由一个向量运算题想到的

在数学中,运用联想类比的方法能够获得意外的收获,这有助于提高我们对数学学习的兴趣,同时还可以激发我们的思维.下面是我在一次做题过程中的发现:题:已知向量a,b,c,满足｜a｜=r1,｜b｜=r2,｜c｜=r3,且a b c=0试求,a·b a·c b·c解析:注意用到a·a=｜a｜2∵(a b c)2=｜a｜2 ｜b｜2 ｜c｜2 2(a·b b·c a·c)=r12 r22 r32 2(a·b b·c a·c)又∵a b c=0,∴(a b c)2=0∴a·b a·c b·c=-12(r12 r22 r32)图1由此题条件a b c=0我们联想到三角形,如图1,并且a·b=｜a｜·｜b｜cos…     

绝对值化简与求值例说

根据绝对值的定义,当a为有理数时,｜a｜=a(a>0),0(a=0),-a(a<0).!####"####$下面举例说明利用这一概念化简含有绝对值符号的式子与求值问题.例1三个数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简｜b｜-｜c｜+｜a+b｜+｜a-c｜.解:由图可知a>0,b<0,c<0,a+b<0,a-c>0.故｜b｜=-b,｜c｜=-c,｜a+b｜=-(a+b)=-a-b,｜a-c｜=a-c.原式=-b-(-c)-a-b+a-c=-2b.评析:根据绝对值和数轴的直观性,分别找出绝对值里面有关量的变化情况,然后再回到非负数的性质与定义上.例2使｜a+2｜=｜a｜+2成立的条件是().(A)a为任意实数(B)a≠0(C)a≤0(D)a≥0解:按｜a｜≥0的性质,…     

平方法--向量转化的“梦工厂”

1．长度问题 例1 已知a,b是单位向量,a·b=0．若向量c满足｜c-a-b｜=1,求｜c｜的取值范围。     

一道CMO赛题的简证

2007年中国数学奥林匹克（CMO）第一题为： 设a，b，c为给定的复数，记｜a＋b｜=m，｜a—b｜=n，已知mn≠0，求证： max{｜ac＋b｜，｜a＋bc｜}≥mn/（√m^2＋n^2）（1）[第一段]     

妙用圆的性质求向量最值

1．利用圆的割线求最值例1已知a,b是单位向量,a·b=0．若向量c满足｜c-a-b｜=1,则｜c｜的取值范围是（）     

6．重庆卷

1．设x,y∈R,向量a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,4）,且a⊥c,b∥c,则｜a＋b｜=（ ） （A）√5.（B）√10.（C）2√5．（D）10．     

一元二次方程新题型

近年来,围绕对一元二次方程有关知识的考查,出现了一些新题型,这些试题,能拓宽我们的视野,提高我们综合应用知识解决问题的能力. 类型一新定义型 例1 (2012年菏泽卷)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖线记为｜a b c d｜,定义｜a b c d｜=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若｜x+1 x-1 1-x x+1｜=8,则x=______.     

正、余弦定理学习“一、二、三”

一、正、余弦定理的“一种”新证法 如图1,在△ABC中,｜AB｜=c, ｜BC｜=a,｜AC｜=b,则 AB=(c,0) 图1 BC=[acos(π-β), asin(π-β)] =(-acosB,asinB), AC=(bcosA, bsinA). ∵AC=AB+BC, ∴(bcosA,bsinA) =(c,0)+(-acosB,asinB) …     

一道希望杯培训题的多角度思考

题目 已知α,b是平面内两个互相垂直的向量,其中｜α｜=3,｜b｜=2,若向量c满足（α—c）⊥（c-b）,则｜c｜的取值范围是__．（第24届“希望杯”高一培训）     

2009年高考平面向量的数量积考点定位

一、考查平面向量的数量积与向量的模长的相互转换 例1（全国卷二）已知向量a=（2,1）,a·b=10,｜a＋b｜=5√2,则｜b｜=     

平面向量与不等式复习指南

关于平面向量的复习一、学好基础知识,理解概念的内涵与外延,熟练应用公式,掌握定理中的条件和结论,做到基础题不丢分例1已知向量a、b满足｜a｜=1,｜b｜=4,且a·b=2,则a与b的夹角为     

再探三角形的边与圆的公共点个数

1．问题 文[1]对2009年浙江省一道高考题进行了探索．原题如下：设向量a,b满足｜a｜=3,｜b｜=4,a ·b=0,以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为l的圆的公共点个数最多为……………………（ ）     

解离心率问题五法

一、公式法圆锥曲线离心率的公式为e=ca.例1若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段,则此椭圆的离心率为A.1617B.417√17C.45D.25√5解析抛物线的焦点F的坐标为(b2,0),由已知得b2+cc-b2=53,∴c=2b,∴e2=c2a2=c2b2+c2=45.∴e=25√5.选D.例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是A.2√3B.3√3C.2√2D.3√2解析由椭圆的定义可知｜AF1｜+｜AF2｜=2a.∵△ABF2是正三角形,∴｜AF2｜=2｜AF1｜.∴｜A…     

分类讨论面面观

分类讨论是初中数学的一种重要的思想方法.本文结合对典型例题的解析,引导同学们了解与分类讨论有关的常见题型,体会分类讨论的方法,以提高解决这类问题的能力.一、由有关运算法则、运算性质所引发的讨论例1如果a2=4,｜b｜=3,且ab〈0,则a＋b=.思路点拨由a2=4知a=±2;由｜b｜=3知b=±3.又ab〈0,因此可分两种情况予以讨论：（1）当a=2时,b=-3,则a＋b=-1;（2）当a=-2时,b=3,贝a＋b=1．     

从一道高考试题谈起——谈圆锥曲线切线的一种作法

请看2005年辽宁省高考数学试题第21题：如图1,已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别是F1（-c,0）,F2（c,0）,Q是椭圆外的动点,满足｜F1Q｜=2a,     

不等式证明的两种巧法

不等式证明既是高中数学的重点,也是高中数学的难点。化归函数法、放缩法是技巧性较高的不等式证明方法.一、化归函数法例1、已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1求证:-14FabcdF41分析:将已条件与sin2α+cos2α=1进行对照,可知本题能通过换元将原不等式问题转化为三角函数求值域的问题来解决.证明:设a=sinα,b=cosα,c=sinβ,d=cosβ]｜abcd｜=｜sinα·cosα·sinβ·cosβ｜=14｜sin2α·sin2β｜F14｜sin2α｜·｜sin2β｜F41]-14FabcdF41例2、求证:｜a｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜E1+｜a｜+a+b｜b｜分析:认真观察原不等式两边,不难发现它们…     

等差中项性质的一例巧用

课本中椭圆方程的推导计算量大而繁 ,若抓住定义中｜MF1｜ ｜MF2 ｜=2a(a>0 )构造出等差数列 ,则简单的多 .解　建立以长 ,短轴为x ,y轴的直角坐标系 ,设M(x ,y)是椭圆上的任一点 ,椭圆的焦距为 2c(c>0 ) ,M与两焦点F1和F2 的距离之和等于正常数 2a(a >0 ) ,则F1、F2的坐标分别为 ( -c,0 ) ,(c ,0 ) .由椭圆定义 ,有｜MF1｜ ｜MF2 ｜=2a ,由等差中项的性质可知 :｜MF1｜ ,a ,｜MF2 ｜成等差数列 ,设公差为d( -c≤d≤c) ,则有｜MF1｜=a d ,｜MF2 ｜=a -d .所以(x c) 2 y2 =a d ,　　 ( 1 )(x-c) 2 y2 =a-d .　　 ( 2 )( 1 )…     

用均值不等式证高次不等式

1．设a,b,c∈R^＋,求证： （a＋2b/a＋2c）^n＋（b＋2c/b＋2a）^n＋（c＋2a/c＋2b）^n≥3． 证明a＋2b/a＋2c＋b＋2c/b＋2a＋c＋2a/c＋2b≥3 ←→（a＋2b）（b＋2a）（c＋2b）＋（b＋2c）（c＋2b）（a＋2c）     

一道不等式的推广

人教版教材高中数学第二册上(必修)第30 页有这样一道习题 已知:a > b > c,求证: 1 1 1 > 0 . a ? b b? c c ? a 此题可推广如下: (1)已知 a > b > c,求证: a ? b b? c c ? a 1 1 4 ≥ 0 . 证明 ∵(a ? c)(a 1 1 ? b b ?c) =[(a ?b) (b ?c)](a ? 1 1 ≥ 4, b b ? c) ∴ ,　 a ? b b ? c a ?c 1 1 ≥ 4 1…     

《数学通报》问题1885的另证与推广

《数学通报》2010年11月第1885号数学问题是:已知a,b,c为正数,求证:(9a)/(b+c)+(16b)/(c+a)+(25c)/(a+b)≥22.证明原不等式等价于9(a+b+c)/(b+c)+16(a+b+c)/(c+a)+25(a+b+c)/(a+b)≥72