’98全国高中数学联赛加试第一题学生的几种证法

一、纯平面几何法 1.天津实验中学学生姜薇的证法 证明:设I_A为旁切圆圆心.则A、I、I_A共线,交⊙O于K,交HC于P.显     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法

(2000年联赛题)如图1,在锐角三角形ABC 的 BC 边上有两点 E,F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC,(M、N 是垂足),延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 点.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.     

2004年全国高中数学联赛加试第一题解法探讨

例　在锐角三角形ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC= 2 5,BD =2 0 ,BE =7,求AK的长 .1　解法思路分析如图 1,由于G、D、E、F ;C、D、E、B分别四点共圆 ,所以GF与DE逆平行 ,DE与BC逆平行 ,所以GF∥BC ,故△AGF∽△ACB ,根据两个相似三角形的高之比等于相应边之比 ,得到计算AK的式子 ;另外一种很自然的思路是 ,在△AFG中应用张角定理 :sin∠GAFAK =sin∠KAFAG + sin∠GAKAF ,之后根据已知条件解直角三角形计算出相关的线段和角即可 ,…     

2004年全国高中数学联赛加试第一题解法探讨

例在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K.已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

2022年全国高中数学联赛加试几何题的思路探索

思考、探索、解答2022年高中数学联赛加试几何题,并对题目的解答和难度做了总结和点评。     

2002年全国高中数学联赛加试几何题的几种解法

题目　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ ＮＨＯＨ 的值 .由ＢＭ =ＣＮ及线段的差分关系 ,得ＭＨ ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ .因此 ,本题等价于在已知条件下 ,求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面给出几种解法 ,供参考 .解法 1 .如图 2 ,在ＡＢ上截取ＡＤ =ＡＣ ,则△ＡＤＣ为等边三角形 .从而∠ＢＤＣ =1 2 0°.∵Ａ、Ｆ、Ｈ、Ｅ四点共圆 .∴∠ＢＨＣ =1 80° -∠Ａ =1 2 0°由外心张角公式 ,得∠ＢＯＣ=2∠Ａ =1 2 0°∴∠ＢＤＣ =∠…     

联赛加试几何题证明随想

2001年全国联赛加试第一题:图1如图1,在ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H.直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:     

关于2003年全国高中数学联赛加试第二题

题目　设三角形三边长分别是整数l、m、n ,且l>m >n .已知　3l1 0 4 =3m1 0 4 =3n1 0 4 ,其中 {x}=x - [x],而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .1　试题的另解解 :由已知得3l≡3m ≡3n(mod 1 0 4 ) .①式① 3l≡3m≡3n(mod 2 4 ) ,3l≡3m≡3n(mod 54 ) 3l-n≡3m -n≡1 (mod 2 4 ) ,3l-n≡3m -n≡1 (mod 54 ) .因为 ( 3,2 4 ) =( 3,54 ) =1 ,根据欧拉定理得 3φ( 2 4) ≡1 (mod 2 4 ) ,3φ( 54) ≡1 (mod 54 ) ,其中φ(2 4 ) =2 4 1- 12 =8,φ(5 4) =5 41- 15 =5 0 0 .设k1、k2 是分别使 3k≡1 (mod 2 4 ) ,3k≡1 (mod …     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的推广

原题【2000年全国高中数学联赛加试试题】如图1,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E,F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M,N是垂足),延长AE交△ABC的外接圆于.求证:四边形DAMDN与ΔABC的面积相等.     

一道全国高中数学联赛加试试题溯源

由调和四边形的定义出发,生成出两个定理以及一个推论,进而演变出一道全国联赛试题．通过暴露这个思维过程,以期达到帮助教师明晰数学知识的来龙去脉,培养良好的思维品质,对提高数学教师的研究能力和综合素质大有借鉴之处．     

2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨

探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作，它既可挖掘知识之问的纵横联系，又可以培养学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还可以揭示命题人的思维方法，为学生发现问题的本质提供思路和借鉴的模式，让他们也能享受参与做科学研究的乐趣，更能促使他们在以后科学研究的道路上走得更好些，更远些。     

2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进

原题设m为整数,|m|≥2.整数列a1,a2,…满足a1、a2不全为零,且对于任意正整数n,均有an+2=an+1-man.证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得ar=as=a1,则r-s≥|m|.[分析]不妨设a1与a2互素(否则,若(a1,a2)=d>1,则(a1/d,a2/d)=1,且用a1/d,a2/d,…代替a1,a2,…,条件与结论均不改变).     

探究2007年全国高中数学联赛加试第三题的命制过程

2007年全国高中数学联赛加试第三题: 设集合P={1,2,3,4,5}.对任意k∈P和正整数m,记f(m,k)=∑5i=1[m√k 1/i 1],其中[a]表示不大于a的最大整数,求证:对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n.     

2006年全国高中数学联赛加试第3题的推广

2006年全国高中数学联赛加试第3题： 解方程组：（x-y＋z-w=2;x^2-y^2＋z^2-2^2=6;x^3-y^3＋z^3-w^3=20;x^4-y^4＋z^4-w^4=66.）     

2012年全国高中数学联赛加试平面几何题的另解

原题（2012年全国高中数学联赛加试试题）如图1,在锐角AABC中,.AB>AC,M,N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC,△AMN的外心分别为O₁,O₂.证明:O₁,O₂,A三点共线.文[1]对以上问题给出了三种证法,本文和』用反演变换给出另一证法.     

2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨

这道题目初看起来比较平易，给人一种可以直接使用柯西不等式的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正是在这里设置了较好的陷阱。