利用勾股定理解竞赛题

勾股定理是几何中一个极为重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．应用它，不仅可以解竞赛计算题，而且可以解竞赛证明题．例１若直角三角形的两直角边的长分别为１和２，则斜边上的高为（）（Ａ）；（Ｂ）（Ｃ）；（Ｄ）．（１９９５年昆明市初中数学竞赛试题）解如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝２，例２在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝１５°，ＡＢ＝１０，则△ＡＢＣ的面积为（）（Ａ）１０；（Ｂ）１０；（Ｃ）１２．５；（Ｄ）１５．（１９９３年吉林省初中数学竞赛试题）解如图２，作…     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

圆内接四边形性质定理的应用

圆内接四边形性质定理揭示了圆内接四边形的两组对角以及任一外角与它的内对角之间的等量关系．因此，应用圆内接四边形性质定理可以证明两角互补或相等以及计算角的大小． 例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ内接于Ｏ，若∠ＢＣＤ＝１０°，则∠ＢＯＤ等于（）． （Ａ）１００°（Ｂ）１６０°（Ｃ）８０°（Ｄ）１２０° （２０００年辽宁省大连市中考题） 分析 由圆周角定理可知，∠ＢＯＤ＝２∠ＢＡＤ．因此，要求∠ＢＯＤ的度数，只须求出∠ＢＡＤ的度数即可．由已知条件和圆内接四边形的性质定理可知，∠ＢＡＤ＝８０°． ∠ＢＯＤ＝１６０…     

对角互余四边形的一个性质推广

文［１］给出了对角互余四边形的一个性质： 定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°,则 ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２ 逆定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２,则 ∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°。 但逆定理的结论     

应用勾股定理进行几何计算

直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和，等于斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２＝ｃ２这就是我们所熟悉的勾股定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．灵活应用它，不仅可以解决与直角三角形有关的计算问题，一些与斜三角形有关的计算问题也可通过添作垂线后获得解决．现以近年来的中考题为例介绍勾股定理在几何计算中的应用．例１如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，已知ＡＤ＝４，ＢＤ＝１６，则ＣＤ＝（１９９５年甘肃省中考题）解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２０，ＡＣＺ＋ＢＣＺ一ＡＢＺ一４００．在Ｒｔ凸ＡＣＤ和…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ…     

勾股定理在几何证明中的应用

勾股定理是平面几何中的重要定理之一，其重要地位，被数学家形象地誉为欧氏几何的“拱心石”．勾股定理及其道定理有着广泛的应用，本文举例说明勾股定理及其道定理在几何证明中的应用．勾股定理表达式中的每一项都是线段的平方，所以，在几何证明中，凡涉及有关线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题，都可以考虑应用勾股定理及其道定理来证明．例Ｉ已知：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，点Ｄ、Ｅ分别在ＢＣ、ＡＢ上．求证：ＡＤ２＋ＣＥ２＝ＡＣ２＋ＤＥ２证明在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＢＣＥ中，由勾股定理有Ａ…     

圆的有关性质中考题选登

一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径…     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

勾股定理与几何证题

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．它不仅在几何计算中有着广泛的应用,而且在几何证题中也有广泛的应用．因为勾股定理确定的是直角三角形三边平方之间的关系,所以,在几何证题中,凡涉及线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题,都可以考虑应用勾股定理来加以证明．例１如图１,在△ＡＢＣ中,／Ｃ＝９０°,Ｄ、Ｅ分别是ＢＣ、ＡＣ上的点．求证：ＡＢ２＋ＤＥ２＝ＡＤ２＋ＢＥ２分析求证结论是线段平方的和差关系,而且给定图形中有好几个直角三角形,因此,宜考虑应用勾股定理来证明．在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ…     

利用对称 化难为易

同学们在初中《几何》第二册第三章中已学习过有关轴对称的概念和一些性质．其实利用轴对称也是一种重要而基本的解题方法、有些几何证明问题，若能借助轴对称方法求解，常常可化难为易，简捷求解．例１如图１，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝６０°，∠ＡＤＢ＝９０°－１／２∠ＢＤＣ．求证：△ＡＢＣ是等腰三角形．分析欲在△ＡＢＣ中直接证得ＡＢ＝ＡＣ，显然有困难．若将面△ＢＤ以ＡＤ为轴翻折过去，得△ＡＢ’Ｄ，并能证得ＣＤＢ’为直线段，则问题便可获证．证明以ＡＤ为轴作△ＡＢＤ的对称图形凸ＡＢ’Ｄ，则ＬＡＤＢ‘一ＬＡＤＢ．ＣＤＢ‘…     

初二(上)几何期末测试题

一、填空题（每空３分，共３０分）１．若一个三角形的两边分别为６和２，则第三边ｘ的取值范围是２．等腰三角形的一边等于４ｃｍ，另一边等于１０ｃｍ，则三角形的周长是３．在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝１：３：５，则∠Ａ＝度，　∠Ｂ＝度，∠Ｃ＝　度．这个三角形按角分类是　三角形，按边分类是　　三角形４．在△ｔＡＢＣ中，∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝∠Ｃ＝１０°，则∠Ｂ＝　　度．Ｓ．在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，则∠Ｂ　　　∠Ｃ．６．全等三角形对应边上的高．二、判断题（每小题２分，共１０分，对的打“√”，错误的打“×…     

初二(上)几何期考复习训练题

一、填空题（每空３分，共３０分）１．直角三角形的一个锐角是２４°２０′，则另一个锐角是２．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ＝６０°，ＡＢ＞ＡＣ，则最长边是，最短边是．３．∠ＡＯＢ平分线上一点Ｐ到ＯＡ的距离为５ｃｍ，则Ｐ到ＯＢ的距离是．ｃｍ．４．等腰直角三角形底边为１０ｃｍ，顶角的平分线长为ｃｍ．５．线段ＡＢ的长为１０ｃｍ，点Ｃ是ＡＢ的垂直平分线上一点，且ＡＣ＝１０ｃｍ，则∠ＡＣＢ的度数是６．等腰三角形两边长的比是１１：５，周长是５４，则它的底边长为　　，腰长为７．直角三角形两锐角的平分线构成的钝角等于　　度…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其逆定理是平面几何中两个非常重要的定理,不少几何问题需要综合应用这两个定理才能得到解决．现举例说明,供参考．例１如图１,在△ＡＢＣ中,Ｄ是ＢＣ上一点,ＡＢ＝１３,ＡＤ＝１２,ＢＤ＝５,ＡＣ＝１５,求ＤＣ的长．分析在△ＡＤＣ中,已知两边的长,要求第三边的长．若△ＡＤＣ不是特殊三角形,则无法求解．因此我们可以判断△ＡＤＣ是否是特殊三角形,然后利用已知条件证明上述判断．在△ＡＢＤ中,ＢＤ２＋ＡＤ２＝５２＋１２２＝１３２＝ＡＢ２,由勾股定理的逆定理可知,△ＡＢＤ为直角三角形,ＡＤＢ＝９０°．所…     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理是平凡中的重要定理,应用十分广泛．本文专门介绍它在几何计算中的应用．由于题目中的条件不同,用法也不相同,那么我们怎样用好定理呢？一、根据条件直接用定理这类题目很多,仅举一例供大家体会．例１如图,在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ＡＣＢ＝９０°,ＣＤＡＢ于Ｄ．若ＡＢ＝１３,ＣＤ＝６,求ＡＣ＋ＢＣ的长．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中,由勾股定理得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２．ＡＢ＝１３,ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＝１３２＝１６９．ＣＤＡＢ,　Ｓ△ＡＢＣ＝ＡＣ·ＢＣ．由面积关系,得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ＝１３×６＝７８．（ＡＣ＋Ｂ…     

谈一道课本习题的改进

谈一道课本习题的改进○王亮声（兴国县潋江中学）九年义务教育三年制初中《几何》第二册Ｐ１３０第４题：原题如图１．在四边形ＡＢＣＤ中,∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°,ＢＥ平分∠Ｂ,ＤＦ平分∠Ｄ,求证：ＢＥ‖ＤＦ。同册《教师教学用书》中给出了它的一个证明。今给出这道习...     

多法证一中考题

题目求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．（１９９６年广西中考题）已知：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，ＤＥＡＢ，ＤＦＡＣ，垂足分别为Ｅ、Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．证一　　ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ．　：∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°，ＤＢ＝ＤＣ，　　△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．ＤＥ＝ＤＦ．证一　　　ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，．’．连结ＡＤ后知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线（三线合一定理）．ＤＥ　ＡＢ，ＤＦ　ＡＣ，　　．ＤＥ＝ＤＦ．证三连结ＡＤ．　　ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，　　　ＡＤ平分∠ＢＡＣ．…     

四边形中的一个定理及应用

定理在凸四边形ＡＢＣＤ中,对角线ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ点,设△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ、△ＤＯＡ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４,则有Ｓ１·Ｓ３＝Ｓ２·Ｓ４．图１证明如图１,∵Ｓ１Ｓ２＝ＡＯＯＣ,Ｓ４Ｓ３＝ＡＯＯＣ,∴Ｓ１Ｓ２＝Ｓ４Ｓ３,即Ｓ１·Ｓ３＝...     

三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

一道竞赛题新探

题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ…