基于“手拉手”模型构造“旋转”相似三角形

<正>同学们在七年级下学期学习全等三角形知识时接触过“手拉手”模型,如图1,△ABC和△ADE是共顶点三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,连接BD,CE,则△BAD≌△CAE.在此基础上,到了八年级下学期,在学习了图形的相似后,上述“手拉手”模型就可运用于相似三角形中,如图2,如果将一个三角形放大或缩小后绕着一个顶点进行旋转,这个图形的旋转就是相似变换,得到的两个三角形就是旋转相似三角形,即△ABE∽△ACF．证明如下:     

2003年3月号“211杯”初中三角形与相似形知识竞赛答案

一、１．７＜AC＜１７２．８１°３．（６√－２）∶２４．等边５．１∶６二、６．C７．B８．A９．C１０．A三、提示：由S△ABP＋S△ACP＝S△ABC易证得PD＋PE＝CF．当P在BC延长线上时，由S△ABP－S△ACP＝S△ABC易证得PD－PE＝CF．四、提示：易证得△PAB∽△P'BC∽△QCD∽△Q'DE∽△REF∽△R'FA和S△PAB＋S△QCD＋S△REF＝S△P'BC＋S△Q'DE＋S△R'FA，再结合相似三角形的性质和等比定理可证得结论．2003年3月号“211杯”初中三角形与相似形知识竞赛答案…     

解相似三角形问题时构建“共顶点旋转”模型

<正>在解答初中几何问题时,需要同学们快速识别模型,然后利用模型常用的解题思路进行解题．初中阶段解相似三角形时,构建“共顶点旋转”是重点使用的模型．一、模型的介绍如图1,△ABC和△ADE有共同的顶点A,点D在AB上,点E在AC上,将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度后,连接BD,CE,得到△ABD∽△ACE．此类共顶点旋转模型,还可以看作一个三角形绕着一顶点旋转后的缩放,在作辅助线时,只要找到对应点然后连线就可以,如图1中就是B连D,C连E.     

一个几何图形性质的认识──兼谈要重视培养探索能力

探索能力是数学能力的重要因素之一．因此．同学们在数学学习中，要重视培养自己的探索能力．例如，学完《相似形》一章的知识后，应用直角三角形和相似三角形的知识，便可探索和认识下面一个几何图形的性质：如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，由此可推出什么结论？由直角三角形的性质可知Ａ＝ＢＣＤ，Ｂ＝ＡＣＤ．再根据相似三角形的判定定理，得△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ∽△ＣＢＤ．由相似三角形的性质，得应用比例的性质，由（１）、（２）、（３）得（４）ＡＣ２＝ＡＢ·ＡＤ；（Ｓ）ＢＣＺ一ＡＢ·ＢＤＩ（６）ＣＤＺ—ＡＤ·…     

活用面积比 巧证几何题

在一些涉及相似三角形的几何证明题中，有关面积之比的重要性质在证题中发挥着重要的作用．灵活运用面积比，可以巧证几何题．例１如图１，已知：△ABC中，∠C＝９０°．求证：AC２＋BC２＝AB２．这是大家熟悉的勾股定理．它的证明方法很多，利用相似三角形的面积之比进行证明，是其中一种较好的证明方法．证明：作CD⊥AB于D．∵∠ACB＝９０°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．∴S△ACDS△ABC＝AC２AB２，S△CBDS△ABC＝BC２AB２．∴AC２AB２＋BC２AB２＝AC２＋BC２AB２＝S△ACD＋S△CBDS△ABC＝１，∴A…     

不同的描述 不同的含意——谈相似三角形问题

<正>相似三角形是初中数学的核心知识.我们在描述两个三角形相似时,要注意不同的描述有不同的含意.一、若用符号"∽"描述,则各边的对应关系确定,此时相关问题有唯一解例1 已知:如图1,在△ABC和△AED中,AB=6,AC=9,AE=2,△ABC∽△AED.求AD的长.分析与解本题中,对两个三角形相似的描述直接使用相似符号"∽",这时两个相似三角形的各对应点是固定的.即△ABC的顶点A、B、C分别对应△AED的顶点A、E、     

一道值得重视的例题

翻开数学辅导书或模拟试卷,会发现许多练习题、测试题都直接或间接地用到了人民教育出版社出版的《几何》第三册第36页例2的知识,有的就是它的变形.因此,加深对该例题的理解,有助于我们提高证题能力.一、分析该例题的证题思路例如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径.求证:AB·AC=AE·AD.简析:求证比例式,首先应考虑构造两个相似三角形,因为以AC、AD、DC为边的三角形为直角三角形,又考虑到AE为直径,故而想到连结BE(或CE),证△ABE∽△ADC(或证△ACE∽△ADB)即可.证明略.二、拓展及练习1.如图2,△ABC内接于⊙O,AB=AC…     

寻找(或构造)相似三角形的方法

应用相似三角形的性质证明线段成比例和角相等 ,是几何证题中的重点和难点 ,其关键在于能否在复杂的几何图形中迅速而正确地找到 (或构造出 )所需要的三角形 .下面就此谈几点认识 ,供同学们参考 :一、熟悉相似三角形四种基本类型相似三角形的常见的四种基本图形分类总结如下 :( 1)平行线型 :如图 1,D E∥ BC,则△ AD E∽△ ABC图 1( 2 )相交线型 :如图 2 ,已知∠ 1=∠ B,则可由公共角或对顶角 ,得△ A DE∽△ ABC图 2图 3图 4( 3)旋转型 :如图 3,已知∠ BAD =∠ CAE,则△ A DE绕点 A旋转一定角度后与△ ABC构成平行线型相似三角…     

运用“三等角模型”破解一类中考题

<正>2011版《数学课程标准》提出了模型思想.模型思想是一种基本的数学思想,它在初中数学教学中有着重要意义.几何模型的重要性体现在,能够使我们在解决相关问题时迅速找到思维的切入点,少走弯路.本文介绍"三等角必相似几何模型"的应用.一、建立模型模型1如图1,点E在线段AB上,∠CED=∠A=∠B=α,则△ACE∽△BED.证明因为∠BEC是△ACE的外角,所     

一道数学竞赛题的多种解法

(1999年山东省初中数学竞赛)如图1,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E,已知AC：AB=R．求AE：EC．分析：由已知AC：AB=R,可求出BD：DC的值．根据Rt△ABD∽Rt△CBA,Rt△CAD∽Rt△CBA,可得AB2=BD·BC,AC~2=DC·BC,从而求得(BD)/(DC)=(AB~2)/(AC~2)=1/R~2,所以(BD)/(BC)=1/(1+R~2),然后再求AE：CE的值．我们知道要求比值,一般需借助于平行线,     

一个新定理的推广

[1]中证明了如下命题：命题 如图1,△ABC各角顶点与对边三等分点的连线中,相邻两边交于P、Q、R．则△PQRC∽△ABC,且相似比为1：5．     

三角形全等的一种证明方法及其应用

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形 ,这里的“全等” ,实质上就是要求它们不仅形状相同 ,而且大小一样 ,从“全等”的表示符号“≌”分析更是如此 ,“∽”表达了其形状相同 ,即“相似” ,“ =”表达了其大小一样 ,即“等积” .所以 ,全等三角形就是既相似又面积相等的三角形 .于是 ,我们有定理　两个三角形全等的充分必要条件是这两个三角形相似且等积 .证明　充分性 :设△ＡＢＣ ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′且△ＡＢＣ =△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,又△ＡＢＣ ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,可得　　　 ＡＢＡ′Ｂ′=ＢＣＢ′Ｃ′ =ＣＡＣ′Ａ′=ｋ　 (ｋ>0 )且 △Ａ…     

非相似三角形中成比例线段定理

非相似三角形中成比例线段定理安徽省舒城秦桥中学金耀辉相似三角形的对应边成比例是众所周知的，然而在符合某些条件下的非相似三角形中也有成比例线段．如图１，△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，则ＡＢＤＥ＝ＢＣＥＦ，如果ＡＢ≠ＢＣ，不妨设ＡＢ＞ＢＣ，我们把图１中△ＡＢＣ的Ｂ...     

对一道中考数学综合题的分析及反思

原题呈现对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.例如,如图1,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同,因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似;如图2,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与A B C A环绕的方向相     

比例式、等积式及其相关几何式的证明

有关比例式、等积式的证明 ,是平面几何的常见题型 .本文举例给出解决这类问题及与之相关的几何式的思考方法 .1　基本比例式与等积式的证明思路 1　直接寻找相似三角形或被平行线分成的比例线段 ,或其它能给出比例式或等积式的定理的图形条件 .　　　　　图 1例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的外角平分线交直线ＢＣ于Ｅ ,交△ＡＢＣ的外接圆于Ｆ(图 1) ,求证 :ＡＢ·ＡＣ=ＡＥ·ＡＦ .思考　将求证式　　　　　图 2写成 ＡＢＡＥ =ＡＦＡＣ.可按竖向寻找相似三角形 ,证△ＡＢＥ ∽△ＡＦＣ ;也可横向寻找相似三角形 ,证△ＡＢＦ ∽△ＡＥＣ .例 2…     

“相似”与“∽”不一样

当△ABC∽△A1B1C1时,其对应边、对应顶点、对应角都唯一确定,但当仅给△ABC与△A1B1C1相似时,其对应元素并不确定,下面举例说明,供参考．     

旋转相似巧构图 导角导边妙突破——由2020武汉中考数学第23题引发的反思

相似三角形的综合运用始终是初中数学中考的热点和难点.近期初三期末复习中,出现2020年武汉中考数学试卷中的第23题,通过阅卷分析,其中第(3)小题学生得分率接近为零.学生觉得不容易上手,难以找到解题思路.教师讲授时也感觉难以讲透彻,教学效果不明显.原题如下:1原题呈现(2020武汉试题23题)问题背景:如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.     

一道课本习题的变身

课本相似三角形的判定一节中有这样一道习题:正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD上,且BE=EC,DF=3FC(如图1),求证:△ABE∽△ECF·教学中我们发现,本题不仅有丰富的结论,而且将本题适当地变形变化,还能得到很多精彩的好题·近年的中考试卷中也不断出现以此题为蓝本而进行改编、创新的试题·以下选取几例来解析,让我们一起感受数学的精妙,沐浴数学思想的光辉·     

用方程解比例线段的计算问题

例 1 .已知 :如图 1 ,正方形 ABCD的边长是1 ,P是 CD边的中点 ,点Q在线段 BC上 ,当 BQ为何值时 ,三角形 ADP与三角形 QCP相似 ?(2 0 0 2年云南曲靖市中考题 )分析 :设 BQ=x,则两直角三角形相似有两种可能 :(1 )当 Rt△ADP∽ Rt△QCP时 ,有 ADQC=PDPC;(2 )当 Rt△ ADP∽ Rt△ PC     

提炼基本图形,妙解旋转问题——对一类旋转相似三角形的探究

在习题课的教学中,要提高课堂教学的有效性,关键要教给学生将复杂问题简单化,在较短的时间内抓住问题的本质,这样可以达到举一反三、触类旁通的目的.这一切都需要教师在教学过程中不断地培养学生发掘、提炼、总结基本图形,以达到"做一题,通一类,会一片"的效果,从而提高学生的数学素养和创造性地解决问题的能力.本文展示一类旋转相似三角形在解题中的广泛应用.基本图形:(上海教育出版社九年级第一学期数学第32页)已知:如图1,(DE)/(BC)=(AD)/(AB)=(AE)/(AC).求证:△ADB∽△AEC.