巧用向量探究三角形“四心”

三角形的四心是三角形的重要性质和特征,但关于四心的知识,初中教材介绍不多,高中教材也没有系统的阐述.高考试题中却频频出现,尤其与平面向量知识综合考查更为普遍.笔者就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知     

探究三角形“四心”到三边距离的等量关系

在北大自主招生（2012年）试题中,有这样一道题：若锐角△ABC的外接圆的圆心为O,求点O到此三角形各边的距离之比.在解决此问题时,笔者想到此三角形为什么限制是锐角,不是锐角结果会怎样？条件中的外心,变为三角形的内心、     

三角形“四心”问题的判断

三角形的"四心"(即内心,外心,重心,垂心)是中学数学的一个基础知识点,需掌握它们的定义和性质.近几年,以平面向量知识为载体,加强了对它的考查,是高考的一个小的热点.本文就"四心"判断问题的解题方法作一归纳,供读者参考.     

初中数学“三角形的三边关系”问题探究

<正>初中阶段数学学科涉及三角形三边关系的问题,包括“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”,用字母可以表示为a+b>c,a-b相似文献   

探究一类阿基米德三角形的三心的轨迹

抛物线的弦与过弦的两个端点的切线所围成的三角形通常称为阿基米德三角形,阿基米德三角形以其深刻的背景和丰富的内涵有着无穷的魅力,备受高考命题者的青睐.阿基米德三角形在高考题中常考常新,正是源于其丰富的背景和性质,本文探究一类阿基米德三角形的重心、垂心、外心的轨迹问题,并给出证明.     

数学探究:用向量法研究三角形的“心”问题

向量是集数与形于一身的数学工具,用向量法解决几何问题具有简洁化、程序化的特点。尝试运用向量法研究三角形“四心”的性质,由共点问题到欧拉线,更好地理解向量的运用和三角形“四心”的性质。     

向量中的三角形“四心”问题

学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道它们的向量表示吗?你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助.     

三角形的“五心”

三角形的“五心”,即重心、垂心、外心、内心和旁心,它们的性质是： （1）三角形的重心（三条中线的交点）到各顶点的距离是它到对边中点距离的两倍． （2）三角形的垂心与三角形的两个顶点所构成的新三角形的垂心（三条高所在的直线的交点）是原三角形的另一顶点．     

三角形的“四心”

一、选择题1.设O、H分别为RtΔABC的外心和垂心,且OH=d,则RtΔABC面积的最大值为( )。     

双曲线焦点三角形“四心”轨迹方程的探究

最近,笔者利用几何画板,以双曲线为研究对象,探究了双曲线焦点三角形“五心”的轨迹,得到了以下几个有趣的轨迹方程. 焦点三角形的定义:双曲线上一点(顶点除外)与其两个焦点组成的三角形叫做焦点三角形.     

三角形“五心”及其有关的向量问题

近年来,有关三角形“心”的考题已频频出现在高考模拟题和高考试卷中,其考查形式有: 三角形有关“心”的向量表示形式:求三角形有关“心”的轨迹或轨迹方程．三角形有“五心”,即重心、外心、垂心、内心和旁心．三角形的五心有很多有趣的性质,它在平面几何中占在相当重要的地位,并且其与向量有关的问题也丰富多彩．     

探究“抛物线三角形”

如果抛物线y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．     

向量走进三角形的“心”

新的一轮课程改革,向量进入高中数学教材.向量作为高中数学新增内容之一,又具有几何与代数的双重意义,备受关注.向量与三角形知识的交汇,成为高考命题及模拟考试的热点.特别是向量走进了三角形的“心”,即运用向量来探讨有关三角形的重心、垂心、外心,内心等问题,成为一道亮丽的风景线.向量走近三角形,走进三角形的“心”中,注重向量的知识性,工具性的教学,考查,为提高学生的数学素养,培养学生的数学思维能力发挥着显著的作用.     

浅析三角形的“四心”

本文就高中阶段解析几何和立体几何两章中,有关重心、垂心、外心、内心等“四心”问题展开讨论,提出自己的解题思路．并在教学实践中对有关的“四心”问题作出总结．希望学生能通过联想,把三角形的四个“心”联系起来,把知识融会贯通起来,能够快速地解答问题,并能与实际问题联系起来,较好地解决实际问题．以此提高学生学习的兴趣和解决问题的能力．     

三角形“四心”的判断

<正>三角形的"四心"(即内心、外心、重心、垂心)是中学数学的一个基础知识点,需掌握它们的定义和性质.近几年,以平面向量知识为     

三角形的“心距”计算公式

1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则     

向量走进三角形的“心”

新的一轮课程改革,向量进入高中数学教材。向量作为高中数学新增内容之一,又具有几何与代数的双重意义,备受关注。向量与三角形知识的交汇,成为高考命题及模拟考试的热点。特别是向量走进了三角形的“心”,即运用向量来探讨有关三角形的重心、垂心、外心,内心等问题,成为一道亮丽的风景线。     

共圆三角形的心问题

<正>关于四点共圆(共外心)的四个三角形的心有十分对称的性质,让我们共同探究一下:已知A、B、C、D共圆,以O为圆心,△ABC、△ABD、△ACD、△BCD的重心分别为G_1、G_2、G_3、G_4,内心分别为I_1、I_2、I_3、I_4,垂心分别为H_1、H_2、H_3、H_4,九点圆圆心分别为N_1、N_2、N_3、N_4。(1)重心。性质1:G_1、G_2、G_3、G_4四点共圆,且四边形G_1G_2G_3G_4与四边形DCBA逆     

三角形的“三心”与椭圆的一个和谐性质

近期,笔者受一道试题的启发,经过探究发现,三角形的“三心”(即重心、外心、垂心)与椭圆之间存在着一种和谐有趣的性质.现将结论行文如下,以期抛砖引玉. 命题 如果三角形的重心、外心、垂心3点共线,且它们的连线平行于三角形的一条边,那么这条边所对的顶点的轨迹是一个椭圆.