不等式中“恒成立”问题的几种处理方法

在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1　已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4…     

一类函数的单调性及应用

在对数教学中时常遇到下列问题 :(1 )比较ｌｏｇ4 5与ｌｏｇ56的大小。(2 )比较ｌｏｇｎ(ｎ 1 )与ｌｏｇｎ 1(ｎ 2 )的大小。(3 )已知ａ >2 ,求证 :ｌｏｇａ - 1ａ >ｌｏｇａ(ａ 1 )。(4 )已知 0 <ａ <ｂ <1 ,试比较ｌｏｇａ(ａ 1 )与ｌｏｇｂ(ｂ 1 )的大小。我们可以通过不等式的缩放解决 ,但能否对上述问题统一处理呢 ?经过分析我们只需讨论函数ｆ(ｘ)=ｌｏｇｘ(ｘ ａ)或 ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ ａｘ(ｘ≠ 1 ,ａ >0 )的单调性即可。本文给出这类函数单调性的一个结论。定理 (Ⅰ )　当ａ≥ 1时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ(ｘ ａ)在区间 (0…     

2003高考(新教材)(19)简洁解法

题　设ａ>0 ,求函数ｆ(ｘ) =ｘ-ｌｎ(ｘ +ａ) (ｘ∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .解　 ｆ′(ｘ) =12ｘ- 1ｘ +ａ =ｘ- 2 ｘ+ａ2ｘ(ｘ+ａ) ,因为ａ>0 ,ｘ >0 ,所以 2 ｘ >0 ,ｘ +ａ >0 .所以ｆ′(ｘ)与ｘ - 2 ｘ+ａ同号 ,令ｔ =ｘ ,则ｘ- 2 ｘ+ａ =(ｔ- 1) 2 + (ａ - 1)(ⅰ )当ａ >1时 ,ｆ′(ｘ) >0 ,所以 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅱ )当ａ =1时 ,ｆ′(ｘ)≥ 0 ,且只在ｘ =1处ｆ′(ｘ) =0 ,所以 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅲ )当 0 <ａ <1时 ,令 (ｔ- 1) 2 + (ａ - 1) =0得ｔ =1± 1-ａ ,此时ｘ =ｔ2 =2 -ａ± 2 1-ａ ,显然当ｔ∈ (…     

简化参数问题的思维策略

确定参变量的取值范围问题 ,是中学数学的一大知识点 ,也是数学教学的难点之一 .这类问题直接求解往往比较复杂 ,如果我们能适当作一些“技术处理” ,则可以优化求解过程 .下面谈谈简化参数问题的几种常见思维策略 .1　变形转化有些题目直接下手往往比较复杂 ,若对已知式子作等价变形 ,常可化难为易、化繁为简 .例 1　设对所有实数ｘ ,不等式ｘ2 ｌｏｇ24 (ａ 1)ａ 2ｘｌｏｇ22ａａ 1 ｌｏｇ2(ａ 1) 24ａ2 >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　设ｌｏｇ2ａ 12ａ =ｔ,欲使所给不等式大于 0恒成立 .只需　 ( 3 ｔ)ｘ2 - 2ｘｔ 2ｔ>0恒成立 ,…     

一元二次方程实根符号的确定

一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 (ａ≠ 0 )两实根的符号可由“Δ =ｂ2 -4ａｃ”、“ｘ1 ｘ2 =-ｂａ”和“ｘ1·ｘ2 =ｃａ”确定 .具体分以下几种情况 :1 两根同正 Δ≥0 ,ｘ1 ｘ2 =-ｂａ>0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ>0 .2 两根同负 Δ≥0 ,ｘ1 ｘ2 =-ｂａ<0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ>0 .3 有一个正根 ,一个负根 ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .特别地 ,有一正根一负根且正根绝对值较大时 ｘ1 ｘ2 =-ｂａ>0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .有一正根一负根且负根绝对值较大时 ｘ1 ｘ2 =-ｂａ<0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .两根互为相反数 ｂ =0 ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ<0 .特别地 ,有一个根为 …     

高中数学总复习测试题

选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 (　　 )Ａ 1　　Ｂ 2　　Ｃ 3　　Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 (　　 )Ａ ｓｉｎｘ　Ｂ ｓｉｎ ｘ2 　Ｃ ｃｏｓ2ｘ　Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 (　　 )Ａ　　　　　　　ＢＣ　　　　　　　Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 (　　 )Ａ ｂ =…     

一道数学题的误解及其分析

题目　已知函数ｙ =ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 〔2 ( 3ａ - 2 )ｘ2 4ａｘ ａ 1〕的值域为 ( -∞ , ∞ ) ,试求实数ａ的取值范围 .误解　函数 ｆ(ｘ)的值域为 ( -∞ , ∞ ) ,∴ 2 ( 3ａ - 2 )ｘ2 4ａｘ ａ 1>0恒成立 ,于是有2 ( 3ａ - 2 ) >0 ,( 1)Δ =16ａ2 - 8( 3ａ - 2 ) (ａ 1) <0 . ( 2 )由 ( 1)得ａ >23,由 ( 2 )得ａ <- 2或ａ >1,∴ａ >1.因此 ,所求ａ的取值范围为ａ >1.这个解答的错误是容易断定的 .例如 ,令ａ =2 ,则ａ∈ ( 1, ∞ ) .这时 ,ｙ =ｌｏｇ2 ( 8ｘ2 8ｘ 3) =ｌｏｇ2 8ｘ 122 1.由于 8ｘ 122 1≥ 1,所以ｙ的…     

二维柯西不等式在解析几何上的应用

二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1　推证几个重要结论命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明　由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上…     

初一代数期末测试题

一、填空题 (15分 )1 用科学记数法表示 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 2 9=.2 不等式组12 ｘ≥ 1ｘ - 3≤ 0的解集是 .3 (ｘ -ａ) (ｘ ａ) (ｘ4 ａ4 ) (ｘ2 ａ2 ) =.4 当ｘ时 ,代数式13(ｘ - 1)5的值不是正数 .5 方程组 ａｘ ｂｙ =13ａｘ - 4ｂｙ =18和 4ｘ - ｙ =53ｘ ｙ =9有相同的解 ,那么ａ ｂ的值为 .6 若 |ｘ 1| (ｙ - 2 ) 2 =0 ,则ｘｙ =.7 若有理数ａ满足 ａ|ａ|=- 1,则ａ是 .8 若 11- |1-ｘ|有意义 ,则ｘ取 .9 12 5ａ3ｂ3÷ 5ａｂ =.10 [(-ｘ) 3]4 =.11 若ａ <0 <ｂ ,且 |ａ|>ｂ ,则化简 |ａ ｂ|- |ａ -ｂ|- |ｂ -ａ|=.12…     

平面向量问题错解辨析

一、忽视向量夹角范围例 1　若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2　设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错…     

从"思辩"经"实证"到"理解"——试比较三种类型的教育研究范式

教育研究大致经历了从哲学--思辩研究范式经科学--实证研究范式到人文--理解研究范式的历程.范式的转换不只是方法的更替,更是哲学理论背景、思维方式、价值取向、研究过程等的变更和创新.本文以众多学者的研究为基础尝试作多方面的比较.     

从“听数学”到“做数学”

在新课程数学教学中,教师既要改变自己的教育观念,也要改变课堂中的角色,将“注入式”的教学改为学生积极主动的数学,即把从“听数学”改变为“做数学”。为了实现这种转变,应创设问题情境,让学生带着问题学习,情境创设要结合生活实际,要激发学生兴趣;转变学生的学习方式,提高学生的数学素养。     

学校德育:从"强迫服从"走向"教会选择"

现代社会的信息化使得学校德育处于一个完全开放的社会环境中。在各种不同的文化意识形态、价值观、道德观的冲击下,学校德育面临许多困境。面对青少年基础道德滑坡、问题行为增多、违法犯罪现象上升的事实,传统的“强迫服从”式学校德育的缺点暴露无遗。只有变“强迫服从”为“教会选择”,才能使学校德育摆脱困境,为社会培养更多的优秀人才。一、“强迫服从”的弊端培养服从一定社会道德规范的人,是道德教育的最终结果。这种服从应该是自觉的、主动的、发自内心的,是个体把外界的道德要求内代了的结果。“强迫服从”则是忽视了学生的道德需…     

从“圣经”到“材料”——论教师教材观的转变

“圣经式”教材观是教育的社会控制职能和制度化教育强化的结果 ,也是中国教育和社会发展水平有限的反映 ,它不仅限制了教师教学的个性化和创造性 ,束缚了学生的学习空间和创造意识 ,而且割裂了课程与社会现实之间的联系。“材料式”教材观的兴起是教育现代化的必然要求 ,有助于释放教法在教学中的张力 ,改善教师的职业生活和学生的学习生活 ,提高教学质量。中国还缺少从整体上拒绝“圣经式”教材观的能力 ,但“材料式”教材观也有其发展的一定空间     

社会建构主义述评

20世纪80年代后,知识社会学实践了科学的“理性重建”向“社会建构”的转向,使科学研究(Science Studies)从理论转向科学实践,打开了一个至今被忽视了的一系列新问题的大门。这种转向与库恩的历史主义的范式理论存在着密切的联系。这种联系体现在：科学被视为一个“传统权威范式”、一种工匠默会知识和手艺活动、一种范式的政治利益代表,它把科学视为与人类的其它文化活动等价。但由于强纲领知识社会学否定了自然在认识中的基础地位,只强调社会因素的意义,从而导致了对科学与理性的全面解构。     

从"管治"走向"善治"

我国高校在学生管理工作中存在各种现实问题,究其根源,是因为在观念上和方法上,采用的是一种管治的模式,而这种模式弊端重重。为实现新时期高校学生管理工作的科学化、高效化,高校学生管理工作必须转变理念,走学校与学生互动发展,从而达到学校善治的道路。     

从“心”到“精神”——程朱理学与荣格之自我意识比较

程朱理学有一个鲜明特色，就是特别强调精神自我，认为精神自我高于生物自我，不仅视为天理，而且视为人性的本质。刘师培曾说过：所谓理学就是伦理学加心理学。我们可以进一步说，理学所谓心理学是与现代心理学有很大不同的心理学，是探讨个人的精神自我的发展规律的心理学，即精神自我心理学。程朱理学的精神自我以理学的贡献主要表现为对精神自我的结构从内容与功能两个相互联系的方面提出了创造性思想。现代心理学应该总结这份宝贵的遗产，为心理学的科学化作出贡献。     

从"问题"到"课题"

为贯彻教育部颁发的《全日制普通高中课程计划(试验)》,我校凭借着较好的办学条件,经费投入以及相对具有优势的师资和生源,决定在原有的三课体系的基础上,在高一、高二开发设计并实施研究性学习的课程。“万事开头难”,研究要从课题开始,那怎样才能确定好课题呢?     

从"教"到"导"的心路历程

远程开放教育是“教”与“导”的转变,这不仅是教学模式的改变,更是一次教育观念的深刻变革,要认真研讨学习者、导学者、教学内容和网络工具等导学过程,处理好面授教学、教材和媒体资源的关系。     

从“beancurd”到“toufu”——浅谈文化对翻译的影响

文化研究是当今一大热点,翻译领域也相应地出现了文化转向。以前人们注意语言本身的差异所导致的翻译障碍,但是现今文化发展对翻译的影响亦引起翻译者极大的关注和重视。文章探讨文化对翻译的影响,尤其对词汇的影响,导致词汇翻译由英语变为汉语拼音,并且探讨词汇翻译变化中所体现出的文化全球化。