求∑a_1 a_2……a_r

我们常会遇到这样的问题:从自然数1、2、…、n中每次取出r个相乘(r≤n),积无重复也无遗漏,然后求和。如l·2·3+1·2·4+1·3·4+2·3·4=50。用纷号表示,就是求∑ a_1a_2…a_r,(i,j=1,2,…,r),a_i=l,2,…,n a_i(?)a; 略作∑a_1a_2…a_r,。同样,我们用∑a_1~ka_2…a_r-k+ι表示因数有重复的r个自然数的积的     

分析法证题与每步可逆小议

1991年冬,某地区高二中考数学试题中有如下一题:已知:a>b>0,求证:a仍一乙饥 nZ>”>0,a几一乙牲歹耳不而>万可弃石孔. 在评分标准中给出的解答是: 分析法:’:a>b>o,二>7,>o,:’只需证(a饥一乙,)(a几+乃”)>(a朴一尹)(a”十少)······························……(1分)即a饥+枯一a”b侨+a,b,一乙饥+牡>a饥+”一a饥乡介+a”乡仇一西饥+件, 只需证:俨乙”)a”沪······……(2分) 只需证:‘勃“一”>:......……(。分) 乃【川~三、西//‘、。刀/分析使这个不等式成立的条件,把证明这个不等式转化为判定这些…     

上期《“分式”测试卷》参考答案

1·B.2·D.3·D.4·B.5·B.6·A.7·C.8·B.9·1.10·52.11·3y或6x.12·bb+-aa.13·M=N.14·100,1n.15·2-1x.16·2(x+2),值为22+2.17·由1a+1b=a1+b,知(a+b)2=ab,而ab+ab=a2a+bb2=(a+b)ab2-2ab,所以原式=ab-ab2ab=-1.18·x=0.19·设去年水价为x元/m3,根据题意,得(1+3256%)x-1x8=6,解得x=1.8.20·(1)x1=c,x2=cm.(2)x1=a,x2=aa+-11.原方程可变为x+x2-1=a+a-21.故x-1=a-1,x1=a;或x-1=a-a1,所以x2=aa+-11上期《“分式”测试卷》参考答案…     

一些与动物有关的俗语

1·haVe a Whale Of a time·玩得非常痛快:过得非常愉 快。 2·a whale of a viCtory.巨大的胜利。 3·a IIOn of a man.非常勇敢的人。 4·a Iafnb of a temPer.羔羊般的柔顺。 5·a 11川e shrimP of a fellow一个小得像虾米似的人。 6·an Od曲queer fish·古怪的人.难以理解的人。 7.a big fish(In a Iitt!e)Pound.(小地方或小范围内 的)大人物。 8.at a snail‘5 Paee.极慢的。 9.a Snake in the grass.伪装成朋友的人;阴险的人。 10·a(Case Of)dog eat dog,残酷的竞争;自相残杀。 11、dressed like a dog‘5 dinner.穿着十分…     

警惕高等数学初等化

高等数学初等化问题,已成为高考数学试题发展的新趋势,它给师生带来了新的思维挑战.本文就这方面问题作如下归纳:计算条件初等化例1:若两个向量a!,b"的夹角为θ,则称向量“a!×b"”为“向量积”,其长度｜a!×b"｜=｜a!｜·｜b"｜·sinθ.今已知｜a!｜=1,｜b"｜=5,｜a!×b"｜=｜a!｜·｜b"｜·sinθ=3,则a!·b"=_____.解:由“向量积”的定义可知｜a!×b"｜=｜a!｜·｜b｜·sinθ=3,带入条件有sinθ=53,且θ∈[0,π],所以cosθ=±54.所以a!·b"=｜a!｜·｜b"｜·cosθ=±4.例2:若定义运算ca bd=ad-bc,则符合条件1-1Z Zi=4+2i的复数Z为().A.3…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

构造向量巧解不等式问题

新教材中新增了向量的内容 ,其中两个向量的数量积有一个性质 :a→·b→=｜a→｜·｜b→｜cosθ(其中θ为向量a→ 与b→ 的夹角 ) ,则｜a→·b→｜=｜a→｜·｜b→｜cosθ ,又 -1 ≤cosθ≤ 1 ,则易得到以下推论 :( 1 )a→·b→ ≤｜a→｜·｜b→｜ ;( 2 )｜a→·b→｜≤｜a→｜·｜b→｜ ,( 3 )当a→ 与b→ 同向时 ,a→·b→=｜a→｜·｜b→｜ ;当a→ 与b→ 反向时 ,a→·b→=-｜a→｜·｜b→｜ ;( 4)当a→ 与b→ 共线时 ,｜a→·b→｜ =｜a→｜·｜b→｜.下面举例分析说明以上推论在解不等式问题中的应用 .一、证明不等式【例 1】　已知a…     

考虑一种典型情形

在解数学题时,往往会碰到乍看上去一时无法下手的题目·这时,先考虑一种典型的情形是我们通常采取的一种策略·这种典型情形,通常可分为最值情形和均值情形·所谓最值情形是指最简单情形,最大、最小值情形,最可能、最不可能情形,不等情形等·而均值情形则是考虑取平均值的情形,相等情形等·以下举例说明这种策略的应用·例1已知:三个正数a、b、c,且a<1,b<1,c<1,求证;(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于41·证:考虑最值情形,不妨假设a为a、b、c中最小的,则1-a是最大的,所以(1-c)a≤(1-a)a≤41·例2把1600颗花生分给100只猴子,证明:不管…     

上期《“因式分解”测试卷》参考答案

1·D.2·C.3·C.4·D.5·D.6·B.7·D.8·mx(m2+xy).9·42.10·3a-4.11·4、6、812·6.13·5500.14·M=ab2,N=a.15·xy(y-x)(y+x).16·(a-b+1)(a+b-1).17·x-512.18·x+522.19·能.(2n)2-(2n-2)2=(2n-2n+2)(2n+2n-2)=2(4n-2)=4(2n-1).20·9a2-4b2,56cm2.21·98和97岁;22和17岁;34和31岁;14岁和1岁.上期《“因式分解”测试卷》参考答案…     

关于三角形数补数及其渐近性质

对任意正整数n,设a(n)表示n的三角形数补数,即就是a(n)是最小的非负整数使得n+a(n)为一三角形数m(m+1)2.用初等和解析的方法研究了三角形数补数列狖a(n)狚(n=1,2,3,···)的渐近性质,给出了两种不同类型的渐近公式.     

關於異底對數的大小正负的判定

一、阴放昊底同一其数的雨佃野数之大小正负判定 段不同底数焉。舆乙,真教焉N,且a,乙,N肯表非1之正数。 (i、若a>b卜1,则 放N>1峙,IOgoN)logaN>0. b.加N<1降,1叹bN<1咀。N<0. (11)若a成b<1,只1J :、·龄N>11寺,!ogbN丈109。N<0. b.价N<1峙,bgbN)109。N>0. (111)若a>1>b,具IJ a.加N>1峙,109。N>O>logb N. b.放N丈1峙,hg厂,N1, N到x1)刃丫祖)1.....................……NI/xl元1,万一””””“””···········一(1)”.‘.”’.”’·…     

师生“会诊”

案例1 计算:a3·a4. 错解:a3·a4=a~(3×4)=a12. 点评:本题主要考查同底数幂的乘法性质:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加.错解的原因:同底数的幂相乘,底数不变,指数相乘,正确解答案应是:a3·a4=a~(3+4)=a7.     

代数的喜剧一则

“-a姨=--a姨”.这是荒谬的等式!怎么能成立呢?有人在化简a 3姨·-a 6姨时,用了两种方法如下:a3姨·-a6姨=a26姨·-a6姨=a2(-a)6姨=(-a)2(-a) 6姨=(-a)36姨=-a姨;另一种解法是a3姨·-a6姨=--a3姨·-a6姨=-(-a)26姨-a6姨=-(-a)2(-a)6姨=-(-a)36姨=--a姨.∴-a姨=--a姨.他认为两种解法都天衣无缝,绝对正确!所以应有-a姨=--a姨.亲爱的读者,你认为他的解法真的天衣无缝完全正确吗?那么毛病出在哪里?代数的喜剧一则@陈振宣…     

1981年第二期数学问题

1。试证:数列i,121,12321,···……,12345678987654321每一项都是完全平方数。 2.△ABC的三个旁心是I,、12、I。,外接圆半径是R,求证:音(·了rZ一+·2一‘·子)(0相似文献   

“整式的乘除”“平行线”达标自测题

一、填空题(每小题2分,共24分)i·计算一a,·a3一;a,.a,+,=2.计算(aZ)“=;(一2夕)”=3.计算2a4·4a=;(x3)卫·(xZ)“-4·计算(一4x,)(夕一x)一;(一6x。+,)5.用科学记数法表示一0.000 123三·Zx月一场一计算护一尸·护~;(一xZ)“令{一x勺计算(Za”一3)(l+a几}=8.计算2a’.卜冬口}2.(一4a)-一”,’一、2一/、---—-9.计算(12x4一16x3+8二z)二(一Zx)“=10·若3m一15,9。~4,则s二一,”=11.如图l,AE//D刀,之ODB=350,匕OBD一700,则乙OAC=,艺ECO一 .., 42‘,了‘厂酚图1l2如图2,11//l:,13土11,12、13、l。相交于同一点,且匕1~1380,则艺2 ,…     

齐鲁石化公司总校小学六年级英语试题

一、填写单词所缺字母,每空填一个字母。(10分) 1 .5 nday 2.W de引ay 3·d__ghtor4·beh_nd 5·s_即er6·br_kfast 7 .tw ty 8.d wl- 9 .t y 10.1 neh二、写出1。种动物名称。(l。分) 1 .2.3,4. 5 .6.7.8‘ 9 .10三、根据要求写出下列单词。(10分) 1.k二11。(复数) 2·it(复数) 3.9。(反义词) 4.open(反义词) 5·write(现在分词) 6·g000e(复数) 7‘hor。(反义词) 8.1(l司音词) 9·Iad,〔,(复数) 10·glass(复数)四、用适当的介词填空。(20分) 1 .Please eome to school two. 2,l城looki;19____my eap·Where 15 it? 3 .There 15 a boy t…     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

奥黛丽·赫本美丽秘诀

·For attractive lips,speak words of kindness.迷人的嘴唇,在于说出友善的话语。·For lovely eyes,seek out the good in people.可爱的眼睛,在于捕捉别人的优点。·For a slim figure,share your food with the hungry.苗条的身材,在于与挨饿者分享食物。·For beautiful hair,let a child run his or her fingers through it once a day.     

《普通高级中学实验教科书(信息技术整合本)·数学》第一册(下)统一测试题

本试卷共100分。考试时间100分。,考公式三角函数的积化和差公式:8。·a一。=合〔S‘·(a+。)+·‘·‘a一。,,一。·‘·压令〔·‘·(a+。卜S‘·‘a一。,〕。。sa一,合〔一‘a+。,+一‘a一。,“·‘n as‘·份一合〔一‘a+“,一‘。一。,“ 第I卷(选择题共40分) 一、选择肠:本大肠共10,】、题,每小趣4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母坡在题后的括号内。 _~.‘Ik,1.匕知A二{x lx二下 t}‘+万k Ez},B二,x阮二45k+oo,k“Z,,贝lJA二B已知x￡ B .A〕B 有n\一可’u),”,nx二C .A C B…     

一个简单不等式的应用

我们知道,对于任意两个正实数a、b恒有不等式:a~(a-b)≥b~(a-b)(※)成立。本文利用这一不等式给出几个难度较大的不等式的简洁证明。例1 已知a、b、c∈R~+,求证: a~(2a)b~(2b)c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b)(1978年上海市中学数学竞赛试题) 证明由(※)得 a~(a-b)≥b~(a-b),b~(b-a)≥c~(b-c),c~(c-a)≥a~(c-a)。以上不等式两边分别相乘得 a~(a-b)·b~(b-c)·c~(c-a)≥b~(a-b)·c~(b-c)·a~(c-a)。整理得:a~(2a)·b~(2b)·c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b) 例2 设a、b、c∈R~+.求证: a~ab~bc~c≥(abc)(a+b+c)/3(1974年美国第三届奥林匹克竞赛试题)。证明由例1知