它的对称轴在y轴的右侧,求a的取值范围; (2)当a为何值时,抛物线与x轴的两个交点之间的距离最小?此时抛物线顶点与这两个交点构成的三角形面积是多少?(镇江市)     

抛物线双切三角形的性质初探

我们知道，过抛物线y^2=2px（p〉0）上不同的3个点Ai（xi，yi）（i=1，2，3）作切线可围成△B1B2B3（如图1），则△A1A2A3和△B1B2B3分别被称作抛物线的切点三角形和切线三角形（简称“抛物线双切三角形”）．这样，以抛物线、切线、三角形等知识为线索，可构造出一类“抛物线双切三角形”的相关问题．本文拟对此类问题的性质作初步探讨，与大家共赏．     

一类抛物线内接三角形的面积

所谓抛物线内接三角形，就是指三个顶点同在一条抛物线上的三角形．在初中阶段，常见的抛物线内接三角形顶点的位置比较特殊，一般是以抛物线与x轴的两个交点（假定存在）及该抛物线上任一异于这两个交点的点作为三角形的顶点．纵观近几年中考题，涉及到这类抛物线内接三角形面积的题目甚多，用通常的方法来解，一般比较麻烦且容易出错．为此，本文将给出此类抛物线内接三角形的面积公式并说明其应用．一、面积公式设P（。。·yo）Uo羊0）是抛物线），一a。’Wbx＋c（a一则上一．Q、，并假定西一b‘一4ac＞0，即该抛物线与x轴有两个交。欠…     

过抛物线顶点的内接三角形的一个性质

性质：直线,交抛物线y^2=2px（p〉0）异于顶点O的两点A、B,（1）若直线,与x轴交点在原点与点（2p,0）之间,则抛物线内接三角形AOB为钝角三角形;（2）若直线,与x轴交点为（2p,0）,则抛物线内接三角形AOB为直角三角形：（3）若直线,与x轴交点在点（2p,0）右侧,则抛物线内接三角形AOB为锐角三角形。     

抛物线焦点弦三角形的几个性质

以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，叫做抛物线焦点弦三角形．抛物线焦点弦三角形中，焦点弦称为它的焦点弦边，其余两边称为它的顶点弦边．本文给出抛物线焦点弦三角形的几个性质。     

解题计算应力求算路简而短

问题1已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交于点K,已知|AK|=槡2|AF|,三角形AFC的面积等于8.(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)过该抛物线的焦点做两条互相垂直的直线l1,l2与抛物线相交得两条弦,两条弦的中点分别为G,H,求|GH|的最小值.批阅同学们的试卷,发现第2问解答的思路惊人的一致,并且思路是完全正确的.但由于运算量较大,大部分同学没能完成,有些