仿射变换在解决初等几何问题中的应用

<正>高等几何为我们提供了解决初等几何证问题中的一些方法.这些方法虽然大多不能直接进入中学课堂,但它们能够帮助我们思考问题,启发我们获得初等证法,有时其证明过程还能帮助我们找到发现新的命题.如果适当地运用仿射几何知识,在解决问题时,就会使问题简化,收到事半功倍的效果.仿射变换的性质取决于透视仿射的性质,经过一切透视仿射变换不改变的性质和数量,称为仿射不变性和仿射不变量.透视仿射(即平行摄影)将点映成点,将直线映成直线,因此透视仿射具有同素性、结合性.针对仿射变换的不变性和不变量,我们可以解决初等几何中的有关仿射性质的问题.     

透视仿射在图解问题中的应用

通过透视仿射法解决了用正投影法很难描述的空间几何图解问题．     

透视仿射在图解问题中的应用

通过透视仿射法解决了用正投影法很难描述的空间几何图解问题。     

一个Gelfand-Kirillov维数1的Hopf代数的例子

构建了一个Gelfand-Kirillov维数1的Hopf代数的例子.从而证明,除了无限循环群的群代数kΖ、无限二面体群的群代数kD和无限维Taft代数外,还存在其他的诺特、仿射、正则、素的Gelfand-Kirillov维数1的Hopf代数.     

第一类仿射李代数的顶点算子表示

利用复半单李代数的根格构造出表示空间,并在上面定义一类新的顶点算子,然后利用它们给出所有第一类仿射李代数的顶点算子表示．     

实现3个二次曲面GC^1拼接的一种具体算法

研究拼接3个二次代数曲面所形成的混合代数曲面的整体参数化问题,提出相应的参数化方法,给出了具体算法．利用拼接曲面在仿射坐标系下的简单表达式,不分块直接对混合拼接曲面进行参数化．     

实现3个二次曲面GC1拼接的一种具体算法

研究拼接3个二次代数曲面所形成的混合代数曲面的整体参数化问题,提出相应的参数化方法,给出了具体算法.利用拼接曲面在仿射坐标系下的简单表达式,不分块直接对混合拼接曲面进行参数化.     

关于仿射变换代数表示式的探讨

本文通过对正交笛氏坐标系下仿射变换代数表示式的探讨,揭示了在斜交笛氏坐标系和仿射坐标系下仿射变换的代数式及其意义和重要应用     

关于仿射变换三个定义的等价性问题

在梅向明等人编写的《高等几何》[1] 中的第一章仿射坐标与仿射变换中关于仿射变换前后给出了三个定义 :定义 2 .1　设有ｎ+1个平面π ,α1,α2 ,… ,αｎ,π′.如果在平面偶 (π ,α1) ,… ,(αｉ,αｉ+1) ,… ,(αｎ- 1,π′)之间都存在着透视仿射对应 ,即每两个相邻平面之间都存在着平行投影 ,这样在平面π与π′的点之间就建立一种一一对应 ,这种对应叫做平面π到平面π′的仿射对应 .即有限个透视仿射对应的乘积为一个仿射对应 .(见右图 )定义 2 .2　若平面到自身的一个点变换保持同素性、结合性和共线三点的单比不变 ,则这个点变换称…     

仿射观点下的Menelaus定理与Ceva定理

1.引言 按Felix Klein所给的定义,几何学可以用几何变换群来分类。几何图形,如曲线,曲面等等在一已知几何变换群G下不变性质的研究称为属于群G的几何学。如果G是射影,仿射或欧氏群,我们有相应的射影,仿射或欧氏几何学。 由有限次的平行射影即透视仿射的乘积便构成一个仿射。在仿射平面内所有仿射变换的集合构成群。这个群称为仿射群。在仿射群下几何图形有许多不变的性质和不变量,其中最重要的不变性是同素性和结合性,最重要的不变量是单比。     

点在坐标系下的坐标与向量在基下的坐标

通过向量在基下的坐标来统一认识点在二维的笛氏直角坐标系、仿射坐标系和射影坐标系下的坐标,从而体现代数和几何的密切联系及代数的高度的抽象性.     

仿射坐标在高中数学解题中的应用

高中阶段的几何题,往往采用的是建立直角坐标系,将几何问题转化为代数问题来解决,但是由于直角坐标系的特殊性,并非所有的题目都容易建立直角坐标系,仿射坐标系在建系上比较灵活,而且学生容易掌握。     

Desargues定理及其证明

本文首先给出Desargues的两个三角形定理及其在射影几何与仿射里的五种叙述;然后分别用分析法、综合法、演绎法、透视法、齐次向量法与解析法等几种方法从不同的角度研究了此定理的证明问题;最后简略地指出它的重要意义。     

仿射Killing P-形式

本文定义了在仿射联络空间的仿射Killing P-形式,把仿射Killing向量场的一些结果推广到仿射Killing P-形式,研究了几个定理     

仿射集与极大仿射无关组

在为了便于认识和描述仿射集的结构以及仿射集的其它性质，根据仿射无关的定义，本文提出了极大仿射无关组的概念，并给出了平凡与非平凡的仿射集中极大仿射无关组与极大线性无关组的关系。其中许多关系是线性关系，所经空们比较深刻彻底地反映了仿射集与极大仿射无组的本质特征与内在联系。     

整体视角下对绝对值的教学思考——从绝对值概念的历史谈起

绝对值是中学阶段重要的数学概念，拥有着丰富的历史内涵.从代数定义、几何定义和其他定义三个角度介绍了绝对值定义的历史发展，并指出学生在初中阶段绝对值的学习中存在“理解浮于形式、代数思维不强、缺乏完善认识、应用较为刻板”四个问题.基于此，提出对绝对值教学的建议：聚焦《新课标》,把握教学的度；明晰目标，重视数学理解；史料融入，渗透数学文化；逐步过渡，发展代数思维；循序渐进，合理编排练习；整体透视，串联知识逻辑.     

四维仿射空间的标准曲面

在仿射微分几何中,研究的重心是将有常截面曲率仿射度量的曲面(超曲面)进行分类。如果一中心仿射曲面的中心仿射度量为平坦的,并且其Fubini-Pick形式关于中心仿射度量是平行的,则称此曲面为标准超曲面,因此讨论并构造E4空间中的标准超曲面是重要的。     

四维仿射空间的标准曲面

在仿射微分几何中,研究的重心是将有常截面曲率仿射度量的曲面(超曲面)进行分类.如果一中心仿射曲面的中心仿射度量为平坦的,并且其Fubini-Pick形式关于中心仿射度量是平行的,则称此曲面为标准超曲面,因此讨论并构造E4空间中的标准超曲面是重要的.     

基于改进仿射传播聚类的图像分割算法研究

仿射传播聚类算法是一种比较新的基于质心的聚类算法,在图像分割领域得到了广泛应用。仿射传播聚类算法最终聚类数目会受到偏向参数P(Preference)的影响,得到的聚类数目往往偏多,影响分割质量。鉴于此,提出一种改进的仿射传播聚类的图像分割算法,该算法将仿射传播聚类算法与CURE层次聚类算法相结合,CURE算法能够对仿射传播聚类算法的分割结果进行优化。实验验证表明,改进后的算法图像分割效果更好。     

Desavgues定理及其对偶定理的几何证明

对于射影空间内的代沙格定理,高等几何教材中给出了初等几何的证明,如〔1〕;而对于射影平面内的代沙格定理及其对偶定理,教材中普遍采用代数法的证明如〔2〕;本文用透视法给出这两个定理的几何证明,供老师们教学时参考。