方程x~2-5~(1/2)x 1=0之根的性质及应用初探

一元二次方程 x~2-5~(1/2)x 1=0的根是(5~(1/2)-1)/(2)与(5~(1/2) 1)/(2),这是众所周知的。但其根有何性质?又有什么用途?这是非常值得研究的。本文就这两个问题作一些初步探讨。为了研究方便起见,不妨设α=(5~(1/2)-1)/(2),β=(5~(1/2) 1)/(2)。     

谁对谁错——评一道数学题的两种解答

题目:当m取什么实数时,方程x~2 (m-2)x (m 3)=0两根平方和有最小值?最小值是多少?解法一:设此方程的两根为x_1、x_2,则x~2_1 x~2_2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=〔-(m-2)〕~2-2(m 3)=m~2-6m-2∴当m=-(b/2a)即m=3时,x~2_1 x~2_2=m~2-6m-2 有最小值为:3~2-6×3-2=-11。解法二:设此方程的两根为x_1、x_2,则     

似是而非的结论

下面是四个似是而非的结论,你能找出错在什么地方吗?1.有关虚数的似是而非的结论:人们常说虚数 i 是-1的平方根,即 i=(-1)~(1/2)由计算得:1=1~(1/2)=((-1)(-1))~(1/2)=(-1)~(1/2)·(-1)~(1/2)=i·i=-1.即1=-1     

2002年全国高中数学联赛试题解答

一、选择题 1. 函数212()log(23)fxxx=--的单调递增区间是 A. (,1)-? B. (,1)-?C. (1,)+? D. (3,)+?答 (A).由2230xx-->得()fx的定义域为1x<-或3x>.二次函数223uxx=--在(,1)-?内单调递减,在(3,)+ツ诘サ鞯菰?而12()logfxu=在(0,)+ド系サ鞯菁?故()fx在(,1)-?内单调递增. 2. 若实数,xy满足22(5)(12)xy++-= 214,则22xy+的最小值为 A.2 B.1 C.3 D2 答 (B). 222(5)(12)14xy++-=是以点(5,12)C-为圆心,半径为14的圆.设P为圆C上任一点,则||||||14131OPCPOC?=-=.当点C、O、P共线(O在C、P之间)时,等号成立,即P到点O的最…     

怎样突破带分数减法中的教学难点

在考试和平时的练习中,有关退位带分数减法的计算出现较多的错误.怎样突破这一教学难点?可分三步进行.第一步:做好铺垫,分散难点.1 1=2/2=3/3=4/4……提问:1化成假分数,它的个数是有限的还是无限的?1化成的假分数有什么特点?2、4=3(()/4),7=6(()/5),6=4(()/7).3、7(3/8)=6(()/8),5(5/9)=4(()/9),4(7/10)=2(()/10),2(1/4)=1(()/12)提问:等号右边是带分数吗?这是一种什么形式?第二步:注重过程,口答算理.1、整数减带分数的式题计算.出示例3:计算5-2(1/3).(发散思维训练)师问:谁能说出计算的思考过程?甲生:因为减数2(1/3)是由2和1/3组成,先从5里减去2得3,再从3里减去1/3得2(2/3).具体算式:5-2(1/3)=5-2-1/3=3-1/3=2(2/3).乙生:把被减数5看作4 1,具体算式:5-2(1/3)=(4-2) (1-1/3)=2 2/3=2(2/3).     

初中毕业班数学总复习参考题(一)

1、(1)下列各数哪些是实数?哪些是有理数?哪些是整数?并把各实数按由小到大的顺序排列出来。 tg150°、-3(1/5)、-cos60°、ctg90°、49~(1/2)、3.1416、3~(1/2)、π、lg 10~(1/3)、-16~(1/2)、 .1010010001…、lg0.01、cos30°、-16~(1/3)。 (2)实数a、b对应着数轴上A、B两点,求A、B两点间的距离。2 1.x和y都是比1小的正数,设x相似文献   

一题多思,一题多得

[题目]求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离(1)3与-2.2; (2)4(1/2)和2(1/4);(3)-4与-4.5; (4)-3(1/2)和2(1/3).你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗?经过思考、分析,同学们会发现:     

四年级数学

1.计算。 (1)200-800÷16×3 (2)(375÷75+58)×34 (3)(738+38×9)÷45 (4)4800÷(2560-145×16)2.算一算,连一连。你发现什么规律?3.你能按要求改变它吗?试一试。 (1)把100-(36+540÷18)改变运算顺序,使它的结果等于68。 (2)把285-(15+20×3)改变运算顺序,使它的结果等于330。4.列式计算。 (1)用294除以14的商,去乘32与18的和,积是多少? (2)285与15的和,除以20与3的积,商是多少?5.练跳绳,学数学。 (1)一个课外活动小组有5个同学跳绳,他们用2分钟共跳了1800     

一道例题的引申

例题 (1)y=x2及y=x3各是奇函数还是偶函数? (2)它们的图象各有怎样的对称性? (3)它们在(0, ∞)上各是增函数还是减函数? (4)它们在(-∞,0)上各是增函数还是减函数?     

从教材“椭圆的定义”说开去

<正>1.理解教材定义例1(北师大版《数学》(选修2-1)第61页)定义我们把平面内到两定点F_1、F_2的距离之和等于常数(大于|F_1F_2|)的点的集合叫作椭圆。这两个定点F_1、F_2叫做椭圆的焦点,两个焦点F1,F2的距离叫作椭圆的焦距。启示1:定义的关键词是什么?启示2:定义的内涵与外延是什么?启示3:如何应用定义解题?2.提炼思想方法例2(北师大版《数学》(选修2-1)第     

仔细观察 探索规律

问题一两条直线相交有一个交点,三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交呢?你能发现什么规律?分析:1、画出图形直接观察,找出交点个数。2、列表比较、探索规律直线条数2条3条4条……n条交点个数1个3个6个变化规律2(2-1)/23(3-1)/24(4-1)/2……n(n2-1)从上述直接观察并比较归纳得出:两条直线相交只有一个交点,三条直线相交最多有三个交点,四条直线相交最多有六个交点,……,一般地,n(n>1)条直线相交最多有n(n2-1)个交点。问题二在一条已知线段上取一点(端点除外),这点把这条线段最多分成三条线段,在这条线段上取两点呢?取三点呢?你能发现什…     

由一道思考题教学引发的思考

苏教版数学教材第十一册第54页的思考题如下: 先计算,再观察每组算式的得数,能发现什么规律? (1)1/2-1/3=()/() 1/2×1/3=()/() (2)1/4-1/5=()/() 1/4×1/5=()/() 你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗?     

你会比较幂的大小吗?

学习了幂的运算法则以后,我们就会经常碰到比较幂的大小的习题,那么如何比较幂的大小?你会比较吗?现介绍几种方法,供同学们学习时参考. 一、直接计算结果比较例1 将(1/6)-1、(-2)0、(-3)2这三个数按从小到大的顺序排列,正确的结果是( )     

谨防未知数取值范围扩大

题目当m为何值时,方程(m(x+2)-3(m-1))/(x+1)=1有负数解? 错解去分母得:m(x+2)-3(m-1)=x+1     

关于圆系的两个问题

设有两个不同的圆:F_1(z,y)≡x~2 y~2 2D_1x 2E_1y F_1=0及 F_2(x,y)≡x~2 y~2 2D_2x 2E_1y F_2=0.我们称 F_1(x,y) λF_2(x,y)=0(参数λ■-1)为圆系(不包括圆 F_2(x,y)=0).(1)问题是:1.方程(1)一定表示圆吗?2.圆系有什么性质?参数λ的几何意义是什么?     

“有趣的练习”教法建议

六年制小学数学第八册《四则混合运算》一节中《练习十》的第3题,叫做“有趣的练习”,原题如下: (53-35)÷(5-3) (41-14)÷(4-1) (62-26)÷(6-2) (83-38)÷(8-3) (71-17)÷(7-1) (92-29)÷(9-2) 这组题的趣味在哪里?如何教学呢?我认为可以这样安排: 第一步,先让学生算出结果,使学生们感到“惊奇”,这些题的得数(或商)怎么都是9? 第二步,在上述基础上引导学生观察、比较、     

平方差公式的推导

问题与情境你能用简便方法计算2001×1999吗?观察这两个数,一个比2000大1,可写成2000 1,一个比2000小1,可写成2000-1,所以2001×1999=(2000 1)×(2000-1),利用多项式与多项式相乘的法则运算:(2000 1)×(2000-1)=2000~2- 2000 2000-1×1=2000~2-1~2,恰为2000与1这两个数的平方差,那么满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢?     

一个整除定理及其应用

众所周知 ,著名的费马小定理是 :如果 ｐ是素数 ,那么对于任何整数ａ ,都有 ｐ｜(ａｐ-ａ) .如果改动这个著名定理条件 ,将 ｐ是素数放宽为ｐ是奇数 ,会出现什么结论呢 ?这个结论有何用呢 ?本文就此作些探讨 .定理　如果 ｐ是 (正 )奇数 ,那么对于任何整数ａ,都有 6 ｜ (ａｐ-ａ) .证明　当 ｐ =1时 ,结论显然成立 .当 ｐ >1,即 ｐ=2ｋ +1(ｋ∈Ｎ)时 ,ａｐ-ａ =ａ2ｋ- 1) ,记 ｆ(ａ) =ａ2ｋ- 1,则 ｆ(± 1) =0 .由因式定理知 ｆ(ａ)能被 (ａ - 1)、(ａ+1)整除 ,故 ｆ(ａ) =(ａ- 1) (ａ+1)ｍ(ｍ∈Ｚ) ,因而ａｐ-ａ =ａｆ(ａ) =ａ(ａ - 1) (ａ…     

二元二次多项式的因式分解

数域P上的一元二次多项式ax~2+bx+c(a≠0)在数域P上能够分解的充要条件是(b~2-4ac)~(1/2)∈P,并且当(b~2-4ac)~(1/2)∈P时,ax~2+bx+c=a[x+(b-(b~2-4ac)~(1/2))/2a)][x+(b+(b~2-4ac)~(1/2))/2a]。可是在什么条件下,数域P上的二元二次多项式f(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f (Ⅰ) (a,b,c不同时等于零)在数域P上能够分解呢?如能分解,该怎样分解呢?本文详细讨论这两个问题。     

我唤回了学生的“自信”

那是一节令人难忘的“分式的加减运算”的新授课 .两位学生在黑板上板演着同一道习题 :计算4(x + 1 ) (x + 2 ) + 3(x + 2 ) (x -1 ) -2(x + 1 ) (x -1 ) .学生甲的解法 :原式 =4(x -1 ) + 3 (x + 1 ) -2 (x + 2 )(x + 1 ) (x + 2 ) (x -1 )= 5x -5(x + 1 ) (x + 2 ) (x -1 )=5(x + 1 ) (x + 2 ) .学生乙的解法 :原式 =4(x -1 ) + 3 (x + 1 ) -2 (x + 2 )=5x -5 .板演结束后 ,我与学生有了以下的对白 :教师 :甲、乙两位学生的答案不一样 .哪一位同学正确呢 ?学生 (异口同声地 ) :甲———(这时 ,我看到乙同学的头慢慢地低了下去 )教师 :哪一…