数学能变得容易理解吗——彭加勒问题研究之二

文 [1 ]中笔者探讨了彭加勒问题 ,提出了五个症结。本文在文 [1 ]的基础上 ,研究了怎样才能使数学变得容易理解 ,笔者以为应从五个症结入手 ,首先创建新的数学理论体系 ,大力发展智力 ;其次创建新的数学教育体系 ,变社会发展带来的新问题为学习数学的新动力。     

椭圆两平行切线性质的再讨论

文[1]读后受益匪浅，但又觉意犹未尽．本文拟结合江苏版数学教材选修2-1椭圆部分一个数学实验的研讨，对文[1]中性质1给出新的证明，并提出几个新的结论．     

五题又一新证

文[1]，文[2]分别给出五道竞赛试题的两种不同解法，受此启发，笔者给出这五题的另一种新证法，供参考。     

一个无理不等式猜想的证明及推广

文[1]给出了几个无理不等式的猜想,笔者在此给出文[1]猜想2的证明及其推广.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5《不等式选讲》有如下三角不等式.     

两类不等式的完善

在不等式解题教学研究中，有两类分式不等式成为关注的热点，然而在众多研究文章巾，有的条件过宽，导致结论错瀑，如文[1]、文[2]（笔者在文[3]中指出）；有的条什过窄，导致应用范围缩小，如文[4]、文[5]．最近文[6]、文[7]对这两类不等式作了较深刻的探讨，但若从数学的完整性考虑，则结论还有待完善．     

一类对称不等式的另证

文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题．笔者发现，此类问题若利用不等式等号成立的条件，配凑后使用均值不等式，则会更简单．本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例，对这一类对称不等式进行证明（例2使用数学归纳法会更简单）．     

从一道例题的分析谈强化命题证明一类数列不等式

文[1]通过强化命题结论的方法突破了一类数列不等式证明过程中直接使用数学归纳法难以实现从n=k到n=k＋1过渡的瓶颈，笔者经过仔细研读，发现该文思路新颖，令人耳目一新，对数学归纳法教学和竞赛辅导具有借鉴作用．但同时笔者也发现文[1]例1在分析过程中对数学归纳法的递推传递性原理的使用似有不当之处，为便于研讨，现将该例的分析过程抄录如下：     

新课程理念下数学教师更应该具有合作交流意识

“提高学生的数学表达和交流能力”是新课程标准特别强调的理念．郑毓信先生更是指出，数学交流“应被看成数学教学的重要目标之一”有鉴于此，数学教育工作者对数学交流的有关课题进行了广泛的研究，文[1]、文[2]对中学生数学交流情况进行了调查，探讨了学生数学交流状况不容乐观的原因．文[2]还从观念和操作两个层面提出了教师在教学中的应对策略，     

一个有趣的数论定理

1996年12月笔者研究了印度数学家乔特哈里和德什潘德发现的一组有趣连续数组956～968的性质（见文[1]、[2]、[3]）,其论文《完全平方数对半和的几个性质》发表于《数学通报》1999年第12期上,审稿人罗运纶老师另外给出了笔者论文结论的简化证明（见文[4]）,上海的俞润汝在《数学通报》2006年第2期发表的《Chaudhar—Deshpande数组的广义解》中给出了’笔者论文结论（见文[4]）的更简捷证明,     

一道高考解析几何试题的再引申

文[1]得到2004年全国高考文(理)的解析几何试题的4个引申，笔者读后深受启发，经过分析研究，也得到了几个结果，作为文[1]的补充。     

一类与自然数有关的命题的一种证法思路

贵刊文 [1]、[2 ]实际上探讨了一类可用数学归纳法证明的与自然数有关的命题的非数学归纳法的证明方法 ,文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助于辅助定理 ,直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤(即构造相关的不等式或等式 )不易想到 .受文 [1]、[2 ]的启发 ,笔者以这类问题的数学归纳法证明中探寻出一种非数学归纳法的证明方法思路更清晰 ,操作更容易 .例 1　求证1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.　　分析　用数学归纳法证明该式时 ,在第二步 ,假设对ｎ- 1时等式成立 ,即等式 1 11 2…     

一个有趣的数论定理

1996年12月笔者研究了印度数学家乔特哈里和德什潘德发现的一组有趣连续数组956～968的性质(见文[1]、[2]、[3]),其论文《完全平方数对半和的几个性质》发表于《数学通报》1999年第12期上,审稿人罗运纶老师另外给出了笔者论文结论的简化证明(见文[4]),上海的俞润汝在《数学通报92006年第     

对一篇文章的学习与补充

读了文[1]后,笔者获益良多．受该文启发,经过笔者的进一步思考,有了一点新的认识,写出来作为文[1]的补充．     

《数学通报》1863号问题的一种妙解

《数学通报》1863号问题:设x,y∈R+,且x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 上述问题刊登出来就引起很多数学爱好者的关注与研究,其中孙建斌老师在文[1]中、薛茂文老师在文[3]中、王增强老师在文[4]都采用了构造"数字式"方法对该问题进行了解答,刘成龙,余小芬两位老师在文[2]中给出基本不等式的解法,拜读了上述老师的解答深受启迪,笔者觉得文[1]、文[3]、文[4]采用的构造"数字式"方法新颖,但似乎难以想到;文[2]给出基本不等式的解法,总觉得没有完全展现均值不等式精髓.     

让经典继续流行 让流行成为经典——一道经典三角题的证明、变式与推广

1983年第17届苏联数学竞赛十年级的一道三角问题,题设简洁,思考角度非常丰富,经过数十年的积淀成为经典.文[1]指出文[2]中的证明错误并给出一个新的证明方法.现笔者从不同角度对此题进行剖析其变式并加以推广.     

两个结论的推广与拓广——对一道高考试题的再探究

《数学通报》2008年第5期的文[1]由一道高考解析几何试题引发探究性学习，得到了关于抛物线x^2=2py的结论1、2，关于曲线Ax^2＋By^2=1（AB≠0）的结论3、4、5等五个结论，其中结论1是结论2的特例，结论3、4是结论5的特例．本文对结论2及结论5作进一步探究，先把文[1]的这两个结论抄录如下：     

两个新的广义勾股数组

文[1]介绍了拉氏广义勾股数组，并给出一个新的数组：[18，19，…，34|35，36，…，42]；文[2]谓之[2n 1|n]型；并试图证其唯一性而未果，本文沿用文[2]的方法，又找到2个．设x 1为第一个数，求[n k|n]型广义勾股数，则     

一个新的三角形不等式族

陈计老师在文[1]中介绍了苏化明先生在文[2]中所述14个对称函数与常函数之间的联系,给出了内容更为丰富的三角形不等式族。受该文启发,笔者在研究中,发现了如下关于8个对称函数之间联系的新的不等式族。     

构思“和”与“积” 巧证数列不等式

解数列不等式题中常要用到放缩的方法,但正如文[2]所说,在放缩过程中会不知不觉“失控”,要么放得过大,要么缩得过小．文[2]从五个方面提出了调控策略,文[1]从方法层面上总结了四种技巧,阅后深有启发．美中不足的是用文[2]中的五种调控策略也无法解释文[1]中所用的某     

关于三角形边长与远切圆半径的几个平方型不等式

关于三角形及其相关量的研究,目前在初等数学界十分活跃,并且得到了很多好的结果,其中的文[1]给出了《关于三角形远切圆不等式》,文[2]给出了《关于三角形旁切圆半径的一组新的不等式》,受文[1]、[2]启发,笔者对三角