计算机数学基础(A)期末复习提要

1 多元函数微积分1.1 了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。 两点P1（x1,y1,z1）与P2（x2,y2,z2）间的距离公式: d=|P1P2|=1.2 会求简单二元函数的定义域。1.3 了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单二阶偏导数。 求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。一般的复合函数形式如Z=f（u,v）（其中u=u（x,y）,v=v（x,y））,变量之间的关系可以用以下图形表示:     

计算机数学基础(A)复习提要

1 多元函数微积分1.1 了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。 两点P1（x1,yi,z1）与P2（x2,y2,z2）间的距离公式:1.2 会求简单二元函数的定义域。1.3 了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单的二阶偏导数。 求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。一般的复合函数形式如z=f（u,v）（其中u=u（x,y）,v=v（x,y））,变量之间的关系可以用图形表示:     

计算机数学基础复习辅导

1　多元函数微积分1 1　重点内容多元函数微分学 :二元函数的概念 ,二元函数定义域的确定 ,二元函数偏导数、全微分的概念及求法 ;复合函数微分法和隐函数微分法。多元函数积分学 :二重积分的定义、几何意义 ,直角坐标系下计算二重积分和交换积分次序 ,极坐标系下二重积分的计算。1 2　典型例题例 1　求函数z =f(xy ,x2 +y2 )的偏导数和全微分。解　设u=xy ,v =x2 +y2 ,由复合函数求导法则 : z x = z u u x+ z v v x =y z u+2x z v z y= z u u y+ z v v y =x z u+2 y z v全微分为 :dz = z xdx + z ydy =(y z u+2x z v)dx +(x z u+2 y z v)…     

计算机数学基础(A)例题解析1

1　多元函数微积分1.1　学习要点多元函数微分学　空间直角坐标系 ,二元函数的概念 ,二元函数的定义域的确定 ,二元函数偏导数、全微分的概念及求法 ,复合函数微分法和隐函数微分法。多元函数积分学　二重积分的定义及几何意义 ,直角坐标系下计算二重积分和交换积分次序 ,极坐标系下二重积分的计算。1.2　重点内容二元函数的偏导数与全微分 (包括复合函数和隐函数 ) ;直角坐标系下的二重积分。1.3　例题解析例 1　填空题(1)函数z =1ln(1-x- y) 的定义域是。(2 )设函数z(x ,y) =ex2 +y2 ,z′x(- 1,1) =。(3)二元函数z=x3 - 4x3 y2 +5y4, 2 z …     

导数在高考中的三项基本应用

应用 1:利用导数的几何意义解题函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 ｙ =ｆ(ｘ)在点Ｐ(ｘ0 ,ｆ(ｘ0 ) )处的切线的斜率 .例 1　若抛物线ｙ =4ｘ2 上的点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离最短 ,则点Ｐ的坐标为 .　　解 :在抛物线 ｙ =4ｘ2 上求一点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离为最短 ,即找一点Ｐ使过该点的切线与直线 ｙ =4ｘ - 5平行 .对函数ｙ =4ｘ2 求导 ,得 ｙ′ =8ｘ ,所以曲线上任一点的切线斜率ｋ =8ｘ .令 8ｘ =4 ,求出ｘ=12 ,代入抛物线方程得ｙ=1.故Ｐ 12 ,1.应用 2 :利用导数求函数的单调区间一般地 ,设函数ｙ =ｆ(ｘ)在…     

椭圆不等式及其应用

若ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1,则有不等式ａ2 +ｂ2 ≥ (ｘ±ｙ) 2 .这个不等式很容易证明 :ａ2 +ｂ2 =(ａ2 +ｂ2 ) ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2=ｘ2 +ｙ2 +ｂ2 ｘ2ａ2 +ａ2 ｙ2ｂ2≥ｘ2 +ｙ2 +2ｘｙ=(ｘ +ｙ) 2 ,用 -ｙ代ｙ ,得ａ2 +ｂ2 ≥ (ｘ -ｙ) 2 .由于条件是椭圆的方程 ,所以我们称上面的不等式为椭圆不等式 .这个不等式的应用很广泛 ,特别是用来求“希望杯”数学竞赛中二元函数的最值或值域问题时显得更加简便 .一、求二元函数的最值例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ且ａ +ｂ+1=0 ,求(ａ -2 ) 2 +(ｂ-3 ) 2 的最小值 .解　设 (ａ-2 ) 2 +(ｂ -3 ) 2 =ｔ,则(ａ-2 ) 2…     

巧用“△≤0”求最值

大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1　若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2　设θ为锐角 ,求…     

多元函数的一阶全微分形式不变性的简单应用

在众多的高等数学教材中,一般都是在讲述了全微分的定义和全微分与偏导数的关系后,紧接着讲全微分在近似计算中的应用,对于如何求全微分,往往都是先求偏导数,再按全微分公式写出其全微分。 学生学会多元复合函数的求导法则和隐函数的求导公式后,对众多变量的出现往往产生混乱,对中间变量,自变量分析不透,从而在求偏导数时出现问题,感到困难,如果这时注意到多元函数全微分形式的不变性,利用其不变性求偏导数,会使学生抛开辩认变量的困扰,顺利地求出偏导数。     

高等数学(下)期末复习的要求和要点

本学期高等数学课程包括多元微分,多元积分、级数和微分方程四部分。下面简单地谈谈这四个部分的复习要求和应注意的问题。一、多元函数微分学教学要求是:正确理解二元函数及其偏导数与全微分的概念,牢固掌握并熟练运用     

几何方法在最值问题上应用点滴

最值问题是初等数学中经常碰到的一类问题 .有些最值问题用常规代数方法较难入手 ,但若把问题适当变形 ,揭示其相应的几何意义 ,问题实质就直观清楚 ,易于解决 .例 1　已知ｘ2 +2ｙ2 =1 ,求ｚ =ｘ2 + ｙ2 -4ｘ + 4最值 .解　由条件知ｘ2+ 2 ｙ2 =1是中心在原点 ,长轴在ｘ轴上的椭圆 ,它与ｘ轴交于Ｍ(-1 ,0 ) ,Ｎ(1 ,0 ) .设Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆上任一点 ,则ｚ =(ｘ-2 ) 2 + ｙ2 就是Ｐ(ｘ ,ｙ)与点Ａ(2 ,0 )距离 ｜ＡＰ｜ ,由图易知 ｜ＰＡ｜≤｜ＡＭ ｜ ,｜ＰＡ｜≥｜ＡＮ｜ .∴ｚｍａｘ =｜ＡＭ｜=2 + 1 =3 ,　ｚｍｉｎ =｜ＡＮ｜=2 -1 =1 .…     

2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类）（北京卷）

一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合Ｍ ={ｙ|ｙ =2 -ｘ},Ｐ ={ｙ|ｙ =ｘ -1 },则Ｍ∩Ｐ等于 (　　 ) .Ａ .{ｙ|ｙ>1 }　　　Ｂ .{ｙ|ｙ≥ 1 }Ｃ .{ｙ|ｙ >0 }　　　Ｄ .{ｙ|ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ -1ｘ ,则方程 ｆ( 4ｘ) =ｘ的根是(　　 ) .Ａ .12 　　　Ｂ .-12 　　　Ｃ .2　　　Ｄ .-23 .设复数ｚ1=-1 +ｉ,ｚ2 =12 +32 ｉ,则ａｒｇ ｚ1ｚ2等于 (　　 ) .Ａ .1 3π1 2 　　　　　　Ｂ .71 2 πＣ .51 2 π　　　　　　Ｄ .-51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ( 1 -ｘ) 的最大值是 (　　 ) .Ａ .45 　　Ｂ .54　　Ｃ .34　　Ｄ .435…     

2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题

一、填空题 (本大题满分 48分 ,本大题共有 1 2题 ,只要求直接填写结果 ,每题填对得 4分 ,否则一律得零分 ) .1 .已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ +1 ,则 ｆ- 1 ( 3 ) =.2 .直线 ｙ=1与直线 ｙ =3ｘ+3的夹角为.3 .已知点Ｐ(ｔａｎα ,ｃｏｓα)在第三象限 ,则角α的终边在第象限 .4.直线 ｙ=ｘ -1被抛物线 ｙ2 =4ｘ截得线段的中点坐标是 .5.已知集合Ａ =ｘ｜｜ｘ｜≤ 2 ,ｘ∈Ｒ ,Ｂ=ｘ｜ｘ≥ａ ,且Ａ Ｂ ,则实数ａ的取值范围是 .6.已知ｚ为复数 ,则ｚ+ ｚ>2的一个充要条件是ｚ满足 .7.若过两点Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 0 ,2 )的直线ｌ与圆(ｘ-1 ) 2 +( ｙ-ａ) …     

高等数学(一)第二学期期末复习要点

本学期所讲高等数学以多元微积分为主,是一元微积分的继续和发展。本学期还学习了几个独立的部分:级数、空间解析几何与矢量代数、常微分方程。我们就这几部分内容谈谈复习要点,供大家复习时参考。(一)多元微分学多元函数微分学的重点是:1°二元函数的定义域及几何表示;2°偏导数的概念与计算;3°复合函数求导(一阶、二阶);4°全微分的概念与计算;5°多元微分学的几何应用;6°极值的必要条件,求条件极值。     

能"设x≥y≥z"吗?

在证明一些多元不等式时 ,经常需要考虑变元的大小关系 ,于是就出现了“设ｘ≥ ｙ≥ｚ”的语句。这样设 ,会不会存在问题呢 ?先看两个已见于一些出版物的例题的证明 ,然后 ,就所设的不当之处及这样设法应具备的条件作一些论述。例 1　令ｘ、ｙ、ｚ是满足ｘ ｙ ｚ =1的非负实数。证明 :ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ 42 7,并求不等式成立的条件。 (1 999年加拿大数学奥林匹克题 )原书简证 :　由于不等式是关于ｘ、ｙ、ｚ轮换对称的 ,故可设ｘ≥ｙ≥ｚ,从而ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ｘ2 ｙ 2ｘｙｚ =ｘｙ(ｘ 2ｚ) =12 ｘ·2ｙ(ｘ 2ｚ)≤ 12 (…     

条件分式求值的化归法举例

化归法是解条件分式求值问题的一种有效方法 ,现举实例加以说明。例 1　已知ｘ2 - 3ｙ2 =2ｘｙ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,求ｘ - ｙｘ +ｙ的值 .解 :由已知条件 ,得ｘ2 - 2ｘｙ - 3ｙ2 =0 ,∴ (ｘ - 3ｙ)·(ｘ +ｙ) =0∵ｘ >0 ,ｙ >0 ,有ｘ +ｙ >0 ,∴ｘ - 3ｙ =0 ,即ｘ =3ｙ∴ｘ - ｙｘ +ｙ=3ｙ - ｙ3ｙ +ｙ=2 ｙ4 ｙ=12 .例 2　已知 :ｘ +2 ｙ +ｚ =0 ,3ｘ - ｙ - 11ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) ,求ｘ2 - ｙ2 +ｚ2ｘｙ +ｙｚ +ｚｘ的值 .解 :由已知条件视ｚ为常数可得方程组ｘ +2 ｙ =-ｚ ,3ｘ - ｙ =11ｚ 解得ｘ =3ｚｙ =- 2ｚ∴原式 =(3ｚ) 2 - (- 2ｚ) 2 +…     

关于方向导数教学中的若干问题

方向导数是多元函数微积分中的一个基本概念。本文论述方向导数与偏导数、全微分、多元函数的连续性的关系。这些关系都应该在教学中向学生讲述清楚。     

2003年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)(北京卷)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 .若集合Ｍ ={ ｙ｜ｙ=2 -ｘ} ,Ｐ ={ ｙ｜ｙ=ｘ-1 } ,则Ｍ ∩Ｐ =(　　 )　 (Ａ) { ｙ｜ｙ>1 }　 (Ｂ) { ｙ｜ｙ≥ 1 }　 (Ｃ) { ｙ｜ｙ>0 }　 (Ｄ) { ｙ｜ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ-1ｘ ,则方程 ｆ(4ｘ) =ｘ的根是 (　　 )　 (Ａ) 12 　 (Ｂ) -12 　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) -23 .设复数ｚ1 =-1 +ｉ,ｚ2 =12 + 32 ｉ,则ａｒｇｚ1 ｚ2 =(　　 )　 (Ａ) 1 31 2 π　 (Ｂ) 71 2 π　 (Ｃ) 51 2 π　 (Ｄ) -51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ(1 -…     

点线距公式的简捷证明

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为任一点 ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 ) ,我们来求Ｐ到ｌ的距离ｄ .设Ｑ(ｘ1,ｙ1)为Ｐ在ｌ上的射影 ,当ＡＢ≠ 0 ,且Ｐ不在ｌ上时 ,有ｄ =|ＰＱ|=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (ｙ1-ｙ0 ) 2=(ｘ1-ｘ0 ) 2 [1 (ｙ1-ｙ0ｘ1-ｘ0) 2 ]=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (1 Ｂ2     

《计算机数学基础(A)》复习指导

基本概念：多元函数、二元函数的极限与连续性、偏导数、全微分。     

错在哪里

1　江西省宜丰县二中　龚浩生　 (邮编 :3 3 63 0 0 )题　已知函数ｙ =5ｘ ｍ3 -(2ｍ -1 )ｘ　的反函数是ｙ =(ｍ 2 )ｘ -1ｘ ｍ 4 。求实数ｍ的值。解　在函数 ｙ =5ｘ ｍ3 -(2ｍ -1 )ｘ 的图象上取一点Ｐ (-ｍ5 ,0 ) ,因为 ｙ =(ｍ 2 )ｘ -1ｘ ｍ 4 是函数 ｙ =5ｘ