圆的切线长相等的逆命题——严格闭凸曲线是圆的一个充要条件及其初等证明

在同一平面上,过圆外任一点引已知圆的切线,共有两条,且切线长相等．这个命题的逆命题该怎样表述？是否成立呢？显然我们应该从平面上一个闭曲线出发,而且要求过曲线外任意一点都可以引曲线的两条切线,我们将这样的曲线称为严格闭凸曲线．这样,“圆的切线长相等”的逆命题就变成“对于平面上的给定一严格闭凸曲线,若过曲线外任一点作曲线的两条切线,有切线长相等,那么该严格闭凸曲线是圆”．这是一个看似无从下手的问题,但这个问题完全可以用初等方法加以证明．本文就研究这个命题的初等证法．     

如何判定一条直线是圆的切线

我们知道，若一条直线与圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线，课本给出切线的两个判定定理：定理1若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线．定理2经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．定理2与定理1的明显区别是定理2明确指出直线过圆上一点，而定理1却没有明确指出这一点，这给我们选用定理提供了方便：若已知直线过圆上一点，选用定理2；若直线与圆的公共点末明确，则用定理1．下面举例说明．例1已知。如图1，A是co的半径OC延长线上一点，且CA—OC，弦BC—OC求证：AB是①0的切线．分析由题意…     

圆切线一个性质的类比研究

问题引出： 从平面上一点P作圆C的切线，可能的切线条数为：点P在圆C内部时0条；点P在圆C上时1条；点P在圆C外时2条．     

切线长定理的应用

切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．     

切线长定理的潜能开发

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．即如图1,PA、PB为⊙O的两条切线,A、B为切点．由定理可知PA=PB,∠1=∠2．而对此图稍加变化,又会出现很多的结论,这也是近几年的中考热点问题。     

谈谈圆的切线的证明

关于圆的切线的证明,新教材中专设一节作了论述,这是教学中的一个难点。 证明一条直线是圆的切线的题目,有以下两种类型,下面通过典型例题分别说明之。1 证明经过圆上一点的直线是圆的切线 这类题的证明方法可概括为:连结半径,证明垂直。     

圆的切线的一个奇妙性质

（数学问题339）文[1]得到结果：两圆内切,从大圆内接正三角形的各顶点作小圆的切线,则其中一条切线长等于另外两条切线长之和．证明略．我们尝试把这个结果作下面推广．     

圆的切线判定思路

圆的切线的判定定理中有两个要素：（1）经过半径的外端点;（2）垂直于这条半径．在证明一条直线是圆的切线时,常见方法有：（1）作半径,证垂直;（2）作垂直,证半径．下面举例说明．     

切线长定理的顺延

初中《几何》第二册P.103给出了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。     

《圆的性质及应用》《图形与变换》知识训练

基础练习1.理解圆及其有关的概念,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画切线.2.能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图     

圆的切线的判定

圆的切线的判定方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．     

圆锥曲线的一个性质

平面几何里有一条切线长定理,它告诉我们,从圆外一点引圆的两条切线的长相等。我们还知道:任一点与圆心的连线是圆的一条对称轴,所以又可以说:如果从圆外一点所引圆的两条切线的长相等,那么这点在圆的对称轴上。对于圆锥曲线来说,是否也具有这个性质呢?答案是肯定的。下面我     

圆的切线解析式

在平面直角坐标系中,已知圆的圆心坐标,半径的大小,圆外一点或圆上一点的坐标,如何求出过圆外一点或圆上一点的切线的解析式呢?下面就研究一下这个问题. 一、过圆外一点的圆的切线解析式1.圆的圆心横坐标与圆外一点横     

直线与圆的位置关系

一直线与圆的三种位置关系（利用直线与圆的公共点的个数定义圆与直线的位置关系）1．相交如果一条直线与圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,直线叫圆的割线,这两个公共点叫交点．2．相切如果一条直线与圆有且只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,这条直线叫圆的切线,这个公共点叫切点．3．相离如果一条直线与圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离．     

圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

圆问题中的陷阱

1．求圆的方程 例1 已知圆的方程为x^2＋y^2＋ax＋2y＋a^2=0,又过点A（1,2）的圆的切线有两条,求a的取值范围．     

圆的应用五则

1．利用四点共圆 例1如图1,在椭圆x2/b2＋y2/a2=1（a〉b〉1）上取一点P引圆x2＋y2=1的两条切线PA、PB,A、B为切点,直线AB与x轴、y轴分别交与M、N两点,求AMON的面积的最大值．     

圆的切线与应用

定义：直线与圆有唯一公共点时,这条直线是圆的切线．     

圆的切线方程

过圆上一点的切线方程公式是众所周知的,过圆外一点的切线方程应如何表示?本文给出了利用圆外已知点及圆的方程直接写出过该点的切线方程的解析表达式,并阐述了如何应用公式简化解题.     

一个基本几何图形的性质及其应用

从圆外一点向该圆引两条切线和一条割钱,这是一个基本的几何图形,它有许多有趣的性质,并且在几何证明题中有着广泛的应用．